2025 年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷
（解析卷）
一、 填空题 (本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分.
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果)
1.已知全集 U={x | 2≤x≤5,x∈R},集合 A={x | 2≤x<4,x∈R},则 A=_.
【详解】根据补集的含义知 A={x∣4≤x≤5,x∈R}.故答案为: {x|4≤x≤5,x∈R}.
x-1
2.不等式 <0的解集为 .
x-3
【详解】原不等式转化为 (x-1)(x-3)<0,, 解得1<x<3,
则其解集为(1,3).
故答案为: (1,3).
3.己知等差数列{a }的首项 a =-3,，公差d =2，则该数列的前6项和为 .
n 1
6×5
【详解】根据等差数列的求和公式， S =6a + d=12.
6 1 2
故答案为：12
4.在二项式 (2x-1) 5的展开式中，x³的系数为 .
【详解】由通项公式 T =Cr ⋅25-r ⋅x5-r ⋅(-1) '=C' ⋅(-1) ' ⋅25-rx5-r,
r+1 5 5
令5-r=3, 得r =2,
可得x³项的系数为 C2 ⋅(-1) 2 ⋅25-2=80.
5
故答案为：80.
[ π π]
5. 函数y= cosx在 - , 上的值域为 .
2 4
[ π ]
【详解】由函数y= cosx在 - ,0 上单调递增，在
2
[ π] ( π) (π) √2
0, 单调递减，且 f - =0,f (0)=1,f = 故
4 2 4 2
[ π π]
函数y= cosx在 - , 上的值域为[0,1].
2 4
故答案为: [0,1].
第 1 页/共13页E[X]=_
6.已知随机变量X的分布为 则期望
【详解】由题设有 E[x]=5×0.2+6×0.3+7×0.5=1+1.8+3.5=6.3.
故答案为: 6.3.
7.如图，在正四棱柱 ABCD-A B C D 中，BD=4√2,DB =9，则该正四棱柱的体积为
1 1 1 1 1
.
【详解】因为 BD=4√2且四边形ABCD 为正方形，故 BA=4,
而 DB =9,故 BB2+BD2=81,故 BB =7,
1 1 1
故所求体积为7×16=112,
故答案为: 112.
1 1
8. 设a ,b>0,a+ =1,则 b+ 的最小值为 .
b a
1 ( 1)( 1) 1 √ 1
【详解】易知 b+ = b+ a+ =ab+ +2≥2 ab⋅ +2=4,
a a b ab ab
1
当且仅当 ab=1 ,即 a= ,b=2时取得最小值.
2
故答案为：4
9.4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则
不同的排列个数有 种.
【详解】先选两位家长排在首尾有 P2=12种排法；再排对中的四
4
人有 P4=24种排法，故有12×24=288种排法.
4
故答案为：288
10.已知复数z满足 z2=(z) 2,∣z∣≤1,则|z-2-3i|的最小值是 .
【详解】设 z=a+bi(a,b∈R),∴z=a-bi,
第 2 页/共13页由题意可知 z2=a2+2abi-b2=⃗z2=a2-2abi-b2,则 ab=0,又 ∣z∣=√a2+b2≤1,由复数的几何
意义知z在复平面内对应的点Z(a，b)在单位圆内部 (含边界)的坐标轴上运动，如图所示即
线段AB，CD 上运动，
设 E(2,3), 则 ∣z-2-3i∣=∣ZE∣,由图象可知
∣BE∣=√10>∣CE∣=2√2,所以 ∣ZE∣ =2√2.
min
故答案为： 2√2
11.小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为 1
米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为 A、B，它们在阳光的照射下呈现出
影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的
影子完全在斜面上，长度为 0.45 米.则斜面的底角 θ=_.(结果用角度制表示，精确到(
0.01∘)
1
【详解】如图，在A 处， tanx= =2.5,在B处满足tan∠CED =2.5 ,
0.4
(其中ED ∥水平面，CE 是射过B处杆子最高点的光线，光线交斜面于E)，
1+ y
故设BD = y , 则 ED= ,
2.5
由勾股定理， y2+
(1+ y) 2
=0.452,解得y≈0.098,
2.5
0.098
于是 θ=arcsin ≈12.58∘
0.45
故答案为: 12.58°
第 3 页/共13页1, x>0
12. 已 知 f(x)={ 0, x=0,是 ⃗a、 ⃗b、 ⃗c平 面 内 三 个 不 同 的 单 位 向 量 . 若
-1, x<0
f (⃗a⋅⃗b)+f (⃗b⋅⃗c)+f (⃗c⋅⃗a)=0, 则 ∣⃗a+⃗b+⃗c∣的取值范围是 .
