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绝密★启用前
2024 年普通高等学校招生全国统一考试
全国甲卷理科数学
使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
i z+z =
z =5+i
1 设 ，则 （ ）
.
A 10i B. 2i C. 10 D. -2
.
2. 集合A=1,2,3,4,5,9,B= x xÎA ，则ð AÇB=（ ）
A
A.
1,4,9
B.
3,4,9
C.
1,2,3
D.
2,3,5
ì4x-3y-3³0
ï
3. 若实数x,y满足约束条件íx-2y-2£0 ，则z = x-5y的最小值为（ ）
ï
2x+6y-9£0
î
7
1
A. 5 B. C. -2 D. -
2 2
4. 等差数列 a 的前n项和为S ，若S =S ，a =1，则a =（ ）
n n 5 10 5 1
7
A. -2 B. C. 1 D. 2
3
y2 x2
5. 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F 0,4,F 0,-4 ，点P-6,4 在该双曲
a2 b2 1 2
线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 2
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学科网（北京）股份有限公司ex +2sinx
6. 设函数 f x= ，则曲线y = f x 在 0,1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
1+x2
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
7. 函数 f x=-x2 + ex -e-x sinx在区间[-2.8,2.8]的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
cosa æ πö
8. 已知 = 3，则tan ç a+ ÷ =（ ）
cosa-sina è 4ø
3
A 2 3+1 B. 2 3-1 C. D. 1- 3
.
2
r r
9. 已知向量a =x+1,x,b=x,2，则（ ）
r r r r
A. “x=-3”是“a ^b”的必要条件 B. “x=-3”是“a//b”的必要条件
r r r r
C. “x=0”是“a ^b”的充分条件 D. “x=-1+ 3”是“a//b”的充分条件
10. 设a、b是两个平面，m、n是两条直线，且a I b=m.下列四个命题：
①若m//n，则n//a或n//b ②若m^n，则n^a,n^b
③若n//a，且n//b，则m//n ④若n与a和b所成的角相等，则m^n
其中所有真命题的编号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④
π 9
11. 在 ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c，若B= ，b2 = ac，则sinA+sinC =（ ）
V
3 4
3 7 3
A. B. 2 C. D.
2 2 2
第2页/共5页
学科网（北京）股份有限公司12. 已知b是a,c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2 + y2 +4y-1=0交于A,B两点，则 AB 的最小
值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 5
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
10
æ1 ö
13. ç + x ÷ 的展开式中，各项系数的最大值是______．
è3 ø
14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r 和r ，母线长分别为2r -r 和3r -r ，则两个圆台
1 2 2 1 2 1
V
的体积之比 甲 =______．
V
乙
1 1 5
15. 已知a >1， - =- ，则a =______．
log a log 4 2
8 a
16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m
为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过 1 的
2
概率是______．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17 题~第 21 题为必
考题，每个考题考生必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60分．
17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进
行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
（1）填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
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学科网（北京）股份有限公司乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品
的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p =0.5，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果
p(1- p)
p > p+1.65 ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认
n
为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ 150 »12.247）
n(ad-bc)2
附：K2 =
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P K2 ³k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18. 记S 为数列 a 的前n项和，且4S =3a +4．
n n n n
（1）求
a
的通项公式；
n
（2）设b =(-1)n-1na ，求数列 b 的前n项和为T ．
n n n n
19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，
BC //AD,EF //AD，AD=4,AB= BC = EF =2，ED= 10,FB=2 3，M 为AD的中点．
（1）证明：BM / /平面CDE；
（2）求二面角F -BM -E的正弦值．
x2 y2 æ 3ö
20. 设椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F ，点Mç1, ÷在C上，且MF ^x轴．
a2 b2 è 2ø
（1）求C的方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）过点P4,0 的直线与C交于A,B两点，N 为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证
明：AQ^ y轴．
21. 已知函数 f x=1-axln1+ x-x．
（1）当a=-2时，求 f x 的极值；
（2）当x ³0时， fx³0恒成立，求a的取值范围．
（二）选考题：共 10分，请考生在第 22、23题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将所选题号涂
黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐
标方程为r=rcosq+1.
（1）写出C的直角坐标方程；
ìx=t
（2）设直线l：í （t为参数），若C与l相交于A、B两点，若 AB =2，求a的值.
îy =t+a
[选修 4-5：不等式选讲]
23. 实数a,b满足a+b³3．
（1）证明：2a2 +2b2 >a+b；
（2）证明： a-2b2 + b-2a2 ³6．
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