文档内容
山西省晋城市部分学校2024-2025学年高一下学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知 ， ，则与 同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，矩形 是水平放置的平面四边形 用斜二测画法画出的直观图，其中
，则原四边形 的周长为（ ）
A． B． C．12 D．
5．若向量 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．将函数 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 个单位长度，所得图象的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．在平行四边形 中， ，点 满足 ，点 是 的中点，则
（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数，若对任意的 ，都有
，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B．棱柱至少有五个面
C．棱台的侧棱延长后必交于一点
D．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
10．已知复数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 是关于 的方程 的一个根11．如图，在边长为2的正方形 中，点 是 的中点，点 满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为定值
C．若点 在线段 上，则 为定值
D．若 ，则 的最大值为
三、填空题
12．某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为 的扇形，则该圆锥的底面直径为 ．
13．已知 ，复数 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 的取值范围是 ．
14．已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，则 ；若
的外接圆的圆心是 ，则 的最大值为 ．
四、解答题
15．已知向量 ．
(1)设 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值．16．已知函数 ．
(1)求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)若 且 ，求 的值．
17．在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若点 是线段 上的一点，且 ，求 的值．
18．如图，在正方体 中，点 分别为棱 的中点，点 是棱
上的一点，且 ．
(1)求证： 四点共面；
(2)求证： 平面 ；
(3)已知点 是棱 上的一点，且平面 平面 ，求 的值．
19．在 中，内角 的对边分别为 ，若 ， ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，点 是 的中点，且 ，求 的值；(3)已知 的面积为 ，且 所在平面内的点 满足 ，求
的值．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D C C D B C BC ABD
题号 11
答案 BCD
1．B
根据题意，求得 ，结合集合交集的概念与运算，即可求解.
【详解】由集合 ，
又由集合 ，所以 .
故选：B.
2．A
先利用复数的除法运算和加法运算化简，再根据虚部的定义即可得出.
【详解】 ，
则 的虚部为 .
故选：A
3．D
求出向量 的坐标，即可得出与 同方向的单位向量为 .
【详解】由题意可得 ，则 ，
所以与 同方向的单位向量为 .
故选：D.
4．C
由题意，结合斜二测画法将直观图还原为原图，进而求解.
【详解】由题意知， ，
将直观图还原为原图，如图，则 ，
所以 ，
所以原四边形 的周长为12.
故选：C
5．C
根据数量积的运算律求出 ，再由投影向量的定义计算可得.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，解得 ，
所以向量 在向量 上的投影向量 .
故选：C
6．D
根据三角函数的变换规则计算可得.
【详解】将函数 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到
，
将 的图象向右平移 个单位长度得到 .
故选：D
7．B用 、 作为基底表示出 、 ，再由数量积的运算律及定义计算可得.
【详解】因为 且点 是 的中点，
所以 ，
又 ，
所以
.
故选：B
8．C
首先可得 关于 对称且 在 上单调递增，则关于 的不等式 等价
于 ，再分 、 两种情况讨论，结合指数函数的性质解得即可；
【详解】因为 为偶函数，所以 关于 对称，
又对任意的 ，都有 ，
所以 在 上单调递增，则在 上单调递减，
则关于 的不等式 等价于 ，即 ，当 时，不等式可化为 ，即 ，
因为 ，所以不等式无解；
当 时，不等式可化为 ，即 ，即 ，
所以 ，解得 ；
综上可得关于 的不等式 的解集为 ；
故选：C
9．BC
根据空间几何体的结构特征，结合选项依次判断即可.
【详解】A：若其余各面三角形没有公共顶点（如下图），则几何体不是棱锥，故A错误；
B：面最少的就是三棱柱，共有五个面，故B正确；
C：由棱台的结构特征知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故C正确；
D：在直角梯形中 ，如下图所示：
以直角梯形的直角边 所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，
若以直角梯形的腰 所在的直线为轴旋转所得的旋转体不是圆台，故D错误.
故选：BC
10．ABD
化简复数 ，利用共轭复数的定义以及复数的模的定义可判断AB；利用复数的乘法运算法则计算即可判断C ；因 是 的根，并将 因式分解即可判断D.
【详解】由题意可得， ，
则 ， ，故A正确；B正确；
，
则 ，故C错误；
由C选项可知， 是 的根，
又 ，则 是 的一个根，故D正确.