【详解】若 f (⃗a⋅⃗b)=f (⃗b⋅⃗c)=f (⃗c⋅⃗a)=0,则 ⃗a⋅⃗b=⃗b⋅⃗c=⃗c⋅⃗a=0,
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量 ⃗a,⃗b,⃗c两两垂直，显然不成立；
故 {f (⃗a⋅⃗b),f (⃗b⋅⃗c),f (⃗c⋅⃗a)}={-1,0,1}.
不妨设 则 ⃗a⋅⃗b>0,⃗b⋅⃗c=0,⃗c⋅⃗a<0,
不妨设 ⃗b=(1,0),⃗c=(0,1),⃗a=(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),
→ →
则 { a·b=cosθ>0 ,则 θ∈ (3 π,2π ) ,
→ → 2
c·a=sinθ<0
则 ⃗a+⃗b+⃗c∣=∣(1+cosθ,1+sinθ)∣=√(1+cosθ) 2+(1+sinθ) 2=√3+2cosθ+2sinθ
√ ( π)
= 3+2√2sin θ+ ,
4
(3 ) π (7 9 )
由 θ∈ π,2π ,θ+ ∈ π, π ,
2 4 4 4
( π) ( √2 √2) ( π)
则 sin θ+ ∈ - , ,2√2sin θ+ ∈(-2,2)
4 2 2 4
故 ∣⃗a+⃗b+⃗c∣∈(1,√5).
故答案为： (1,√5).
第 4 页/共13页二、选择题 (本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题
有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.)
1 1
13.己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为 P(A)= ,事件B发生的概率为 P(B)= ,
2 2
则事件
A∩B发生的概率 P(A∩B)为
1 1 1
A. B. C. D.0
8 4 2
1 1 1
【详解】因为 A，B相互独立，故 P(A∩B)=P(A)P(B)= × = ,
2 2 4
故选: B.
14. 设a>0,s∈R . 下列各项中, 能推出a³>a的一项是
A. a>1, 且s>0 B. a>1, 且s<0
C. 0<a<1, 且s>0 D. 0<a<1, 且s<0
【详解】 ∵a>0,as>a,∴as-1>1=a0,
当a∈(0,1) 时, y=aˣ定义域上严格单调递减，
此时若s-1<0 ，则一定有 as-1>1=a0成立，故D 正确，C错误；
当a∈(1,+∞)时,y=aˣ定义域上严格单调递增，要满足 as-1>1=a0,需s>1, 即A、B错误.
故选：D
15.已知A(0,1),B(1,2) ,C在Γ :x2- y2=1(x≥1,y≥0)上,则∆ ABC 的面积
A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值
C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值
【详解】设曲线上一点为(a，b)，则 a2-b2=1,则 a=√b2+1,
2-1
k = =1,AB方程为: y-1=x, 即x- y+1=0 ,根据点到直线的距离公式，(a，b)到AB
l
AB
1-0
的距离为：
∣a-b+1∣
=
∣√b2+1-b+1∣
=
√b2+1-b+1
,设 f (b)=√b2+1-b=
1
,
√2 √2 √2 √b2+1+b
由于b≥0 ,显然 f(b)关于b单调递减,f(b) max= f(0) ,无最小值，
即VABC 中，AB边上的高有最大值，无最小值，
又 AB 一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
第 5 页/共13页16.已知数列 {a }、{b }、{c }的通项公式分别为 a =10n-9,b =2n 、,c =λa +(1-λ)b 若对
n n n n n n n n
任意的 λ∈[0,1], a 、b 、c 的值均能构成三角形，则满足条件的正整数n有
n n n
A. 4个 B.3个 C.1个 D.无数个
【详解】由题意 a ,b ,c >0,不妨设 A(n,a ),B(n,b ),C(n,c ),
n n n n n n
三点均在第一象限内，由 c =λa +(1-λ)b 可知， ⃗BC=λ⃗BA,λ∈[0,1],
n n n
故点 C 恒在线段 AB 上，则有 min{a ,b }≤c ≤max{a ,b }<a +b .
n n n n n n n
即对任意的 λ∈[0,1],c <a +b 恒成立，
n n n
令 10x-9=2x,构造函数 f (x)=2x-10x+9,x>0,
则 f'(x)=2xln2-10,由 f'(x)单调递增,
又 f'(3)<0,f'(4)>0,存在 x ∈(3,4),使 f' (x )=0,
0 0
即当 0<x<x 时， f'(x)<0,f(x)单调递减;
0
当 x>X 时， f'(x)>0,f(x)单调递增;
0
故 f(x)至多2个零点,
又由 f(1) >0, f(2)<0, f(5)<0, f(6)>0 ,
可知 f(x)存2 个零点，不妨设 x ,x (x <x ),且 x ∈(1,2),x ∈(5,6).
