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2025-2026学年第二学期高二年级期中考试
数学试题
一、单选题
1． 可表示为排列数（ ）
A． B． C． D．
2．设一组样本数据 ， ， ， 的方差为 ，则数据 ， ， ， 的方差为（ ）
A． B． C． D．
3．国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出
乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示
范村”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．设 ， 为两个事件，已知 ， ， ，则 等于（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.7
5．已知 是首项为6的等差数列．当且仅当 时， 的前 项和取得最大值，则公差 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
6．若 的展开式中 的系数为80，则正整数 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．微信是人们的一个重要社交平台，它有一个功能是可以发朋友圈.微信发朋友圈时，可以最多同时分享
9张照片，这9张照片排成三行三列，如九宫格的形式.某人参加了2021年中国共产党建党100周年的一个
庆祝活动，拍摄了一些照片，准备将其中的9张不同照片分享给他的朋友，这9张照片中，有3张是不同
三人的演讲，有3张是不同演员的双人朗诵，有3张是不同单位的合唱，那么该人在分享照片的时候，每
行每列都是不同类别照片的排法有（ ）种.A．2592 B．1296 C．648 D．108
8．已知函数 ，关于 的方程 有且仅有4个不同的实根，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知 ，则下列说法正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下列说法正确的有（ ）
A．数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为7，中位数为6
B．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等
C．若随机变量 满足 则
D．一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三
个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种
分配方式
11．已知函数 ，则（ ）A． 在区间 上单调递增
B． 恰有两个零点
C．不等式 的解集为
D．若 ，则 的最小值为2
三、填空题
12．若 为正整数，则不等式 的解集是_____
13． 展开式中 的系数为____________．（用数字作答）
14．已知椭圆 和双曲线 有公共焦点 ， （ 为左焦点），
与 在第三象限交于点 ，直线 交 轴于点 且 平分 ，则 的离心率为_________．
四、解答题
15．用数字 组成没有重复数字的数（结果用数字作答）．
(1)求可组成多少个四位数；
(2)将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第 个数．
16．已知数列 的前 项和为 ．
(1)证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式：
(2)若 对任意 恒成立．求实数 的取值范围．
17．设函数 ．(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
18．盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准
把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行
了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为 ，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为 ，商家会以3∶2
的比例对新、旧款盲盒进行随机发货．
(1)求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率；
(2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期
望和方差；
(3)现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不
放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求
随机变量Y的分布列和数学期望．
19．在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时
送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司
每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：
方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为 ；
方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为 ；
方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为 .
(1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；
(2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：
①第1次，随机选择一种方案；
②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择
一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为 ， ， .（i）求 ， ，并证明：数列 为等比数列；
（ii）求 和 ，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.参考答案
1．A
【详解】 .
故选：A.
2．C
【详解】因为样本数据 ， ， ， 的方差为 ，
所以由方差的性质可知，
数据 ， ， ， 的方差为 ．
3．B
【详解】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为 ．
故选：B
4．C
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 .
5．C
【详解】因为 是首项 的等差数列，所以 ，
因为当且仅当 时， 的前 项和取得最大值，则 且 ，
当 时： ，则 ，所以 ，
当 时： ，则 ，所以 ，
综上， ，即公差 的取值范围是 .
6．B
【详解】由题意可得 的展开式中 的系数为
，
化简可得 ，即 ，解得 .
7．A
【详解】确定3类图片的位置排列：
第一行的排列数： ，第二行是第一行的错位排列，则排列方式有2种，
第三行排列方式唯一确定，因此，类别位置的排列方式有 （种）.
各类图片的排列数：
演讲图片放入3个位置，排列数为 ；双人朗诵图片放入3个位置，排列数为 ；合唱图片放入3
个位置，排列数为 .
故总排法有 （种）.
8．A
【详解】由 可得定义域为 ，且 ，
当 且 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减，
所以： 是极大值点， ；
当 时， ；当 时， ；
由此可作出函数 的图象：令 ，则原方程 可化为： ，
得 或 ，
原方程 有且仅有4个不同的实根，等价于 和 对应的方程 的根的总
数为4个；
结合 的图象可得 的图象：
由题意知 以及 ，故 ，且 ，
结合 图象，要使得 和 有且仅有4个不同的实根，
需满足 且 ，即得 ，此时 有1个解， 有3个解，
即 .
