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湖北省沙市中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．在等差数列 中， ，则 （ ）
A．108 B．62 C．56 D．54
2．已知 的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含 项的系数为（ ）
A． B．120 C． D．240
3．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B．3 C．1 D．
4．某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布 ，全市共有10000名
考生，据此估计，该市期中考试数学分数 介于75到115之间的人数为（ ）
参考数据：若 ，则 ， ，
.
A．6636 B．8186 C．8400 D．9759
5．已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为
止．设X为取出的次数，则 （ ）
A． B． C． D．
6．用4个1、3个2、3个3组成一个十位数，则3个2相邻的十位数的个数为（ ）
A．280 B．420 C．720 D．1680
7．已知 为圆 上的不同两点，过 两点分别作圆 的切线，且两切线的交点 在
直线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C．6 D．8．如果方程 能确定 是 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如
下：在方程 中，把 看成 的函数 ，则方程可看成关于 的恒等式 ，在
等式两边同时对 求导，然后解出 即可，例如，求由方程 所确定的隐函数的导数 ，将方
程 的两边同时对 求导，则 （ 是中间变量，需要用复合函数的求导法则），
得 ，那么曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为 、 、 ，现采用分层抽样的方法从中抽取 人，进行
某项兴趣调查.已知抽出的 人中有 人对此感兴趣，有 人不感兴趣，现从这 人中随机抽取 人做进一步
的深入访谈，用 表示抽取的 人中感兴趣的学生人数，则（ ）
A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为 人、 人、 人
B．随机变量
C．随机变量 的数学期望为
D．若事件 “抽取的3人都感兴趣”，则
10．已知双曲线 ： 的渐近线与圆 ： 相切，记 的左、右焦点分
别为 ， ， 为 上一点，且 ， 与圆 交于 ， 两点，则（ ）A． 的离心率为2 B． 的渐近线方程为
C． D．若 ，则
11．如图，过原点斜率为 的直线与曲线 交于两点 以下结论中正确的有（ ）
A． 的取值范围是
B．函数 有两个极值点
C．当时 先减后增且恒为负
D．
三、填空题
12．在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取
到不合格品后，第二次取到合格品的概率为______
13．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是
的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．经过探究发
现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函
数 ， ______．
14．已知抛物线 的焦点为F，过点F且斜率不为零的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点E，若 ，则 ________．
四、解答题
15．已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
16．如图，在多面体 中，平面 平面 ，四边形 为直角梯形，四边形 为
平行四边形， ．
(1)证明： ；
(2)若点 是 中点，求点 到平面 的距离．
17．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量 服从参数为 的泊松分布
（记作 ），则其概率分布为 ，其中 为自然对数的底数．
(1)当 时，泊松分布可以用正态分布来近似，当 时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可
认为 ．若 ，求 的值；
(2)设 ，当 且 时，二项分布可近似看作泊松分布，即
，其中 .某工厂生产 件电子元器件，次品率为 ，各元件是否为次品相互独立，记 为产品中的次品
数，按泊松分布近似计算．
（i）若 ，求产品中恰有2件次品的概率；
（ii）求使得 最大时的 值．
（参考数据： ；若 ，则有 ，
， ）
18．如图，椭圆 的左、右顶点分别为 ，离心率为 ．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)过点 作两条互相垂直的直线 、 与椭圆交于 两点．
（ⅰ）证明直线 过定点，并求出该定点坐标：
（ⅱ）求 面积的最大值．
19．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，求 的最大值；
(3)若函数 有零点，证明： ．参考答案
1．D
【详解】在等差数列 中， ，解得 ，
所以 .
2．D
【详解】由题意， 时 ，所以二项式为 ，
其中 的展开式通项为 ， ，
所以 ，则 ，此时 ，
，则 不是整数，故该项不存在，
综上，展开式中含 项的系数为 .
3．B
【详解】设公比为 ，
当 时 ，不符合题意；
当 时 ，
又 ，
所以 ，解得 .
故选：B
4．C
【详解】由已知 ，
所以 ，
故数学分数 介于75到115之间的人数为 .5．C
【详解】 表示第3次正好取出第2个正品，前两次为1正品1次品，可能情况为：
正、次、正：概率为 ；
次、正、正：概率为 ；
．
6．A
【详解】要求3个2相邻，因为3个2是相同数字，
将3个2捆绑为1个整体，捆绑内部无需排列，
捆绑后共 个元素，
由重复元素的排列公式得 ，
因此符合要求的十位数个数为280.
7．B
【详解】 圆 ， 圆心 ，半径 是圆 的两条切线，
， 由圆的知识可知 四点共圆，且 ，
.
又 当 的值最小，即 时， 取得最小值.
的最小值为 .8．B
【详解】由给定定义得，对 左右两侧同时求导，
可得 ，将点 代入，得 ，解得 ，
故切线斜率为 ，得到切线方程为 ，化简得方程为 ．
9．AC
【详解】根据分层抽样的方法，可得：
从甲社团抽取的人数为 ；
从乙社团抽取的人数为 ；
从丙社团抽取的人数为 ；故A正确；
由于抽出的 人中有 人对此感兴趣，有 人不感兴趣，
用 表示抽取的 人中感兴趣的学生人数，则 的可能取值有 ，
则 ，
此时 服从超几何分布，故B错误，
则随机变量 的数学期望为 ，
故C正确；若事件 “抽取的3人都感兴趣”，则 ，故D错误；
故选：AC.