1 2 1 2 1 2
①若 a ≤b ,即 10n-9≤2n时, 此时n=1或n≥6.
n n
则 a ≤c ≤b ,可知 b +c >a 成立，
n n n n n n
要使 an、bn、cn的值均能构成三角形，
所以 a +c >b 恒成立，故 b <2a ,
n n n n n
10n-9≤2n
所以有 { ,解得n=6;
2n<2(10n-9)
②若 a ≥b ,即 10n-9≥2n时, 此时n=2,3,4,5.
n n
则 a ≥c ≥b ,可知 a +c >b 成立，
n n n n n n
要使 a b c 的值均能构成三角形，所以 b +c >a 恒成立，故 a <2b ,
n n n n n n n n
10n-9≥2
所以有 { ,解得n=4 或5;
10n-9<2n+1
综上可知，正整数n的个数有3个.故选: B.
第 6 页/共13页三、解答题 (本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21 题每题 18分，共78分.解答
下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.)
17.2024年东京奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌.以下是历届奥运会男子
4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录 (单位：秒)，数据按照升序排列.
206.78 207.46 20795 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211 以上的概率；
(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 y=-0.311x+b^,年份x的平均数为2006，预测
2028年冠军队的成绩(精确到0.01 秒).
【小问1详解】
由题意, 数据的最大值为216.93, 最小值为206.78,
则极差为216.93-206.78=10.15;
数据中间两数为209.35与210.78 ,
209.35+210.68
则中位数为 =210.015.
2
故极差为10.15, 中位数为210.015 ;
【小问2详解】
由题意，数据共10个，211以上数据共有4个，
故设事件 A =“恰有2 个数据在211以上”，
C2 ⋅C1
3
则 P(A)= 4 6= ,
C3 10
10
3
故恰有2个数据在211以上的概率为 ;
10
【小问3详解】由题意，成绩的平均数
206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93
10
=211.399 ,
由直线 y=-0.311x+b^过(2006,211.399),
则b=211.399+0.311×2006=835.265,
故回归直线方程为 y=-0.311x+835.265.
第 7 页/共13页当x=2028时,y=-0.311×2028+835.265=204.557≈204.56.
故预测2028 年冠军队的成绩为204.56秒.
18.如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且AB=2.
π
(1)若直线 PA与圆锥底面的所成角为 ,求圆锥的侧面积；
3
(2)已知Q是母线PA的中点,点C、D在底面圆周上,且弧AC的长为π/3,CD∥ AB .设点 M
在线段 OC上,证明: 直线QMⅡ 平面 PBD.
【小问1详解】
π
由题知， ∠PAB= ,即轴截面△ABP是等边三角形, 故PA=AB=2,
3
1
底面周长为2π×1=2π，则侧面积为： ×2×2π=2π;
2
【小问2详解】
由题知AQ =QP,AO =OB , 则根据中位线性质, QO∥ PB ,
又QO 平面PBD , PB 平面PBD , 则QO∥平面PBD
⊄ π ⊂ π π
由于 ^AC= ,底面圆半径是1，则 ∠AOC= ,又CD∥ AB , 则 ∠OCD= ,又 OC=OD,则
3 3 3
△OCD为等边三角形，则( CD=1,
于是 CD‖BO且. CD=OB,, 则四边形OBDC 是平行四边形, 故OC∥ BD ,
又OC 平面PBD , BD 平面PBD , 故OC//平面PBD .
又0C⊄∩OQ =0,OC,OQ ⊂平面QOC,
根据面面平行的判定⊂，于是平面QOC//平面PBD ，
又 M∈OC,则QM 平面QOC , 则QM //平面PBD
⊂
第 8 页/共13页19. 已知 f (x)=x2-(m+2)x+mlnx,m∈R.
