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山西晋城市高平市部分学校2025-2026学年高二第二学期6月月考数学试
题
一、单选题
1．研究线性回归模型时，若成对数据 所对应的点均在直线 上，则线性相关
系数为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
3．某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模
型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调
研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ）
A．144 B．114 C．94 D．78
4．2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为 （
）.小明参与活动累计抽奖 次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变
量 表示抽奖 次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得 最大的 值估计总抽奖次数（若有多个
使概率最大，则取其中最小值），并计算 .下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 与6的大小关系不确定
5．正整数1，2，3，…， 的倒数的和 已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到
它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当 很大时， ，其中 称为欧拉-马歇罗尼常数， ，至今为止都不确定 是有理数还是无理数．设 表示不超过 的最大
整数，用上式计算 的值为（参考数据： ， ， ）（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．已知 ， ， ，其中 为自然常数（ ），则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点 ， ，在直线 上存在点 ，满足 ，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
8．不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．样本数据 的第75百分位数为23
B．若一组样本数据 的方差 ，则这组样本数
据的总和为4052
C．若随机变量 服从二项分布 ，则
D．若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则10．定义在 上的函数 ，已知 是它的导函数，且恒有 成立，
，则有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线 的右焦点为F，左、右顶点分别为 ， ，双曲线C上的点B满
足 且BF与x轴垂直．直线 的斜率是直线 的斜率的3倍，点 ，点Q在C的左支上，
则（ ）
A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
三、填空题
12．已知直线 与 互相平行，则 __________， 与 之间的距离为
__________.
13．若 的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x2的系数为______.
14．已知数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，则 ______．
四、解答题
15．现有两种脑机接口技术 和 ，用于完成某项意念控制任务.研究人员从我市随机抽取了120名志愿者参与试验，得到如下列联表：
任务结果
技术类型 合计
成功 失败
技术 50 10 60
技术 30 30 60
合计 80 40 120
(1)根据小概率值 的独立性检验，分析任务结果是否与技术类型有关；
(2)已知市民甲使用脑机接口技术体验该项意念控制任务，其使用技术 和 的概率分别为 ， .将上
述试验中使用技术 ， 时任务结果为成功的频率视为概率，求甲体验的任务结果为成功的概率.
附： ，
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前 项和为 ，求 .
17．已知直三棱柱 中， ，点M、N分别为 的中
点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求 与平面BCN夹角的正弦值；(3)求三棱锥 的体积．
18．已知函数 .
(1)当 时，求 的极值点；
(2)若不等式 对 恒成立，求a的取值范围.
19．已知点 是椭圆 的右焦点， 为坐标原点，若 上的点与点 距离的最大值
为3，最小值为1，过点 作 的两条互相垂直的弦 ， .
(1)求 的方程；
(2)求证： 的值为定值；
(3)设 ， 的中点分别为 ， ，求证：直线 过定点.参考答案
1．B
【详解】所有样本点都在直线 上，是完全线性相关.
斜率为负，属于完全负相关，所以线性相关系数 .
2．A
【详解】设向量 、 的夹角为 ，因为 在 上的投影向量为: ，
又因为 ， ，
所以 ， ，
，
所以向量 在向量 上的投影向量： ，
故A选项正确.
3．B
【详解】将5位同学分为三组并分配到三种模型共有： 种方法，若小李和
小赵调研同一种模型共有： 种方法，
所以若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为： 种方法.
4．A
【详解】由题意， 服从二项分布 ，
则 ，要使 最大，
则 且
，解得 ，又 ，所以当 为整数时， ， ；
当 不为整数时， ， ，故 .
5．C
【详解】设 ， ，则 ，
因为 ，
可知数列 为递增数列，则
当 时，
，
可知 ，
所以 ．
6．D
【详解】因为 ， ， ，
令 ，则 .
又因为 ，令 ，得 .
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；因为 ，所以 ，
因此 .
7．A
【详解】设 ．∵ ，
∴ ，化简整理，得 ，
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
由题意可知，直线 与圆 有公共点，
∴ ，解得 ．
8．A
【详解】由题意可得， .
令 ，则 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 ，所以 ，即 在 上恒成立.
令 ，则 ，当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 .
