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荆州中学 2023 级高三年级数学测试卷答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1.【答案】D【详解】因为
所以 ，共轭复数 对应的点坐标为 ，位于第四象限，故选：D.
2.【答案】D【详解】由 ,故选：D.
3.【答案】C【详解】点 从 出发，沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达 点，
， ，故选C.
4.答案】D 【解答】解： 为第四象限角，
， ，
是第三象限或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上， 故选：
5.【答案】B【详解】由题意有： ，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，又函数定义域关于原点对
称，故 ，即 ，
又因为 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.故选：B.
6.【答案】D【详解】化简得： ， ，
根据正弦定理整理可得 ，因为
即 ，所以 或 ，
学科网（北京）股份有限公司可得 或 或 ,所以 等腰三角形或直角三角形．故选：D．
7.【答案】B【详解】将 用 代替，换元转化即：对函数 ，若 时， 恒
成立，求实数a的取值范围，
法1【详解】当 ， 时， ，当 时，
，此时 ，所以 ，不满足当 时， ，
故 不符合题意；当 ， 时， ，
解得 ，
由于 时， ，故 ，解得 ；当 ， 时， 恒成立，符合题
意；
当 ， 时， ，解得 ，由于
时， ，故 ，解得 .综上 .故选：B
法2：当 时， 等价于 或者 ．将 看成未知量，变形于
或者 ．所以 的取值范围是 ．故选：B
8. 【答案】C【详解】取 ，得到 ，
取 ，得 ，故函数 为偶函数，故B正确；
取 ，得 ，构造
得 ，故函数 为周期函数，周期为3，故A正确；
取 ，得到： ，取 ，得 ，故C错误．
由 ，得 ．所以 ，
故D正确；选C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.【答案】ACD【解析】
【详解】对于A：右拖尾特征：分布右侧有少数极端大值，左侧数据较集中.平均数 vs 中位数：
平均数受极端值影响显著，向右偏移.中位数仅取决于数据中间位置，对极端值不敏感.
学科网（北京）股份有限公司结论：右拖尾时，平均数通常大于中位数，故A正确
对于B：由 ，所以数据11，13，5，6，8，1，3，9按从小到大排列为 ，
下四分位数是 ，故B错误；
对于C：因为随机变量 ，所以 ，则
，为定值，故C正确.
对于D选项：在回归分析中，决定系数 越大，说明回归效果越好，故D 正确；故选：ACD.
10【答案】AD 【解析】解：易得 ，由 可知 ，故 ，
由其在区间 上单调递增可知 ，
故 ，解得 ，代入 可知题设条件成立，故 ，
于是 ，故A正确;
此时 ，由 可得 ，
由正弦定理可得 的外接圆直径 ，故外接圆面积 ，故B错误;
不妨记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可得 ，
即 ，
故 ，
于是 ，
而 ，故 ，
于是 ，故 ，
故 ，
当且仅当 时，等号成立，故r的最大值为 ，故C错误;
学科网（北京）股份有限公司当r取最大值时， ，记BC的中点为O，易知 ，
于是由等腰三角形的性质可知 ，
故 且 ，当且仅当A，P，O三点共线时等号成立.
故AP的取值范围是 ，故D正确.故选
11【答案】ABD 【解答】解：对于A，当 时， ，令 ，则 ， ，
， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
在 上单调递增， 根据复合函数单调性可知： 在 上为增函数，A正确；
对于B，当 时， ，又a为正实数， ，
， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
则由 得： ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
，则正实数a的最小值为 ，B正确；
对于C， ， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，则 ；
不妨设 ，则必有 ，
若 ，则 ，等价于 ，
又 ，则等价于 ，
令 ，则 ，
， ， ， ，当且仅当 时等号成立，
， ，
则 ， 在 上单调递增， ，即 ，
，可知 不成立，C错误；
对于D，由 ， 得： ，即
学科网（北京）股份有限公司，
由C知： 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
，则 ， ，
，即 ， ；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，即 的最大值为 ，D正确.故选：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.【答案】 （改编于必修一P127）
13.【答案】 （必修一P230）
14.【答案】 【详解】
过P作 ，交 于 ，连接 ，则 ，
设 ，当 在线段 上时， ，则，
由 ，得 在直角 中， ，
∴ ，因为P在移动过程中 越来越长， 越来越短，所以 越来越大，
∴此时 时， 取得最大值为 ，
当 在 的延长线上时， ，
学科网（北京）股份有限公司在直角 中 ，∴ ，
令 ，则 ，
则 可得 ，所以 时， ； 时，
所以函数 在 上单调递增，在 单调递减，
所以函数在 时取得最大值为 ，故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15【答案】（必修二P54）（1） （2）
【详解】【小问1详解】由 及正弦定理得
.
