文档文本内容
2026 年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试
数学试卷
（完卷时间：120分钟 满分：150分）
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1. 已知集合 ， ，若 ，则 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用子集的定义求解.
【详解】 ， ， ，
集合 中所有的元素都在集合 中，
集合 中的元素 在集合 中，
.
故答案为： .
2. 关于 的不等式 的解集为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由 可得: ，解不等式可得其解集.
【详解】由 可得: ，
解得: ，
所以不等式 的解集为 .
第1页/共22页
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
3. 已知 ， ，若 ，则 ____________.
【答案】2
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，解得 .
故答案为：2.
4. 在平面直角坐标系中，点 到直线 的距离为____________.
【答案】 ##0.6
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式求解即可.
【详解】根据点到直线的距离公式可得 .
故答案为： .
5. 的二项展开式中， 的系数为____________.
【答案】
【解析】
【分析】写出二项展开式的通项公式 ，令 ，解出 ，代入即可得到答案.
【详解】二项式的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
第2页/共22页
学科网（北京）股份有限公司所以 的系数为 .
故答案为： .
的
6. 若 ， ，且 ，则 最大值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】由于 、 为正值，且 为定值4，因此可以运用基本不等式先求出 的最大值，进而
求出 的最大值．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∴ ，当且仅当 时取等号，即 ， 时取等号
故答案为：2．
【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基
础题
7. 在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法.
【答案】6
【解析】
【分析】结合组合知识求解即可.
【详解】由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可，
则一共有 种选法.
故答案为：6.
8. 已知点 为抛物线 上一点，若点 到 的焦点的距离是 到 轴的距离的两倍，则点 的横
坐标是____________.
【答案】
第3页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】设 ，根据条件，利用抛物线的定义得 ，即可求解.
【详解】因为抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，设 ，
由题有 ，解得 ，
故答案为： .
9. 已知 ，对于所有满足 的复数 ，都有 的最小值与 的最小值相同，则
____________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据复数的几何意义分析求解即可.
【详解】由 得复数 对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆，
因为 表示点 到圆上一点的距离，且点 到圆心 的距离为1，
则 的最小值为 ，
而 表示点 到圆上一点的距离，且点 到圆心 的距离为 ，
则 的最小值为 ，
又因为 的最小值与 的最小值相同，
所以 ， ，解得 .
故答案为：3.
10. 在 中， 、 在边 上，且 ， ， 与 所成的夹角为 ，则
的最大值为____________.
第4页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】先利用 与 表示 、 ，再将 转化为 与 的计算，进而求解.
【详解】
, 与 所成的夹角为
令 ，则
当 时， 的最大值为 .
故答案为： .
11. 已知椭圆 与椭圆 相交于 、 、 、 四点，且与 和
的四个焦点在同一个圆上，则 _____________.
【答案】
【解析】
第5页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可.
【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，
所以根据椭圆 和 的对称性可知，该圆的圆心为原点，
因此有 ，
且两个椭圆的半焦距为 ，
因此该圆的方程为 ，
又因为 、 、 、 四点与 和 的四个焦点在同一个圆上，
所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆 上，
由 ，代入椭圆 中，
得 ，又 ，故 ，
故答案为：
12. 有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径 厘米，壶身高 厘米，壶内油
液面高 厘米，壶嘴长 厘米，与壶身夹角为 ，壶嘴最低点距壶底 厘米，将壶身向壶嘴方向至
少转_____________度可使油倒出（精确到 ）
第6页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合条件分别表示出 ，然后在 中，由正弦定理代入计算，即可得到结
果.
【详解】
设壶嘴最低点，最高点分别是 ，
图中圆柱轴截面矩形，距离点 最近的顶点是点 ，另外三个顶点分别为 ，
当水平液面经过点 时，可将油倒出，
设倾斜角为 ，当液面经过点 时， ，
先考虑液面不超过点 ，即 的情况，
设液面与 分别交于点 ，
设 的中点为 ，过 作 的垂线，垂足为 ，
则 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
在 中， ，
即 ，
第7页/共22页
学科网（北京）股份有限公司即 ，
即 ，所以 ，
即 ，
因为 ，所以至少将油壶倾斜 即可将油倒出.
故答案为：
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答
题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对
得5分，否则一律得零分.
13. 下列数列中是等差数列也是等比数列的是（ ）
A. 1, ,1, ,1 B. 1，2，3，4，5
C. 5，5，5，5，5 D. 1，2，3，5，7
【答案】C
【解析】
【分析】设该数列为 ，由题可得 ，其中 为常数，据此推得
，即得该数列为非零常数列，即可判断.
【详解】设该数列为 ，则该数列满足 ，其中 .
则 ，因 为常数，该式对任意正整数成立，则 ，
从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意.
