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绝密★启用前
2024 年普通高等学校招生全国统一考试
全国甲卷理科数学
使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
.
1 设 ，则 （ ）
.
A B. C. 10 D.
2. 集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 若实数 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4. 等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知双曲线 的上、下焦点分别为 ，点 在该双
曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D.
6. 设函数 ，则曲线 在 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（
）
A. B. C. D.
7. 函数 在区间 的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
9. 已知向量 ，则（ ）
A. “ ”是“ ”的必要条件 B. “ ”是“ ”的必要条件
C. “ ”是“ ”的充分条件 D. “ ”是“ ”的充分条件
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学科网（北京）股份有限公司是
10. 设 两个平面， 是两条直线，且 .下列四个命题：
①若 ，则 或 ②若 ，则
③若 ，且 ，则 ④若 与 和 所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④
11. 在 中内角 所对边分别为 ，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
12. 已知b是 的等差中项，直线 与圆 交于 两点，则 的最小
值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中，各项系数的最大值是______．
14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 和 ，母线长分别为 和 ，则两个圆台
的体积之比 ______．
15. 已知 ， ，则 ______．
16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记
为前两次取出的球上数字的平均值， 为取出的三个球上数字的平均值，则 与 差的绝对值不超过 的
概率是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17题~第21题为必
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学科网（北京）股份有限公司考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
的
17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间 产品中随机抽取150件
进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
（1）填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 的把握认为甲，乙两车间产
品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 ，设 为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认
为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ ）
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18. 记 为数列 的前 项和，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和为 ．
19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，
， ， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．
20. 设椭圆 的右焦点为 ，点 在 上，且 轴．
（1）求 的方程；
（2）过点 的直线与 交于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ，证明：
轴．
21. 已知函数 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂
黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐
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学科网（北京）股份有限公司标方程为 .
（1）写出 的直角坐标方程；
（2）设直线l： （ 为参数），若 与l相交于 两点，若 ，求 的值.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 实数 满足 ．
（1）证明： ；
（2）证明： ．
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