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2026年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国1卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1. 样本数据 的中位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
【详解】将已知数据从小到大排序为 ，则中位数为 .【答案】B
2. 已知平面向量 ， 不共线，且 ，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【详解】由题意可知平面向量 不共线，且 ，则 .【答案】A
3. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【详解】因为 ， ，
，
即集合 ，且集合 ，所以 .【答案】C
4. 曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【详解】因为 ，则 ，当 时， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .【答案】D
5. 已知抛物线 （ ）和 （ ）均经过点 ，则 的焦点与
的焦点之间的距离为（ ） A. 12 B. C. 6 D.
【详解】 抛物线 经过点 ，
∵
1
学科网（北京）股份有限公司将 代入 的方程得 ，即 ，解得 .
∴
的焦点坐标为 ，即 . 抛物线 经过点 ，
∴ ∵
将 代入 的方程得 ，即 ，解得 .
∴
的焦点坐标为 ，即 .根据两点间距离公式， 与 之间的距离为：
∴
.【答案】D
6. 已知函数 的最大值为1，则 （ ） A. B. 1 C. D. 2
【详解】法1：（1）当 时，由 ，解得 ，
故函数 定义域为 .
①当 时， ，
当 ，则 ，故不存在最大值，不合题意；
②当 时，此时 ， ，故最大值不为 ，不合题意；
③当 时， ，
当 ，则 ，故不存在最大值，不合题意；
（2）当 时，则 ，则函数 定义域为 .
且由 最大值为 可知， ，
即 对任意 恒成立，且等号能取到.
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
故 ，当且仅当 时， ，
2
学科网（北京）股份有限公司由 对任意 恒成立，可知 ，
又当 时，恒有 ，取不到等号，所以有 .
法2： ，由选项知 ，则定义域为 ，
故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为 ，
由 ，则由 ，可得 ①，
且 ，即 ②，联立①②解得 .
验证：当 时， ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
，且 ，且当 ， ；当 ， ；
作出函数 的大致图象，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；则 ，满足题意，故
.
法3：由选项知 ，则定义域为 ，由 ，解得 .
同法2验证可得，故 满足题意，由选项唯一可得..
法4：由选项知 ，则定义域为 ，由 ，解得 .
验证：当 时，由不等式 可得 ，
3
学科网（北京）股份有限公司故 ，当且仅当 时等号成立，故 满足题意，由选项唯一可得.【答案】B
7. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共
有 108 座塔，依山势自上而下排成 12 行，将第 行中塔的座数记为 ，其中 ，
， ，且 ， ，…， 是一个首项为7，公差为2的等差数列．将 ， ，…，
分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为 的等差数列，则
（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【详解】由已知 ， ， ， ， ，
所以数列 的前 项的和为 ，
设新数列为 ， ，由已知数列 为等差数列，设其公差为 ， ，
又 的前 项都为奇数， 所有项都为偶数，由已知 为正偶数， 为正偶数，
则 ，故 ，
若 ，则 ，矛盾，若 ，则 ，矛盾，若 ，则 ，矛盾，
若 ，则 ，此时可取 ， ， ，
， ， ，满足要求.【答案】B
8. 设 为空间中64个点构成的集合，点 ，记样本空间
，从 中随机取一个点，定义随机变量 如下：对 中的每个点 ，令
，则 的数学期望值为（ ） A. B. C. 0 D.
【详解】由题意可知： ，且随机变量 的取值为 ， ， ， ， ，
，0，1，2，3，4，5，6.
解法一：依题意，可得 ，
， ， ，
4
学科网（北京）股份有限公司， ，
所以 ；
解 法 二 ： 根 据 对 称 性 可 知 ： ， ，
， ， ，又 ，
，
所以 ；
解法三：因为 ， ，
对于任意一点 ，均存在 与之对应，可知这两点的坐标和为0，
因为 ，样本空间 ，可知样本空间 中存在唯一点 与点 对应，
所以 中所有点的坐标和的总和为 ，故 .【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设 ，则（ ）A. B. C. D.
【详解】对于A选项，复数 的共轭复数 ，因此 ，A选项正确.
