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2025 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用
时120分钟.第1卷1至3页第Ⅱ卷4至6页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，
并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答
在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
·如果事件 互斥，那么
·如果事件 相互独立，那么
·棱柱的体积公式 ，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
·圆锥的体积公式 ，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合 ，则∁ （A∪B）=（ ）
u
A． B． C． D．
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
第1页/共4页A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数 的图象如下，则 的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
4．若m为直线， 为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
5．下列说法中错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ， Y:N(2,22 )，则
C． 越接近1，相关性越强
D． 越接近0，相关性越弱
6． ，则数列 的前 项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
7．函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
第2页/共4页8． ，在 上单调递增，且 为它的一条对
称轴， 是它的一个对称中心，当 时， 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
9．双曲线 的左、右焦点分别为 ，以右焦点 为焦点的抛物线
与双曲线交于另一象限点为P，若 ，则双曲线的离心率
（ ）
A．2 B．5 C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
10．已知i是虚数单位，则 ．
11．在 的展开式中， 项的系数为 ．
12． ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与 交于C、D
两点， ，则 ．
13．小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若
第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则
第3页/共4页第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若
一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望
14． 中，D为AB边中点， ，则 （用 ， 表
示），若 ， ，则
15．若 ，对 ，均有 恒成立，则 的最小值为
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．
16．在 中，角 的对边分别为 ．已知 ， ，
．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求 的值．
第4页/共4页17．正方体 的棱长为4， 分别为 中点， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求三棱锥 的体积．
18．已知椭圆 的左焦点为F，右顶点为A，P为 上一点，且直线
的斜率为 ， 的面积为 ，离心率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分 .
19．已知数列 是等差数列， 是等比数列， ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2) ， ，有 ，
（i）求证：对任意实数 ，均有 ;
（ii）求 所有元素之和．
20．已知函数
(1) 时，求 在点 处的切线方程；
(2) 有3个零点， 且 .
第5页/共4页（i）求a的取值范围；
（ii）证明 ．
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