9．ACD【详解】令 ，代入 得： ，故选项A正确的；
由通项公式可得：即 ， ，由于 ，所以 ，故选项B是错误的；
令 时，
，
又 ，
所以 ，C正确；
对 ，
求导可得： ，
再令 可得： ，正确，
故选：ACD
10．BD
【详解】由 ，得第75百分位数为第5个数，即11，中位数为 ，故A错误；
根据标准差定义，一组数据 的标准差
时，
显然有 ，故B正确；
若随机变量 满足 ，则 ，故C错误；
一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，
男医生 人，女医生 人，
现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，
且女医生去同一个医院，三个医院人数可以为 ，共有 种分配方式；三个医院人数可以为 ，共有 18种分配方式，
综上，共有36种分配方式，故D正确.
故选：BD.
11．ABD
【详解】函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，所以函数 为偶函数，
对于A项，当 时， ，
对其求导得 ，所以 在区间 上单调递增，故A项正确；
对于B项，因为 在区间 上单调递增，且 ，
根据偶函数的性质可知， ，所以 恰有两个零点，故B项正确；
对于C项，因为 为偶函数，且在 上单调递增，
所以 等价于 ，
得 ，两边平方得 ，
而函数 的定义域为 ，所以 的解集为 ，故C项错误；
对于D项，因为 ，且 为偶函数，
得 ，即 ，
因为 ，
所以 ，又因为 在区间 上单调递增，所以 ，得 ，
则 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为2，故D项正确．
12．
【详解】 化为 ，即 .解得 ，因为 ，则
.故原不等式的解集为 .
故答案为： .
13．
【详解】解： 展开式中含 的项为 ，
故 展开式中 的系数为 ．
14．
【详解】
椭圆 中 ，故 ， ，
，
由题意可知 ，且 ，
由椭圆定义可得 ①，由双曲线定义可得 ②，
联立①②得 ，
由角平分线定理可知， ，
设 ， 在直线 上，由分点比例得 ，
则 ，解得 ，
在椭圆上，则 ，解得 ，
，
，
由 得 ，
，化简得 ，
，
，解得 ，
．
15．(1)
(2)
【详解】（1）四位数字的千位不能为0，有 种；
其余三位数从剩下的5个数字中选3个排列，有 种；
由分步乘法计数原理得： 种．（2）千位为1：后三位从其余5个数中选3个排列，共有 个；
千位为2：从第 个数开始，共计 个，
，即求千位为2的第 个数；
百位为0：共计 个，对应第 个数；
百位为1：共计 个，对应第 个数；
第 个数是千位为2，百位为3的最小四位数，即为： ．
16．(1)证明见解析， ；
(2)
【详解】（1）证明：由 ，则 ，即 ，
又 ，所以数列 是首项、公差均为 的等差数列，
所以 ，所以 .
（2）解：由 ，
则 ，
所以 ，
所以 .
因为 对任意 恒成立．
所以 ，整理得 对任意 恒成立，
令 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，当 时 ，所以 ，即 的最小值为 ，
综上，实数 的取值范围为 .
17．(1)当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 单调递减，在 单调
递增；
(2)证明见解析.
【详解】（1）函数 的导数为 ，
当 时， 恒成立，故 ，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 单调递减，在
单调递增.
（2）由（1）知，当 时， 在 处取得最小值，
因此，对任意 ，有 .
只需证明 ，即
令 ， .
求导得 ，
，故 在 上单调递增.
由 知，当 时， ，当 时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增.
所以 在 处取得最小值 .
因此 ，即 成立，等号当 且 时取得.
18．(1)
(2) ；
(3)
Y 2 3 4 5
P
；
【详解】（1）设事件A为：买到新款盲盒，事件B为：买到旧款盲盒，事件C为：盲盒中出现“隐藏
款”，
则 ，
则 ；
（2）每个盲盒是否开出隐藏款相互独立，每个盲盒开出隐藏款的概率为 ，
因此随机变量 ， 根据二项分布的期望、方差公式：
得 ， ；
（3）当拆出全部2个隐藏款或全部4个常规款时，即可确定所有盲盒类型，停止抽取，
因此Y的可能取值为2，3，4，5， 隐藏款的位置共有 种等可能情况，
计算概率得： （前2个均为隐藏款）,（第二个隐藏在第3位，前2位有1个隐藏）,
（第二个隐藏在第4位，或前4个均为常规款），
（剩余所有情况），
Y的分布列为：
Y 2 3 4 5
P
数学期望： .
19．(1)
(2)（i） ， ，证明见解析；（ii） 和 见解析，能提高.
【详解】（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为 ，
设物流提前送达为事件D，则 .
（2）（i）第一次随机选择，则 ，
若第一次提前送达，概率为 ，若第一次未提前送达，则概率为 ，
则 ， ，
由题意得 ，
， ，
则
，又 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（ii）由（i）得 ①，
同理
，又 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ②，
①②联立得 ，
设第n次提前送达事件为
则
，
随着n增大， 逐渐增大，且 ，
所以当 时， ，