(1) 若 f(1) =0 , 求不等式 f (x)≤x2-1的解集；
(2)若函数 y =f(x)满足在(0,+∞)上存在极大值,求m的取值范围;
【小问1详解】
因为 f(1)=0, 故 1-m-2+0=0, 故 m=-1, 故 f (x)=x2-x-lnx,故
f (x)≤x2-1即为x+lnx≥1,
1
设s(x)=x+ ln x,x>0,则 s'(x)=1+ >0,故s(x)在(0,+∞)上为增函数,
x
而x+lnx≥1即为s(x)≥s(1) , 故x≥1,
故原不等式的解为[1，+∞).
【小问2详解】
f(x)在(0，+∞)有极大值即为有极大值点.
m 2x2-(m+2)x+m (2x-m)(x-1)
f'(x)=2x-(m+2)+ = = ,若 m≤0,
x x x
则x∈(0,1)时, f'(x)<0,x∈(1,+∞)时， f'(x)>0,故x=1为f(x)
m
的极小值点，无极大值点，故舍；若 0< <1即 0<m<2,则
2
(m )
x∈ ,1 时， f'(x)<0,
2
( m)
x∈ 0, ∪(1,+∞)时， f'(x)>0,
2
m
故 x= 为 f (x)的极大值点，符合题设要求；
2
若m=2, 则x∈(0,+∞)时, f'(x)≥0,f(x)无极值点, 舍;
m ( m)
若 >1即m>2 , 则 x∈ 1, 时， f'(x)<0,
2 2
(m )
x∈(0,1)∪ ,+∞ 时， f'(x)>0,
2
故x=1为 f(x)的极大值点，符合题设要求；
综上, m>0且m≠2.
第 9 页/共13页x2 y2
20. 已知椭圆Γ: + =1(a⟩√5),M(0,m)(m⟩0),A是Γ的右顶点.
a2 5
(1) 若Γ的焦点(2,0), 求离心率e;
(2) 若a =4 , 且Γ 上存在一点 P, 满足 ⃗PA=2⃗MP,求m;
(3)已知AM的中垂线/的斜率为2，/与Γ交于 C、D两点， ∠CMD为钝角，求a的取值范
围.
【小问1详解】
x2 y2
由题意知， Γ: + =1(a⟩√5), 则 b2=5,
a2 5
由右焦点(2,0) , 可知c=2 , 则 a=√5+c2=3,
c 2
故离心率 e= = .
a 3
【小问2详解】
由题意 A(4,0),M(0,m)(m>0) , P(xp, yp)
由 ⃗PA=2⃗MP得，
(4 2m) x2 y2 1 4m2
解得 P , ,代入 + =1,得 + =1,又m>0 ,
3 3 16 5 9 45
解得 m=√10.
【小问3详解】
1
由线段 AM 中垂线/的斜率为2 ，所以直线AM 的斜率为 - ,
2
m-0 1 a
则 =- ,解得 m= ,
0-a 2 2
(a a)
由A(a,0),M(0,a/2得 AM 中点坐标为 , ,
2 4
3 (3 )
故直线l： y=2x- a,显然直线/过椭圆内点 a,0 ,
4 8
故直线与椭圆恒有两不同交点，
设C(x ,y ),D(x ,y ) ,
3
由 { ₁y=2₁x- 4 a₂ 消 ₂ y得 (4a2+5)x2-3a3x+ 9 a4-5a2=0,
16
5x2+a2y2=5a2
9
a4-5a2
由韦达定理得 3a3 16
x +x = ,x x = ,
1 2 4a2+5 1 2 4a2+5
( a)
因为∠CMD 为钝角，则 ⃗MC⋅⃗MD<0,且 M 0, ,
2
第 10 页/共13页( a)( a)
则有 x x + y - y - <0,
1 2 1 2 2 2
所 以 x x + ( 2x - 5a)( 2x - 5a) =5x x - 5 a(x +x )+ 25 a2<0,即
1 2 1 4 2 4 1 2 2 1 2 16
5 ( 9 a4-5a2) - 5a ×3a3+ 25 a2(4a2+5)<0,解得 a2<11,又 a>√5,
16 2 16
故 √5<a<√11,即a 的取值范围是 (√5,√11).
