文档文本内容
2025 年全国统一高考数学试卷
（新高考Ⅱ卷）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答
案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．18
1
2．已知 ，则 =（ ）
z-1
A． B． C． D．1
3．已知集合 则 （ ）
A． B．
C． D．
4．不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
第1页/共4页5．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．设抛物线 的焦点为 点A在C上，过A作 的准线的垂线，垂足为
B，若直线BF的方程为 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．记 为等差数列 的前n项和，若 则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.
9．记 为等比数列 的前n项和， 为 的公比， 若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则（ ）
A． B．当 时，
C． 当且仅当 D． 是 的极大值点
11．双曲线 的左、右焦点分别是 ，左、右顶点分别为
，以 为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且 ，则（ ）
第2页/共4页A． B．
C．C的离心率为 D．当 时，四边形 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知平面向量 若 ，则
13．若 是函数 的极值点，则
14．一个底面半径为 ，高为 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个
半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ．
第3页/共4页四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤.
15．已知函数 ．
(1)求 ;
(2)设函数 ，求 的值域和单调区间．
16．已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点 的直线l与C交于 两点， 为坐标原点，若 的面积为 ，求
．
17．如图，在四边形 中， ，F为CD的中点，点E在AB上，
， ，将四边形 沿 翻折至四边形 ，使得面
与面EFCB所成的二面角为 ．
(1)证明: 平面 ；
第4页/共4页(2)求面 与面 所成的二面角的正弦值．
18．已知函数 ，其中 ．
(1)证明： 在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设 分别为 在区间 的极值点和零点.
（i）设函数 ·证明： 在区间 单调递减；
（ii）比较 与 的大小，并证明你的结论．
19．甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率
为 ，乙胜的概率为q， ，且各球的胜负相互独立，对正整数 ，记
为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率， 为打完k个球后乙比甲至少多得2分的
概率．
(1)求 （用p表示）．
(2)若 ，求p．
(3)证明：对任意正整数m， ．
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