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2025 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试
卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．8
3．双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．为得到函数 的图象，只需把函数 的图象上的所有点（ ）
A．横坐标变成原来的 倍，纵坐标不变 B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
C．纵坐标变成原来的 倍，横坐标不变 D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
5．已知 是公差不为0的等差数列， ，若 成等比数列，则 （ ）
A． B． C．16 D．18
6．已知 ，则（ ）
A． B．
第1页/共4页C． D．
7．已知函数 的定义域为D，则“函数 的值域为 ”是“对任意 ，存在
，使得 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要
条件
8．设函数 ，若 恒成立，且 在 上存
在零点，则 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
9．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间
（单位：小时），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从 个单位增加到
个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从 个单位增加到
个单位时，训练时间增加（单位：小时）（ ）
A．2 B．4 C．20 D．40
10．已知平面直角坐标系 中， ， ，设 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．抛物线 的顶点到焦点的距离为3，则 ．
12．已知 ，则 ；
第2页/共4页．
13．已知 ，且 ， ，写出满足条件
的一组 ， ．
14．某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中
ABCDEF是一个平行多边形，平面 平面ABC，平面 平面ABC，
， ，若
，则该多面体的体积为 ．
15．关于定义域为R的函数 ，以下说法正确的有 ．
①存在在R上单调递增的函数 使得 恒成立；
②存在在R上单调递减的函数 使得 恒成立；
③使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个；
④使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．在 中， ．
(1)求c；
(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求BC的高．
① ；② ；③ 面积为 ．
17．四棱锥 中， 与 为等腰直角三角形， ，
E为BC的中点．
第3页/共4页(1)F为 的中点，G为PE的中点，证明： 面PAB；
(2)若 面ABCD， ，求AB与面PCD所成角的正弦值．
18．有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，
乙校有75人答对，用频率估计概率．
(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率．
(2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数
学期望．
(3)若甲校同学掌握这个知识点则有 的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则
有 的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设
甲校学生掌握该知识点的概率为 ，乙校学生掌握该知识点的概率为 ，试比较 与
的大小（结论不要求证明）
19．已知 的离心率为 ，椭圆上的点到两焦点距离之和为4，
(1)求椭圆方程；
(2)设O为原点， 为椭圆上一点，直线 与直线 ，
交于A，B． 与 的面积为 ，比较 与 的大小．
20．函数 的定义域为 ， 为 处的切
线．
(1) 的最大值；
第4页/共4页(2) ，除点A外，曲线 均在 上方；
(3)若 时，直线 过A且与 垂直， ， 分别于x轴的交点为 与 ，求
的取值范围．
21． ，从M中选出n个有序数对构成一列：
．相邻两项 满足： 或 ，称为k列．
(1)若k列的第一项为 ，求第二项．
(2)若 为k列，且满足i为奇数时， ：i为偶数时， ；判断：
与 能否同时在 中，并说明；
(3)证明：M中所有元素都不构成k列．
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