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绝密★启用前
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直
接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .
1．若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I是虚数单位)，则其共轭复数 =__________________ .
2．已知集合 ， ，且 ，则实数 a 的取值范围是
______________________ .
3．若行列式 中，元素4的代数余子式大于0，
则x满足的条件是________________________ .
4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x
满足的关系式是____________________________ .
5．如图，若正四棱柱 的底面连长为2，高 为
4，则异面直线 与AD所成角的大小是______________（结果
第1页 | 共20页用反三角函数表示）.
6．函数 的最小值是_____________________ .
7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表
示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 ____________（结果用最简分数表
示）.
8.已知三个球的半径 ， ， 满足 ，则它们的表面积 ， ， ，满
足的等量关系是___________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
9.已知 、 是椭圆 （ ＞ ＞0）的两个焦点， 为椭圆 上一点，且
.若 的面积为9，则 =____________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
10.在极坐标系中，由三条直线 ， ， 围成图形
的面积是________.
11. 当 ， 不 等 式 成 立 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是
_______________.
12．已知函数 .项数为27的等差数列 满足 ，且
公差 .若 ，则当 =____________是， .
第2页 | 共20页13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。
若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 ， ，
， ， ， 为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）
__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.
14.将函数 的图像绕坐标原点逆时针方
向旋转角 ，得到曲线 .若对于每一个旋转角 ，曲线 都是
一个函数的图像，则 的最大值为__________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。
15. 是“实系数一元二次方程 有虚根”的
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
16.若事件 与 相互独立，且 ，则 的值等于
（A） （B） （C） （D）
17.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感
染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁
四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0
（C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3
18.过圆 的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B， 被
圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 则直线
第3页 | 共20页AB有（ ）
（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条
三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规
定区域内写出必要的步骤
19（本题满分14分）
如图，在直三棱柱 中， ,
,求二面角 的大小。
20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（ ），
表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
（1）证明：当 时，掌握程度的增加量 总是下降；
[来
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为 , ,
。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。
第4页 | 共20页21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。
已知双曲线 设过点 的直线l的方向向量
（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2）证明：当 > 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离
为 。
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分6分。
第5页 | 共20页已知函数 的反函数。定义：若对给定的实数 ，函数 与
互为反函数，则称 满足“ 和性质”；若函数 与
互为反函数，则称 满足“ 积性质”。
（1）判断函数 是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数 对任何 ，满足“ 积性质”。求 的表达
式。
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小
题满分8分。
已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列。
（1）若 ，是否存在 ，有 说明理由；
（2）找出所有数列 和 ，使对一切 , ,并说明理由；
（3）若 试确定所有的 ，使数列 中存在某个连续
第6页 | 共20页项的和是数列 中的一项，请证明。
第7页 | 共20页2009 年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（理工农医类）
考生注意：
[
1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴
上条形码 .
2．本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .
一．真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直
接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .
4．若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I是虚数单位)，则其共轭复数 =__________________ .
1．【答案】i
【解析】设 z＝a＋bi，则（a＋bi ）(1+i) =1-i，即 a－b＋（a＋b）i＝1－i，由
，解得a＝0，b＝－1，所以z＝－i， ＝i
5．已知集合 ， ，且 ，则实数 a 的取值范围是
______________________ .
2．【答案】a≤1
【解析】因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。
6．若行列式 中，元素4的代数余子式大于0，
则x满足的条件是________________________ .
3．【答案】
w.w.w.zxxk.c.o.m
【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：
4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x
满足的关系式是____________________________ .
第8页 | 共20页4．【答案】
【解析】当x＞1时，有y＝x－2，当x＜1时有y＝ ，所以，有分段函数。
5．如图，若正四棱柱 的底面连长为2，高 为
4，则异面直线 与AD所成角的大小是______________（结果
用反三角函数表示）.
5．【答案】
【解析】因为 AD∥AD ，异面直线 BD 与 AD 所成角就是 BD 与 AD 所在角，即
1 1 1 1 1 1
∠ADB，
1 1
由勾股定理，得AB＝2 ，tan∠ADB＝ ，所以，∠ADB＝ 。
1 1 1 1 1
6．函数 的最小值是_____________________ .