对于B选项，复数的模 ，因此 ，B选项错误.
对于C选项，∵ ，∴ ，该选项正
确.
对于D选项，∵ 分子 ，分母 ，
∴ ， 是实数，故 ，该选项正确.
【答案】ACD
10. 在空间中， 、 为两个定点，动点 到直线 的距离为2，动点 到直线 的距离为1．若二面
5
学科网（北京）股份有限公司角 为 ，则（ ）
A. B.
C. 当 时， 平面 D. 当 平面 时，
【详解】不失一般性作图如下，过点 作 ， 为垂足，过点 作 ， 为垂足，
过点 作 ， ，连接 ，则 ，因为二面角 为 ，
所以 ，由已知 ，
所以 ，所以 ，
故 ， ，B正确；
当点 与点 的距离无限大时， ， 无限大， 无限靠近 ，
此时 趋向于 ，A错误；因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
若 ， 不重合，结合 ， 平面 ，
可得 平面 ， 平面 ，所以 ，矛盾，所以 重合，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 故 平面 ，C正确；因为 平面 ，若 平面 ，
则平面 与平面 重合，此时点 与点 重合，点 与点 重合，
故 与 的夹角为 ，D错误.【答案】BC
11. 已知圆 ，圆 ，圆 ，直线
与 ， ， 均有两个交点．记 被 ， ， 截得的弦长分别为 、 、 ，则（ ）
A. 可以取任意实数 B. 满足 的直线 共有 条
C. 满足 的直线 多于 条 D. 当 时， 的最大值为
【详解】记直线 到 的距离分别为 ，则 ， ，
6
学科网（北京）股份有限公司.∵ 直线与三个圆均有两个交点，
∴ ， ， ，对应弦长为 .
A：∵ 解 ，得 ，
解 ，得 ，不妨取 ，
∵ ，
∴ ，记 ，
解 ，得 ，记 ，
当 ，即 时， ，
此时不存在这样的直线 与三个圆都相交.∴ 不能取任意实数，A错误.
B：∵ ，∴ .
由 得 ，平方得 ，即 或 .
①当 时，直线为 ，由 得 ，解得 ，
此时 ，符合条件，对应直线 条.
②当 时，直线为 ，由 得 ，解得 ，
此时 ，符合条件，对应直线 条.综上，共 条直线满足条件，B正确.
C：令 ，∴ ， ，
令 ，则 ，∴ .
令 ，即 ，
7
学科网（北京）股份有限公司平方整理可得 ，解得 或 ，即 或 ，
经验证，此时 均小于 ，满足题目要求，此时已有 条直线，多于 条，C正确.
D：当 时， ， ，
∴ ， ，
令 ，则 ，∴ .
设 ，求导得 ，
令 得 ，此时 取最大值 ，
∴ 的最大值为 ，D正确.【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 双曲线 的离心率为__________．
【详解】将双曲线 化为标准方程，得 ，则 ，
因此 ，则离心率为 .【答案】
13. 已知 （ ， ）是偶函数， 在区间 单调递增．则
__________， __________．
【详解】设函数 的最小正周期为 ，由题意可知 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为函数 在 内单调递增，则 ，即 ，可得 ，解得 ，
且 ， ，则 ，
解法一：因为函数 为偶函数，则 ， ，且 ，
则 ， ，若 ，则 ，
即 或 ，不符合题意，
若 ，则 ，
即 或 ，符合题意；
且 或 ；
综上所述： ， .
解法二：因为 ，
若函数 为偶函数，则 ，即 ，且 ，则 ，
若 ，则 ， ，
即 或 在 内恒成立，
可知函数 在 内单调递减，不符合题意，
若 ，则 ， ，
即 或 在 内恒成立，
9
学科网（北京）股份有限公司可知函数 在 内单调递增，符合题意，
且 或 ；
综上所述： ， .
解法三：因为函数 为偶函数，且函数 在 内单调递增，
可知 在 处取到极小值，则 ， ，且 ，
则 ， ，则 ，
即 或 ，符合题意；
且 或 .【答案】 ①. ②.