故选：C
14. 已知 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
第8页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C.
【详解】对于A,取 ，则 故 ，所以A错误，
对于B，取 则 ，此时 ，故B错误，
对于C，由于 ，故 ，因此 ，C正确，
对于D,取 ，则 ，此时 ，故D错误，
故选：C
15. 平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系 中有一图形 ，过 内任意一点 作垂
直于 轴的直线 ，满足 为一线段.现沿 方向平移这些线段，使得它们的中点均在 轴上，这样
叫做平移对称法.对于 ， ，直线 和直线 围成的封闭图形 ，对它进行一次
平移对称，得到的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
第9页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【分析】先作出两函数在区间 上的图象，根据平移对称法，分别算出 和 时，两函数的函
数值，求得对应线段的中点的纵坐标，从而得出需要将两函数图象上下平移的长度，根据平移后对应点的
坐标结合各选项逐一判断即得；也可以通过计算两函数的函数值差值等分量，根据该函数的类型结合选项
确定答案.
【详解】方法一：依题意，作出函数 与 在 上的图象.
按照平移对称法，当 时， ，线段中点纵坐标为 ，
则应将此时的线段沿 方向向下平移 ， 的图象上的对应点纵坐标应分别为 和 ，故排除B项；
当 时， ，线段中点纵坐标为 ，则应将此时的线段沿 方向向下平移 ，
的图象上的对应点纵坐标应分别为 和 ，故可排除C，D两项，A项符合题意.
方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数 和函数 在 上的函数值差值
等分在 轴上下两侧，
等分量为 ，故在 上线性变化，结合选项知，只有选项A符合题意.
故选：A.
第10页/共22页
学科网（北京）股份有限公司16. 对于函数 ， ，设 .对于点集 ，若存在 ，
使得任取 ，总有 ，则称 为“最低点”.对于函数 和 ，以下说法
中正确 的是（ ）
A. 若 和 都有最小值，则 有最低点；
B. 若 有最低点，则 和 都有最小值；
C. 若 或 有最小值，则 有最低点；
D. 若 有最低点，则 或 有最小值.
【答案】D
【解析】
【分析】可以举反例证明选项 A、B、C 的命题均为假命题，对 D，根据“最低点”的定义分析得
或 ，再分类讨论即可.
【详解】对于A项，取 ， ，取 ， ，
则 ， ；而 无最低点，故A错误；
对于B项，取 ， ，取 ， ，
则 无最小值， ；而 有最低点 ，故B错误；
对于C项，取 ， ，取 ， ，
则 无最小值， ；
因为 的函数值可趋向于负无穷大，所以 无最低点，则
亦无最低点，故C错误；
对于D项，因为 有最低点，不妨设 为 的最低点， 且 ，
第11页/共22页
学科网（北京）股份有限公司且 ，
所以 或 ，
若 ，则 且对任意的 ，总有 ，即 ；
若 ，同理可知 ；
所以若 有最低点，则 或 有最小值，故D正确.
.
故选：D
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规
定区域内写出必要的步骤.
17. 某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：
年龄 剪纸 摄影 画画 人数
8 45
10 55
6 50
（1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在 岁的有多少人？
（2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？
（3）现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在 为事件 ，记抽到学员爱好摄影为事件 .
事件 与 是否独立？请说明理由.
【答案】（1）9； （2） ；
（3）不相互独立，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意，计算 年龄段占总体比例，据此可得答案.
（2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案；
第12页/共22页
学科网（北京）股份有限公司（3）验证 ，是否等于 可得答案.
【小问1详解】
年龄段占总体比例为： ，则抽取人数为： ；
【小问2详解】
由题可得 人的平均年龄为： ；
【小问3详解】
由题可得 ， ， ，
注意到 ，则事件A与事件B不相互独立.
18. 如图所示正四棱台 ，其中 ， .
（1）当 时，求 和平面 所成角；
（2）证明： 平面 ；若棱台高为3，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）
（2）证明见解析，体积为
【解析】
【分析】（1）作 到下底面的垂线，确定线面角的平面角，再通过边长计算该角的大小.
（2）连接上下底面对角线的交点，利用正棱台性质证得线线平行，进而证明线面平行；利用线面垂直将
三棱锥拆分为两个小棱锥，结合棱台的高计算其体积.
第13页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
过 作 平面于 ,连接 ，
过 分别作 于 于 ,连接 ,
如图 为 在平面 上的投影,
由于 平面 ，所以 ，
由于 平面 ，
所以 平面 .由于 平面 ，所以 .
所以 ,同理 , ,四边形 为正方形,
所以 ， 为 在平面 上的投影,
又因平面 平面 ,
所以 和平面 所成角即 ， ,
故 和平面 所成角为 .