6．【答案】
【解析】 ，所以最小值为：
7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表
示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 ____________（结果用最简分数表
示）.
7．【答案】
【解析】 可取0，1，2，因此P（ ＝0）＝ ， P（ ＝1）＝ ，
P（ ＝2）＝ ， ＝0× ＝
8.已知三个球的半径 ， ， 满足 ，则它们的表面积 ， ， ，满
第9页 | 共20页足的等量关系是___________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
8、【答案】
【解析】 ， ，同理： ，即R ＝
1
，R ＝ ，R ＝ ，由 得
2 3
9.已知 、 是椭圆 （ ＞ ＞0）的两个焦点， 为椭圆 上一点，且
.若 的面积为9，则 =____________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
9．【答案】3
【解析】依题意，有 ，可得4c2＋36＝4a2，即
a2－c2＝9，故有b＝3。
10.在极坐标系中，由三条直线 ， ， 围成图形的面积是
________.
10、【答案】
w.w.w.zxxk.c.o.m
【解析】化为普通方程，分别为：y＝0，y＝ x，x＋y＝1，画出三条直线
的图象如右图，可求得A（ ， ），B（1,0），三角形AOB的
面积为： ＝
11.当 ，不等式 成立，则实数 的取值范围是_______________.
11、【答案】k≤1
第10页 | 共20页【解析】作出 与 的图象，要使不等式 成立，由图可知须
k≤1。
12．已知函数 .项数为27的等差数列 满足 ，且
公差 .若 ，则当 =____________是， .
12．【答案】14
【解析】函数 在 是增函数，显然又为奇函数，函数图象关
于原点对称，因为 ，
所以 ，所以当 时， .
13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。
若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 ， ，
， ， ， 为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）
__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.
13．【答案】（3，3）
【 解 析 】 设 发 行 站 的 位 置 为 ， 零 售 点 到 发 行 站 的 距 离 为
，
这六个点的横纵坐标的平均值为 ， ，记
A（2， ），画出图形可知，发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比
较可知，在（3,3）处z取得最小值。
14.将函数 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角
，得到曲线 .若对于每一个旋转角 ，曲线 都是一个函数的图像，则 的最
第11页 | 共20页大值为__________.
w.w.w.zxxk.c.o.m
14．【答案】
【解析】由 得：（x－3）2＋（y＋2）2＝13， ，它的图
象是以（3，－2）为圆心， 为半径的一段圆弧，
设过原点且与曲线C相切的直线为y＝kx，当θ＝0时，k＝－
＝ ，此时直线的倾斜角为β，即tanβ＝ ，当切线与y轴重合时，
曲线上的点满足函数的定义，即是一个函数的图象，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函
数的图象，旋转角为90°－β，则tan（90°－β）＝ ，即θ＝
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。
15. 是“实系数一元二次方程 有虚根”的
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
15、【答案】A
【解析】△＝ －4＜0时，－2＜ ＜2，因为 是“－2＜ ＜2”的必要不充分
条件，故选A。
16.若事件 与 相互独立，且 ，则 的值等于
（A） （B） （C） （D）
16、【答案】B
【解析】 ＝ ＝
17.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感
染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁
四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0
（C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3
第12页 | 共20页17、【答案】D
w.w.w.zxxk.c.o.m
【解析】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，
中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大
于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，
如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.