14. 设实数 满足：存在数列 ，使得对于任意 ，均有 ，且 中有
某连续9项 ， ， ， 是公比为 的等比数列．则 的最大值为__________．
【详解】令 ，由题意得 ，
因此每个三项块 的和为 .
设这9项为 ，记 . 由于 ，且完整三项块和均为正，
下面按 除以3的余数讨论.若 ，这9项正好包含三个完整三项块，
得 ， ， ，
于是 且 ，矛盾，故这种起点不存在.
若 ，其中两个完整三项块为第 块，第 块，
10
学科网（北京）股份有限公司得 ， ，所以 .
若 ，其中两个完整三项块为第 块，第 块，
得 ， ，所以 .
综上 ，所以 ，即 的最大值为 .【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分
别为 ， 的中点．（1）证明： 平面 ；（2）设 ，直
线 与平面 所成的角为 ，求直线 到平面 的距离．
【小问1详解】由题意证明如下：
如图，作出符合题意的图形，连接 ，
在 中， ， 分别为 ， 中点，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
【小问2详解】法一：由题意及（1）得，
在直三棱柱 中， ，设 ，
四边形 与四边形 是矩形，∴ ， ， ，
建立空间直角坐标系，如下图所示，
得到 ， ， ， ， ，
∴ ，面 的一个法向量为 ，
∵直线 与平面 所成的角为 ，
设直线 与平面 所成的角为
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学科网（北京）股份有限公司∴
解得 ，∴ ， ， ， ， ，
∵ 面 ，∴由几何知识得， 到面 的距离为 .
法二：由题意及（1）得，在直三棱柱 中， ， ，
四边形 与四边形 是矩形，∴ ， ， ，
∵ ， 平面 ， 平面 ， 平面
，
∴ 平面 ， ，
∴由几何知识得， 即为直线 与平面 所成的角，
直线 与平面 所成的角为 ，
在 中， ， 分别为 ， 中点， ，
∴直线 与平面 所成的角为 ，即 ，
在Rt 中， ， ， ，∴ ，
在Rt 中， ， ，
为等腰直角三角形，过点 作 ，
则点 为 中点， ， ，
由几何知识得， 到面 的距离即为 .
16. 已知在 中， ， ， ．（1）求 ；（2）设 ， 两点满足：
在 的延长线上， ， ．若 ，求 ．
【小问1详解】在 中， ， ， .
12
学科网（北京）股份有限公司由余弦定理可知 ，
故 . 再由余弦定理得 .
【小问2详解】以 为原点， 为 轴正方向建立平面直角坐标系如图：
则 ， ，由 ， 得 .
在 延长线上，设 ，则 ， ， ，
设 ，则 .
由 ，得 ，故 .
于是 .
已知 ，则 ，则 .代入得E(-4√2, 2)，而 ，
故 .
17. 设整数 ．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 次，当且仅当投中1次时或 次均未投中
时，停止练习．设该同学每次投中的概率为 ，各次投中与否相互独立．记 为停止练习时该
同学的投篮次数．（1）当 ， 时，求 的分布列；（2）设 ， 均为自然数．（i）当
时，求 ；（ii）当 时，证明： ．
【小问1详解】由题意，整数 ，某同学进行投篮练习，至多投篮 次，
当且仅当投中1次时或 次均未投中时，停止练习，∴ 的可能取值为1，2，3，4，
当 时，表示第一次就投进球， ，
当 时，表示第2次投进球，第1次没有投进， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，表示第3次投进球，前两次没有投进， ，
当 时 ， 表 示 在 第 次 停 止 ， 此 事 件 等 价 于 前 次 投 篮 均 未 投 中 ，
，
作出 的分布列如下图所示：
1 2 3 4
【小问2详解】（i）由题意及（1）得，整数 ，某同学进行投篮练习，至多投篮 次，
当且仅当投中1次时或 次均未投中时，停止练习，
当 时， 表示前 次均未投中，∴ .
（ii）由题意及（2）（i）证明如下：
即 .
