江苏省南京市玄武区玄武外国语学校2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷_江苏省南京市2025-2026学年7-9年级上学期10月第一次月考试卷（全科合集）

南京玄武外国语学校 2025-2026 学年九年级上学期 9 月月考数学试题
初三数学练习【提优班】
（时间：70分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共 6小题；每小题 4分，满分 24分）
的
1. 下列命题中，是真命题 为（ ）
A. 三点确定一个圆
B. 同弦所对的圆周角相等
C. 对角互补的四边形四点共圆
D. 垂直于半径的直线是圆的切线
2. 如图，V ABC 内接于O，AB  AC ，BAC 60，AD为的直径，BE  AC交AD于P，BE 的
延长线交O于点F ，连接AF ，CF ，AD交BC于G，在不添加其他辅助线的情况下，图中除AB  AC
外，相等的线段共有（ ）对．
A.2 B.3 C.4 D.5
3. 如图，在V ABC 中，AB 12，BC 10，V ABC 的内心、外心分别为点I 、点O，且有OI  AI ，
则AC的长度为（ ）
A.8 B.6 C. 3 5 D. 4 3
4. 如图，平行四边形ABCD中，D60,AD10，以BC为直径的O交AB 于点E，则 B  E 的长为
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司5 5
A. π B. π C.5 D. π
3 6
5. 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，BAD90，AB AD4 2，E为AC上一点，
CED45，则BE的最小值为（ ）
A 2 22 B. 2 52 C. 4 54 D. 4 24
.
6.
如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是3,4，点B是A上一点，A的半径为2，将OB绕
O点顺时针方向旋转90得OC，连接AC ，则线段AC 的最小值为（ ）
A. 5 22 B. 3 21 C.5 D.6
二、填空题（本大题共 8小题；每小题 4分，满分 32分）
7. 如图，在扇形AOB中，AOB30，点C为半径OA上一点，现以点O为圆心，OC长为半径作弧，
该弧交半径OB于点D，记
AB
的长为m，BD的长度为d，则C  D的长为______．（用含m，d的式子表示）
8. 如图，BC是O的直径，A是O外一点，连接AC 交O于点E，连接AB并延长交O于点D．若
A30，则DOE的大小是______度．
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学科网（北京）股份有限公司9. 已知一次函数 yk  x3 1图像与一圆心为  0,1  ，半径为1的圆相切，则切点坐标为________．
10. 如图1，OA是O的半径，点M是OA的中点，点N在O上从点A开始沿逆时针方向动一周回到点
A，运动停止，设运动过程中AN的长为x，MN 的长为y，图2是y随x变化的关系图象，则a的值为______．
11.
如图，在Rt△ABC中，ACB 90，A60，AB2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后
得到Rt△DEC，点B经过的路径为
B

E
，将线段AB绕点A顺时针旋转60后，点B恰好落在CE上的点F
处，点B经过的路径为弧
B

F
，则图中阴影部分的面积是______．
12. 如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE，EA平分DEB，点O是BCE的内心，
连接AO，AO AB，若AD5，则AB的长为____________．
13. 如图，AB为O的直径，且AB2 2，点C在半圆上，OC  AB，垂足为点O，P为半圆上任意
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学科网（北京）股份有限公司一点，过P点作PE OC于点E，设OPE 的内心为M ，连接OM 、PM ．当点P在半圆上从点B运动
到点A时，内心M 所经过的路径长为______．
14. 如图，在Rt△ABC中，AB  AC ，点P是BC边上一点，且PC  2PB  4，点M 、N 分别是边AB、
AC 上的动点，且始终满足MPN 135，连接MN ，则线段MN 的最小值为______．
三、解答题（本大题共 6小题；满分 58分）
15. 真命题“在同一个圆中，两条平行的弦所夹的弧相等”，请根据这个命题画出图形，写出已知求证并完
成证明．
16. 如图，四边形ABCD内接于一圆，延长BC到点E．
（1）求证：DABDCE；
（2）连接AC 、BD，若DAB65，CD平分ACE，求ADB的度数．
17. 如图，BC是O的直径，且BC4 3，D为B  C上一动点（不与点B、C重合）过点C作O的
切线交BD延长线于点A，E为AC 中点，连接DE．
（1）求证：DE 是O的切线；
（2）若A30，求阴影部分的面积．
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学科网（北京）股份有限公司18. 分别用两种方法作出三角形的外心与内心．（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
19. 在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么
小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？
已知小棒长度为4，宽度不计．
方案1：将小棒绕AB中点O旋转180°到BA，设小棒扫过区域的面积为S (即图中灰色区域的面积，下
1
同)；
方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC ，再绕C逆时针旋转60°到CB，最后绕B逆时针旋转60°到BA，
设小棒扫过区域的面积为S ．
2
（1）①S  ______，S ______；(结果保留 )
1 2
②比较S 与S 的大小．(参考数据：3.14， 3 1.73．)
1 2
（2）方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，
三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
①补全方案3的示意图；
②设方案3中小棒扫过区域的面积为S ，求S ．
3 3
（3）设计方案4，使小棒扫过区域的面积S 小于S ，画出示意图并说明理由．
4 3
20. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B是y轴、x轴上的两个定点，OM 经过A、B两点且与x轴正半轴、
y轴负半轴分别交于D、C两点，过点O作EF  AB于点E，交CD于点F．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若BOE 28，则BDC______°；
（2）求证：点F是CD的中点；
（3）若A  0,a 、B  b,0  ，其中a、b是方程x2 x120的两个根，连接MF，当圆心M运动时，MF
的长度是否发生变化？若不变，求出MF的长度；若变化，求出MF的取值范围．
【中考链接】（2025·南京中考）
21. 如图，已知扇形AOB，点D为圆弧上一点，且ADB的度数为250°，若P为扇形内一点，则APB
的取值范围是__________．
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