18.过圆 的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、
B， 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足
则直线AB有（ ）
（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条
18、【答案】B
【解析】由已知，得： ，第II，IV部分的
面积是定值，所以， 为定值，即 为定值，当
直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直
线AB只有一条，故选B。
三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规
定区域内写出必要的步骤
19（本题满分14分）
如图，在直三棱柱 中， ,
,求二面角 的大小。
19，【解】如图，建立空间直角坐标系
则A（2，0，0）、 C（0，2，0） A1（2，0，2），
B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） ……2分
设AC的中点为M，∵BM⊥AC, BM⊥CC1;
∴BM⊥平面A1C1C,即 =(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。……5分
第13页 | 共20页设平面 的一个法向量是 =（x，y，z），
=（-2，2，-2）， =（-2，0，0） ……7分
设法向量 的夹角为 ，二面角 的大小为 ，显然 为锐角
…………………….14分
20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（ ），
表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
（3）证明：当 时，掌握程度的增加量 总是下降；
[来
（4）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为 , ,
。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。
20.证明（1）当
而当 ，函数 单调递增，且 >0……..3分
第14页 | 共20页故 单调递减
当 ，掌握程度的增长量 总是下降……………..6分
（2）由题意可知0.1+15ln =0.85……………….9分
整理得
解得 …….13分
由此可知，该学科是乙学科……………..14分
w.w.w.zxxk.c.o.m
21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。
已知双曲线 设过点 的直线l的方向向量
（3）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（4）证明：当 > 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离
为 。
21.（1）双曲线C的渐近线
直线l的方程 ………………..6分
w.w.w.zxxk.c.o.m
直线l与m的距离 ……….8分
（2）设过原点且平行与l的直线
则直线l与b的距离
第15页 | 共20页当
w.w.w.zxxk.c.o.m
又双曲线C的渐近线为
双曲线C的右支在直线b的右下方，
双曲线 右支上的任意点到直线 的距离为 。
故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为 。
[ 证法二] 双曲线 的右支上存在点 到直线 的距离为 ，
则
由（1）得 ，
设
当 ， 0………………………………..13分
将 代入（2）得 （*）
方程（*）不存在正根，即假设不成立
w.w.w.zxxk.c.o.m
故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为 …………….16分
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分6分。
已知函数 的反函数。定义：若对给定的实数 ，函数 与
互为反函数，则称 满足“ 和性质”；若函数 与
第16页 | 共20页互为反函数，则称 满足“ 积性质”。
（4）判断函数 是否满足“1和性质”，并说明理由；
（5）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（6）设函数 对任何 ，满足“ 积性质”。求 的表达
式。
22（1）解，函数 的反函数是
w.w.w.zxxk.c.o.m
而 其反函数为
故函数 不满足“1和性质”
（2）设函数 满足“2和性质”，
…….6分
而 得反函数 ………….8分
由“2和性质”定义可知 = 对 恒成立
即所求一次函数为 ………..10分
（3）设 ， ，且点 在 图像上，则 在函数 图象上，
故 ，可得 ， ．．．．．．12分
，
w.w.w.zxxk.c.o.m
令 ，则 。 ，即 。 ．．．．．．
14分
第17页 | 共20页综上所述， ，此时 ，其反函数就是 ，
而 ，故 与 互为反函数 。 ．．．．．．16分
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小
题满分8分。
已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列。
（4）若 ，是否存在 ，有 说明理由；
（5）找出所有数列 和 ，使对一切 , ,并说明理由；
（6）若 试确定所有的 ，使数列 中存在某个连续
项的和是数列 中的一项，请证明。
23．[解法一]（1）由 ，得 ， ．．．．．．2分
整理后，可得 ， 、 ， 为整数，
不存在 、 ，使等式成立。 ．．．．．．5分
（2）若 ，即 ， （*）
（ⅰ）若 则 。
当{ }为非零常数列，{ }为恒等于1的常数列，满足要求。 ．．．．．．7分
（ⅱ）若 ，（*）式等号左边取极限得 ，（*）式等号右边的极限
只有当 时，才能等于1。此时等号左边是常数， ，矛盾。
第18页 | 共20页综上所述，只有当{ }为非零常数列，{ }为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．
10分
【解法二】设
则
（i） 若d=0，则
（ii） 若 （常数）即 ，则d=0，矛盾
综上所述，有 ， 10分
（3）
设 .
，
. 13分
取 15分
由二项展开式可得正整数M M，使得（4-1）2s+2=4M +1,
1、 2 1
故当且仅当p=3s,s N时，命题成立.
说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）
若p为偶数，则a +a +……+a 为偶数，但3k为奇数
m+1 m+2 m+p
故此等式不成立，所以，p一定为奇数。
第19页 | 共20页当p=1时，则a =b,即4m+5=3k，
m+1 k
而3k=(4-1)k
=
当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立 1分
当p=3时，则a +a +a =b,即3a -b,
m+1 m+2 m+3 k m+2 k
也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1
由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3k成立 2分
当p=5时，则a +a +……+a =b,即5a =b
m+1 m+2 m+5 k m+3 k
也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在
故不是所有奇数都成立. 2分
第20页 | 共20页