18. 已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ．（1）求 的方程；（2）设
为坐标原点，过 且斜率大于 的动直线 与 交于 ， 两点，其中 在第三象限，直线 与 的
另一个交点为 ．（i）若 的面积是 的面积的 倍，求 的方程；（ii）求 的最小
值．
【小问1详解】已知椭圆 的左焦点为 ，离心率 ，
则 ，解得 ， ，因此椭圆方程为 .
【小问2详解】解法一：设 ，点 ，点 ，其中 ，
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学科网（北京）股份有限公司联立直线 与椭圆方程 ，得 ，
由韦达定理得 ，
由于 两点在椭圆上，关于原点对称，
所以点 ，且 ，
（i）由面积公式， ，
又因为 是线段 的中点，所以 ，所以 ，
，由于 ，得 ，即 ，
令 ，由 与 ，得 ，
代入 ，得 ，解得 ，
所以 ，所以直线 的方程为 .
（ii）直线 的斜率为 ，
于是 ，当且仅当 时取等号，
故 的最小值为 .
解法二：（i）如图所示，设直线 的方程为 ，其中斜率 ，
设点 ，点 ，且 ，根据椭圆的中心对称性可知，点 ，
15
学科网（北京）股份有限公司联立直线与椭圆方程，得 ，化简得 ，
由韦达定理可得 ，
因为 是 关于原点 的对称点，所以 是线段 的中点，
因此 ，所以 ，由于 ，所以 ，
，
，
所以 ，即 ，
由于 ，所以简化为 ，
代入韦达定理，得 ，则 ，
化简得 ，由于 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
（ii）由题意， 即为直线 与直线 的夹角，
直线 即直线 ，方程为 ，
点 ，点 ，点 ，直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，
由于 在直线 上，有 ，
16
学科网（北京）股份有限公司则 ，代入 ，
则 ，
设直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，则 ，
因此 ，
即 ，
由基本不等式得 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以
的最小值为 .
19. 已知函数 的定义域为 ，且当 时， ．对任意 ，定义集合
．（1）若当 时， ，求 ；
（2）若 是奇函数， ，且 ，证明： ；
（3）设 满足：①若 ，则 ；②当 时， ．
（i）证明： ；（ii）证明： 在区间 单调递增．
【小问1详解】由题意，在 中， ， ，
在 中，
，∴ ，
当 时， ， ，解得 ，
17
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，解得 ，∴ ，∴ .
【小问2详解】由题意证明如下：
在 中， 是奇函数，当 时， ．
∴ ，当 时， ，∴
在集合 中，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，∴ 且 ，即 ， ，
∵ ，∴①当 时，解得 ，
， ，此时 ，
②当 时，解得 ，
， ，此时 ，
③ 当 时 ， 解 得 ， ， ， 此 时
，
综上， .
【小问3详解】（i）由题意证明如下，
法一：若 ，则存在 ，使得 ，
条件①：若 ，则 ，∴ ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司取 ，则 ，此时 ，
∵ ，则 ，即 ，
但 ，相矛盾， ∴
法二：假设 ，则存在 ，使得 ，
从而 ，这导致 ，但 ，
∵根据条件又有 ，矛盾，∴假设不成立， .
（ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下，在集合 中，
要证 在 上单调递增，即需证 ， ，都有 ，
即需证 ， ，都有 ，
①先证明：当 时， ，假设 ，使得 ，
∵当 时， ，∴ ，使得 ，∴ ，
而当 时， ，
否则 ，使得 ， ，与 矛盾，
∴ ，∴ ，∴ ，
由（3）（i）得， ，则 ，
由条件②：当 时， ，则 ，
否则 时， 与 矛盾，
∴若 ，使得 ，则 ， ，（*）
∴ ，使得 ，则 ，
令 ， ，
19
学科网（北京）股份有限公司此时 ，则 ，则 ，∴ ，
∵ ，∴易取 ， 满足 ， 使得 ，
根据（*）可得，此时 ，与 矛盾，∴当 时， ，
②证明：对 ， ，都有 ，
∵ ， ，都有 ，∴ ，
对任意给定的 ，取 ，则 ，
∴对 ， ，都有 ，∴ 在 上单调递增.
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学科网（北京）股份有限公司
