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2026 年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试
数学试卷
（完卷时间：120分钟 满分：150分）
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1. 已知集合 ， ，若 ，则 ____________.
2. 关于 的不等式 的解集为____________.
3. 已知 ， ，若 ，则 ____________.
4. 在平面直角坐标系中，点 到直线 的距离为____________.
5. 的二项展开式中， 的系数为____________.
6. 若 ， ，且 ，则 的最大值是______．
7. 在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法.
的
8. 已知点 为抛物线 上一点，若点 到 焦点的距离是 到 轴的距离的两倍，则点 的
横坐标是____________.
9. 已知 ，对于所有满足 的复数 ，都有 的最小值与 的最小值相同，则
____________.
10. 在 中， 、 在边 上，且 ， ， 与 所成的夹角为 ，则
的最大值为____________.
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学科网（北京）股份有限公司11. 已知椭圆 与椭圆 相交于 、 、 、 四点，且与 和
的四个焦点在同一个圆上，则 _____________.
12. 有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径 厘米，壶身高 厘米，壶内油
液面高 厘米，壶嘴长 厘米，与壶身夹角为 ，壶嘴最低点距壶底 厘米，将壶身向壶嘴方向至
少转_____________度可使油倒出（精确到 ）
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答
题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对
得5分，否则一律得零分.
13. 下列数列中是等差数列也是等比数列的是（ ）
A. 1, ,1, ,1 B. 1，2，3，4，5
C. 5，5，5，5，5 D. 1，2，3，5，7
14. 已知 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
15. 平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系 中有一图形 ，过 内任意一点 作垂
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学科网（北京）股份有限公司直于 轴的直线 ，满足 为一线段.现沿 方向平移这些线段，使得它们的中点均在 轴上，这样
叫做平移对称法.对于 ， ，直线 和直线 围成的封闭图形 ，对它进行一次
平移对称，得到的图像大致为（ ）
A. B.
C D.
.
16. 对于函数 ， ，设 .对于点集 ，若存在 ，
使得任取 ，总有 ，则称 为“最低点”.对于函数 和 ，以下说法
中正确的是（ ）
A. 若 和 都有最小值，则 有最低点；
B. 若 有最低点，则 和 都有最小值；
C. 若 或 有最小值，则 有最低点；
D. 若 有最低点，则 或 有最小值.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规
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学科网（北京）股份有限公司定区域内写出必要的步骤.
.
17 某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：
年龄 剪纸 摄影 画画 人数
8 45
10 55
6 50
（1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在 岁的有多少人？
（2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？
（3）现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在 为事件 ，记抽到学员爱好摄影为事件 .
事件 与 是否独立？请说明理由.
18. 如图所示正四棱台 ，其中 ， .
（1）当 时，求 和平面 所成角；
（2）证明： 平面 ；若棱台高为3，求三棱锥 的体积.
19. 已知函数 .
（1）当 ， ，求函数 在 处的切线方程；
（2）若函数 的最小正周期为 ，且 在 上恰好有1351个解，求 的取
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学科网（北京）股份有限公司值范围.
20. 已知双曲线 ，过点 作不垂直于 轴的直线 交双曲线 于 、 两点.
（1）求双曲线离心率；
（2）若点 ，点 在双曲线 的右支上，且 是 的中点，求直线 的斜率；
（3）若 ， ， 分别是双曲线 的左右焦点， 是 关于 轴的对称点，若存在直线 使得
，求 的取值范围.
21. 设 是定义在 上的函数.定义性质 ：若对任意 ，当 时， ，
则称函数 具有“性质 ”.
（1）判断函数 是否具有“性质 ”；
（2）若分段函数 具有“性质 ”，求所有满足条件 实数 和 的解；
的
（3）已知 的值域为 ，且在 上是严格增函数，证明： 是偶函数的充要条件是：
具有“性质 ”.
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