第 11 页/共13页21.已知函数. y=f (x)的定义域为R .对于正实数a，定义集合 M ={xf (x+a)=f (x)}.
a
π
(1) 若 f(x) = sin x , 判断 f (x)=sinx, 是否是 M 中的元素，请说明理由；
3 a
(2) 若求a的取值范围；
(3) 若 y= f(x)是偶函数, 当 x∈(0,1]时, f (x)=1-x,且对任意 a∈(0,2),均有
M ⊆M .写出 y=f (x),x∈(1,2) 解析式, 并证明: 对任意实数 c, 函数 y= f(x)-c 在
a 2
[-3,3]上至多有9个零点.
【小问1详解】
(π) π √3 (π ) π √3 π
(1)f =sin = ,f +π =-sin =- ,则 不是 M 中的元素.
3 3 2 3 3 2 3 a
【小问2详解】
法一：因为M。≠∅，则存在实数x。使得 f (x +a)=f (x ),且a>0,
0 0
当x<0时,f(x)=x+2, 其在(-∞,0)上严格单调递增,
当x≥0时, f (x)=√x,其在[0，+∞)上也严格单调递增，
则 x <0≤x +a,则 x +2=√x +a,
0 0 0 0
令x+2=0 , 解得 x =-2 , 则 -2≤x <0,
0
则
法二：作出该函数图象，则由题意知直线y=t与该函数有两个交点，
由图知0≤t<2 , 假设交点分别为 A(m,t) , B(n,t),
联立方程组 { √m=t 得 a=∣AB∣=m-n=t2-(t-2)= ( t- 1) 2 + 7 ∈ [7 ,4 )
n+2=t 2 4 4
【小问3详解】
第 12 页/共13页(3)对任意 x ∈(1,2),x -2∈(-1,0),因为其是偶函数，
❑ 0
0
则 f (x -2)=f (2-x ),而 2-x -(x -2)=4-2x ∈(0,2),
0 0 0 0 0
所以 x -2∈M ⊆M ,
0 4-2x 2
0
所以 f (x )=f (x -2)=f (2-x ),因为 x ∈(1,2),则 2-x ∈(0,1),
0 0 0 0 0
所以 f (x )=f (2-x )=1-(2-x )=x -1,所以 f(x)=x-1,x∈(1,2) ,
0 0 0 0
所以当s∈(0,1) 时, 1-s∈(0,1) , 1+s∈(1,2) , 则 f(1-s)=1-(1-s)=s,
f(1+s)=(1+s)-1= s, 则 f(1-s) = f(1+s) ,
而1+s-(1-s)=2s, (3-s)-(1-s)=2 ,
则 1-s∈M ⊆M ,则 f(1-s) = f(3-s) ,
2s 2
所以当x∈(2,3)时,f(x)=f (x-2)=1-(x-2)=3-x,而 f (x)为偶函数,画出函数图象如下：
其中 f(-3) = f(3), f(-2)= f(2), f(0),但其对应的y值均未知.
首先说明 f(-3) =n∉(0,1) ,
若 f(-3)=n∈(0,1) , 则-3+n∈(-3,-2) , 易知此时 f(x)=x+3,x∈(-3,-2),
则 f(-3+n) =n , 所以 f (-3)∈M ⊆M ,而x∈[-1,0)时,f(x)=x+1,
n 2
所以 f(-3) = f(-1)=0 , 与 f(-3)=n矛盾, 所以 f(-3)∉(0,1) , 即
f(-3) = f(3)∉(0,1)
令y= f(x)-c=0, 则 y = f(x)=c,
当c=0时，即使让f(-3)= f(3)= f(-2)= f(2)= f(0)=0,此时最多7个零点，
当c≥1时, 若 f(-2) = f(2)= f(0)= f(-3)= f(3)=c,此时有5个零
点，故此时最多5个零点；
第 13 页/共13页当c<0时, 若 f(-2)= f(2)= f(0) = f(-3)= f (3)=c,此时有 5 个
零点，故此时最多5个零点；
当0<c<1时, 若 f(-2)= f(2)= f(0)=c, 此时有 3 个零点,若
f(-3) =c∈(0,1) , 则-3+c∈(-3,-2) , 易知此时f(x)=x+3,则
f(-3+c)=c, 所以 f (-3)∈M ⊆M ,,而x∈[-1,0)时, f(x)=x+1 ,
c 2
所 以 f(-3) = f(-1) =0 , 与 f(-3) = p矛 盾 , 所 以
f(-3)∉(0,1) ,则最多在(-3,-2),(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)
之间取得6个零点,以及在x=-2，0，2处成为零点，故不超过9个零
点.
综上，零点不超过9个.
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