故选：ABD
11．BCD
建立如图所示平面直角坐标系，利用坐标法判断A、B，由 及向量共线的坐标表示判断C，根据向
量模的坐标表示得到 ，设 ， ，利用辅助角公式计算D.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ，因为
所以 ，即 ；
对于A：若 ，则 ，所以 ， ，所以 ，故A错误；
对于B：当 时， ，所以 ，又 ，所以 ，故B正确；
对于C：因为 ， ，
又点 在线段 上，所以 ，所以 ，
所以 ，故C正确；
对于D：若 ，又 ，所以 ，即 ，
设 ， ，
所以 ，其中 为锐角且 ，
所以当 时 取得最大值，且最大值为 ，故D正确.
故选：BCD
12． /
根据扇形的弧长公式求出圆锥的底面圆的周长，建立方程，解之即可求解.
【详解】由题意知扇形的弧长 ，
设该圆锥的底面圆的半径为 ，则 ，
即 ，得 ，即该圆锥的底面圆的直径为 .
故答案为：13．
根据复数的乘、除法运算可得 ，结合复数的几何意义建立不等式组，解之即可求解.
【详解】 ，
所以 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第四象限，
则 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为：
14．
空1：由正弦定理边化角即可求解；空2：取 的中点 ，连接 ，则 ，则 ，从
而得到 ，再由余弦定理及基本不等式求出 的最大值，即可得解.
【详解】由正弦定理得 ，则 ， ，
所以 ；
取 的中点 ，连接 ，则 ，
所以 ，
同理可得 ，
所以 ，
由余弦定理 ，即 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 的最大值为 .
故答案为： ；
15．(1)
(2)
（1）根据题意，由 ，列出方程组，即可求得 的值，得到答案；
（2）根据题意，求得 ， ，结合 ，列出方程，即可
求解.
【详解】（1）解：由 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，解得 .
（2）解：由
可得 ，
，
因为 ，可得 ，解得 .16．(1) ，单调递增区间为 （ ）
(2)
（1）利用二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化简，最后由正弦函数的性质计算可得；
（2）利用同角三角函数关系结合角的范围求得 ，然后由两角差的余弦公式代入求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以 的最小正周期 ，
令 （ ），解得 （ ），
所以 的单调递增区间为 （ ）；
（2）由（1）可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
.
17．(1)(2)
（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）设 ，则 ， ，在 中利用正弦定理得到关于 的方程，利用和
差角公式化简可得.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
即 ，
又 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ；
（2）设 ，又 ，所以 ，
则 ， ，
在 中，由正弦定理 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 .
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析(3)
（1）连接 ，即可证明 ， ，从而得证；
（2）连接 、 分别交 、 于点 、 ，连接 ，即可证明 ，从而得到 ，
即可得证；
（3）根据面面平行的性质得到 ，即可得到 ，从而得解.
【详解】（1）连接 ，因为点 分别为棱 的中点，
所以 ，
又在正方体 中 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
所以 ，所以 四点共面；
（2）连接 、 分别交 、 于点 、 ，连接 ，
在正方体 中， 且 ，
所以 ，则 ，
同理可得 ，所以 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（3）因为平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
又 ，所以 ，因为 ，所以 .
19．(1)
(2) 或
(3) 或
（1）依题意可得 ，根据数量积的坐标表示及利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得；
（2）依题意可得 ，将两边平方结合数量积的运算律以及余弦定理得到方程组，即可求出
、 ，从而得解；
（3）由面积公式求出 ，再分点 与点 在直线 的异侧与同侧两种情况讨论，设 ，利用正
弦定理表示出线段的长度，再计算可得.
【详解】（1）因为 ， ，且 ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
由余弦定理 ，又 ，所以 ；（2）因为点 是 的中点，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
由余弦定理 ，即 ，
解得 或 ，所以 或 ；
（3）因为 的面积为 ，所以 ，所以 ，
若点 与点 在直线 的异侧，设 ，
则 ， ， ，
在 中由正弦定理 ，所以 ， ；
在 中由正弦定理 ，所以 ，
；
所以；
若点 与点 在直线 的同侧，设 ，
则 ， ， ，
在 中由正弦定理 ，所以 ， ；
在 中由正弦定理 ，所以 ，
；
所以
；
综上可得 的值为 或 .