10．ABD
【详解】双曲线 ： 的渐近线方程为 ，即 .
圆 ： 的圆心为 ，半径为 .
由题意得，圆心 到渐近线的距离 ，即 ，所以 .
对于A： ，故A正确.
对于B： ，所以渐近线方程为 ，故B正确.
对于C： ， ，因为 ，所以点 的横坐标为 ，
代入双曲线方程 ，解得 .
取 ，则 ， ，
所以 ，故C错误.
对于D：若 ，则 ， ， ， ， .直线 方程为 ，即 .
圆心 到直线 的距离 ，
由垂径定理可得， ，故D正确.
11．ACD
【详解】由题意， 与 交于两点，即方程 有两个正根，等价于 有两个解.
令 ，则 ，令 ， .
极大值
又 ， ， 的取值范围 ，A选项正确.
∵f(x)=kx-lnx(x>0)， ，令 ，得 ，故 只有一个极值点 ，B选项
错误.
1
由f' (x)=k- =0，得 .
x
当 ， ， 单调递减； 时， ， 单调递增.
是交点， ，且 ，故 时， 先减后增，且 ，C正确.
lnx lnx
在 递增，在 递减，∴0<x <e<x ，又k= 1= 2 .
1 2 x x
1 2
lnx 1 lnx 1
∵lnx <1，∴k= 1< ，同理 ，∴k= 2> .
1 x x x x
1 1 2 21 1
∴ <k< ，D正确.
x x
2 1
12．
【详解】在第一次取到不合格品后，在余下9件产品中有5件合格品，4件不合格品，
所以在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为 .
13．2025
【详解】解：因为 ，所以 ， ，
令 ，得 ，又 ，
所以 的对称中心是 ，所以 ，
所以
．
14．6
【详解】如图所示，
设过F的直线AB的方程为 ，
联立直线与抛物线方程，可得 ，整理得 ，
设 ， ，由韦达定理 ，
所以AB的中点M满足 ， ，即 ，又垂直平分线EM的斜率为 ，
所以EM的方程为 ，
展开整理 ，则EM与y轴的交点满足 ，
即 ，所以 ，
根据梯形中位线可得 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ．
15．(1) ，
(2) ，
【详解】（1）因为 ，
则 ，且 ，
所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列，
所以 ，
所以 .
（2）因为 ,所以 ，
设 ,
则 ，
两式相减可得：
，
所以 ，
又 ，
所以 ,
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 ， ，故 ，故 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，故 平面 ，而 平面 ，
故 .
（2）由（1）可得 平面 ，而 ，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
因为 ，
故 ，所以 ，故 ，
而 ，设平面 的法向量为 ，
则 即 ，取 ，
故 到平面 的距离为 .
17．(1)
(2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为 ；当 为整数时， 最大时的 值为 或 ；
当 不为整数时， 最大时的 值为小于 的最大整数.
【详解】（1）因为 ，
所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为 ，即 ．
所以 ，
由 ， 得
，即.
（2）（i）由题意知 ，且 ，
又 ，所以二项分布可近似看作泊松分布，
所以 ，
所以 ，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为 .
（ii）因为 最大，所以 ，
即 ，解得 ，
又 ，所以当 为整数时， 最大时的 值为 或 ；
当 不为整数时， 最大时的 值为小于 的最大整数.
18．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析，定点坐标为 （ⅱ）
【详解】（1）由已知可得： ，解得： ， ，
所以，椭圆的方程为 ．
（2）（ⅰ）易知点 ，设点 、 ，则 ，若直线 轴，则 ， ，
所以， ，不合乎题意，
设 的直线方程为 ，
联立 ，整理得 ，
，
由韦达定理可得 ， ．
因为 ，且 ， ，
所以，
， ，
，
，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以，直线 的方程为 ，故恒过 .（ⅱ） ，
则 ．
令 ，则 ，
由对勾函数单调性知，函数 在 上为增函数，
则 ．
所以 ，当且仅当 时，即 时等号成立，此时 最大值为 ．
19．(1)答案见解析
(2) ．
(3)证明见解析
【详解】（1）因为 ，所以 ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，则由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）法1：由 ，即e-a-b+1≥0，得a+b≤e+1．
当 ， 时，a+b=e+1，下面证明此时 成立，
此时 ，由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 成立．
综上， 的最大值为 ．法2：①若 ，则
当 时， ，
b-2
当x< 时，-ax-b+2<0，
-a
b-2
所以当 且x< 时， ，不合题意．
-a
②若 ，则 的值域为 ，
所以-b+1≥0,b≤1，所以a+b≤1<e+1．
③若 ，则结合（1）得， ，
即a-alna-b+1≥0，即b≤a-alna+1，所以a+b≤2a-alna+1，
令 ，则 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，
所以 ，
当a=e,b=a-alna+1=1时，a+b=e+1．
综上， 的最大值为 ．
（3）法1：若 有零点，设零点为 ，
则 ，
即 ，
即 ，
这说明点 在直线 上，
设点 到直线 的距离为 ，
则 ，即 ，由（2）知， ，仅当 时，“=”成立，
所以
所以 ．
法2：若 有零点，设零点为 ，
则 ，
即 ，
即 ，
设a=rcosθ,b-1=rsinθ,r≥0，则 ，
即 ，其中 ，
所以 ，
所以 ，
由（2）知， ，仅当 时，“=”成立，
所以所以 ．