【小问2详解】
连接 、 交于 ,连接 、 交于 ,
如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得 ,且 ,
所以四边形 为平行四边形,所以 ，
第14页/共22页
学科网（北京）股份有限公司因为 平面 , 平面 ，所以 平面 .
由正棱台性质, 与上下底面均垂直,则 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和,
即:
19. 已知函数 .
（1）当 ， ，求函数 在 处的切线方程；
（2）若函数 的最小正周期为 ，且 在 上恰好有1351个解，求 的取
值范围.
【答案】（1）
（2） 或 ，
【解析】
【分析】（1）根据 以及 可得 ，即可求导以及点斜式求解直线方
第15页/共22页
学科网（北京）股份有限公司程，
（2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解.
【小问1详解】
当 时，则 ，
根据 可得 ，故 ，故 ，
由于 ，故 ，故 ，
，则 ，
故函数 在 处的切线方程为 ，故 ，
【小问2详解】
函数 的最小正周期为 ，故 ，所以 ，
令 ，当 ，则 ，
令 ，则 或 ，
当 时，要使得 有1351个实数根，则 ，解得 ，
第16页/共22页
学科网（北京）股份有限公司当 时，要使得 有1351个实数根，则 ，解得
，
当 时，要使得 有1351个实数根，则 ，无解，
综上可得 或 .
20. 已知双曲线 ，过点 作不垂直于 轴的直线 交双曲线 于 、 两点.
（1）求双曲线离心率；
（2）若点 ，点 在双曲线的右支上，且 是 的中点，求直线 的斜率；
（3）若 ， ， 分别是双曲线 的左右焦点， 是 关于 轴的对称点，若存在直线 使得
，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
第17页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）求出 ，直接利用公式即可求解；
（2）根据中点坐标公式求出点 ，将点 坐标代入双曲线方程求出 ，再利用斜率公式即可求出答案；
（3）设直线 方程为 ，联立求出 ，由题意得 且
，再根据 求出 ，结合 且 可求出答案.
【小问1详解】
对于双曲线 ， ， ，
，
所以双曲线离心率 .
【小问2详解】
因为点 是 的中点，所以点 ，
代入双曲线方程 ，得 ，
解得 ，
又点 在双曲线的右支上，所以 ，即 ，
所以 ，
所以直线 的斜率为 .
【小问3详解】
当直线斜率为 时，易知 与 共线，不符合题意；
第18页/共22页
学科网（北京）股份有限公司当直线斜率不为 时，设直线 方程为 ，
设 ， ，则 ，
联立 ，整理得 ，
（*）且 ，
， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
即 ，
即 ，
整理得 ，即 ，
代入（*）中得 ，又 ，所以 ，
又因为 ，即 ，所以 且 ，
综上， 的取值范围为 .
第19页/共22页
学科网（北京）股份有限公司21. 设 是定义在 上的函数.定义性质 ：若对任意 ，当 时， ，
则称函数 具有“性质 ”.
（1）判断函数 是否具有“性质 ”；
（2）若分段函数 具有“性质 ”，求所有满足条件的实数 和 的解；
（3）已知 的值域为 ，且在 上是严格增函数，证明： 是偶函数的充要条件是：
具有“性质 ”.
【答案】（1）没有，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可；
（2）根据一次函数的单调性，结合“性质 ”的特性进行求解即可；
（3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质 ”的特性进行运算证明即可.
【小问1详解】
函数 不具有“性质 ”，理由如下：
例如当 时，显然 成立，
，根据指数函数的单调性可知 ，
第20页/共22页
学科网（北京）股份有限公司所以有 ，这与“性质 ”矛盾，故函数 不具有“性质 ”；
【小问2详解】
因为函数 具有“性质 ”，所以取 ，有 ，
于是有 ，
当 时，由 ，
当 时，由 ，
若 ，若 ，则有 ，
取 ，
此时 ，但是 ，不符合“性质 ”，所以 不符合题意，
故 ，此时 ，
若 时，则 ，
由 ，
若 时，则 ，
由 ，
因此 ，
综上所述：当且仅当 时，满足条件；
【小问3详解】
第21页/共22页
学科网（北京）股份有限公司充分性：若 具有“性质 ”，则 是偶函数.
若存在 ， ，不妨设 ，
记 ，即 ，
因为函数 的值域为 ，
所以 ，
若 ，则有 ，
若 ，则有 ，
故对任意 ， ，这与 的值域为 矛盾，
所以 不成立，则有 ，因此函数 是偶函数；
必要性：若 是偶函数，则 具有“性质 ”.
当 时，因为 在 上是严格增函数，
所以 ，
又因为函数 是偶函数，
所以由 ，因此 具有“性质 ”.
所以 是偶函数的充要条件是： 具有“性质 ”.
第22页/共22页
学科网（北京）股份有限公司