9．BC
【详解】选项A，样本 共 个数据，
，第75百分位数为第8项数据24，A错误；
选项B，方差 ，
因为 ，
故样本均值 ，样本总和为 ，B正确；
选项C，若 ，则 ，
根据期望性质 ，
得 ，C正确；
选项D，正态分布 的对称轴为 ，
由对称性得 ，
则 ，D错误.
10．CD
【详解】已知 ，根据商的求导法则求导得：
.由题知 ，因此 在 上单调递减.
因为 ，结合单调递减性得： .
由 ，即 ， 整理得 .
由 ，即 ， 整理得 .
综上，选项A、B错误，选项C、D正确.
11．ABC
【详解】令双曲线 的半焦距为 ，则 ，
由点B在双曲线C上，且 轴， ，不妨设 ，则 ， ，
则 ，解得 ，于是 ，双曲线 的方程为 ，
而点 ，则 ，解得 ，双曲线C的方程为 ， A正确；
双曲线C的渐近线方程为 ，B正确；
，设双曲线的左焦点为 ，由双曲线的定义得 ，
即 ，因此 ，
当且仅当 是线段 与双曲线 的左支交点时取等号，C正确；设点 ， ，则 ，
，当且仅当 时取等号，D错误.
12．
【详解】因为直线 与 互相平行，
所以 ，解得 ，
则 ，
所以 与 之间的距离 .
故答案为： ； .
13．－448
【详解】由题意得 ，所以 ，
所以 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 .
所以 的系数为 .
故答案为：－448
14．【详解】因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
当 时，可得 ，解得 ，
当 时，可得 ，
则 ，
得到 ，化简得 ，
设 ，则 ，得到 ，
则 ，即数列 是公比为2的等比数列，
得到 ，故 .
15．(1)有关
(2)
【详解】（1）零假设 ：任务结果与技术类型无关，
根据列联表中数据，得 ，
依据小概率值 的独立性检验，推断假设不成立，
即任务结果与技术类型有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.
（2）设试验中使用技术 时任务结果为成功为事件 ，试验中使用技术 时任务结果为成功为事件 ，
甲体验的任务结果为成功为事件 ，
由题意， ， ， ， ，
则 .
16．(1)
(2)【详解】（1）因为 ①，
当 时,可得 ，即 ，
当 时， ②.
由① ②得 ，即 ，
即 是以1为首项， 为公比的等比数列，所以 ,
当 时 满足上式，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
，
两式相减得 ，
即 ，则
故 .
17．(1)证明见解析.
(2)
(3)【详解】（1）
连接 ， ，
四边形 为矩形， 为 的中点，
与 交于点 ， 为 的中点，
又N为 的中点， ，
又 平面 ，且 平面 ，
平面 .
（2）
由已知，以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
因为平面 即平面 ， ， ，
，取 ，则 ，从而 ，
设所求线面角为 ， ，
，
所以 与平面 夹角的正弦值为 .
（3）
设点 到平面 的距离为 ， ，
，
已知 ，则 ，
所以
.
18．(1)极小值点为 ，极大值点为0
(2)
【详解】（1）由题意得 ，
当 时，令 ，得 或 ，当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
则函数 的极小值点为 ，极大值点为0.
（2）由 ，得到 ，
因为 ，所以 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，即 在区间 上单调递增，
当 时， ，即 在区间 上单调递减，所以 ，
得到 ，所以 ，故 的取值范围为 ．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据条件列式求 ，再根据 的关系求 ，可得椭圆的标准方程.
（2）分直线有无斜率，利用弦长公式表示 ，化简即可.
（3）利用直线 的斜率 表示出点 的坐标，进而得到直线 的方程，化成点斜式，可得定点坐标.
【详解】（1）设椭圆 的焦距为 ，则由题意得 ，解得 .所以 ，
所以 的方程为 .
（2）由（1）得 ，若直线 与直线 的斜率一个为0，另一个不存在时，
， （或 ， ），此时 .
若直线 与直线 的斜率都存在时，如图：
设直线 的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，
所以 ， .
所以
因为 ，将 换成 ，得 ，
所以 .综上所述， 的值为定值.
（3）由（2）得 ， ，
因为 是 的中点，所以 ，
将 换成 ，得 ，即
若直线 的斜率存在，则直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
所以直线 过定点
若直线 的斜率不存在，则 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，直线 也过定点 .
综上，直线 过定点 .