因为 ，
所以 .由于 ，
所以 .又 ，故 . …………7分
【小问2详解】由题得 的面积 ，故 ①.
而 ，且 ，故 ②，由①②得 . …………13分
16【答案】（1） ，单调增区间是 （1）见解析
学科网（北京）股份有限公司【详解】解： 把函数 的图象向左平移 个单位，得到函数
的图象．根据 的图象关于直线 对称，
得 ，即 ，
又 ，所以 ，则 …………4分
则
，
则函数 的最小正周期 ， …………6分
令 ，得 ，
故函数 的单调增区间是 …………8分
在区间 上， 列表如下：
0
x
2 1 1 3 2
…………11分
故 在区间 上的大致图象是：
学科网（北京）股份有限公司…………15分
17【答案】（必修一P230）
（1） ， 的值域为 ； ， 的值域为 （2） 的值域为
【详解】（1）解：当 时， ；
的值域为
…………2
当 时， ，
此时有 ； 的值域为 …………4
（2）猜想 的值域为 ．
【证明】因为 ． 令 …………8分
，其中 ，则 ．
由 ,得 ,又 在 上单调递增，
所以 ，时 单调递减； ， 单调递增．
因此 1.
的值域为
即 的值域为 . …………15分
18【答案】（1） ； （2）（i） ；（ii）数 或 .
学科网（北京）股份有限公司【解析】【小问1详解】设事件 “一轮答题中系统派出通识题”，事件 “该选手在一轮答题中答
对”，依题意， ， ，
因此 ，
所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为 .
…………3分
【小问2详解】（i）设事件 “该选手在第 轮答对题目”，各轮答题正确与否相互独立，
由（1）知， ，
当 时，挑战显然不会终止，即 ，
当 时，则第1、2轮至少答对一轮， ，由概率加法公式得
； …………6分
同理 .…………9分
（ii）设事件 “第 轮答题结束时挑战未终止”，
当 时，第 轮答题结束时挑战未终止的情况有两种：
①第1轮答对，且第2轮到 轮结束时挑战未终止；
②第1轮答错，且第2轮答对，第3轮到 轮结束时挑战未终止，
因此第 轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为 ，
而各轮答题正确与否相互独立，因此 ，
所以 时， ，
…………13分
学科网（北京）股份有限公司设存在实数 ，使得数列 为等比数列，
当 时， ，整理得 ，
而 ，则 ，解得 或 ，
当 时 ，
因此当 时，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列；
当 时，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以存在实数 或 ，使得数列 为等比数列.
…………17分
19【答案】（1）2次缠绕； （2） ；（3）证明见解析.
【详解】解： 函数 和 在 上“2次缠绕”，
理由如下：由 ，可得当 和 时， ，
则对任意 ， ，当且仅当 和 时，等号成立，
所以由“m次缠绕”定义可知 和 在 上“2次缠绕”.
…………4分
设 ，因为 和 在 上“3次缠绕”，
所以存在互异的三个正数 ， ， ，使得 ，
当且仅当 ， ，2，3时等号成立，所以 ， ， 是 的三个零点.
注意到 ，所以1是 的一个零点. ，
当 时， ，
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①在 上递增，1是 的唯一零点，不合题意； …………5
分
当 时， ， 在 上递减，1是 的唯一零点，不合题意；…………6分
②
当 时，令 ，即 ，
③
可知方程 存在两根 ， ，且 ，
当 时， ， 递减;
当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，
…………8分
所以 ，因为 ，
设 ， ，因为 ，
所以 在 上递减，所以 ，即 ，所以存在 ， ，
又 ， ，所以存在 ， ，
所以 恒成立，
即 时， 和 在 上“3次缠绕”，
综上，a的取值范围是
…………12分
（第（2）问用极限说明，未说明 ，扣2分）
取 ， 设 ，
令 ， ， ，
显然 ，且 ，
当且仅当 ， ，2， ，m时，等号成立.
所以对任意 ，
学科网（北京）股份有限公司存在 ， ， ，其中 ，
使得 ，且 和 在 上“m次缠绕”. …………17分
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