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荆州中学 2025~2026 学年高二下学期五月月考
数学试题
（全卷满分150分 考试用时120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 曲线 在点 处切线的斜率为（ ）
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
2. 展开式中 的系数为
A. B.
C. D.
3. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，且没有出现并列的名
次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的
名次没有甲的好.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况的种数为（ ）
A. 12 B. 18 C. 27 D. 36
4. 若函数 在区间 上单调递增，则实数m的取值范围（ ）
A. B. C. D.
5. 在某次数学测试中，学生成绩 服从正态分布 ，若 在 内的概率为0.6，则
任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（ ）
A. 0.16 B. 0.24 C. 0.32 D. 0.48
6. 从混有 张假钞的 张百元钞票中任意抽出 张，将其中 张放到验钞机上检验发现是假钞，则另 张
也是假钞的概率为（ ）
A. B.C. D.
7. 世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人
分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这
四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种.
A. 120 B. 60 C. 24 D. 36
1
8. 将杨辉三角形中的每一个数 都换成 ，就得到一个如图所示的分数三角形，称为“莱布尼茨
(n+1)Cr
n
三角形”，它具有很多优美的性质，比如从第 行开始每一个数都等于其“脚下”两个数之和 记第 行所有
数的和为 ，关于数列 ，下列说法中错误的是（ ）
5
A. a =
3 6
1 1
B. 当 且 时a = a +
n 2 n−1 n
1
C. a <
2024 1012
n+2
D. 数列 的前 项和S ≥4−
n 2n−1
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若随机变量 的数学期望 ，则E(2X−1)=9
B. 若随机变量 的方差 ，则D(2Y +5)=12
C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷 次，记正面向上的次数为 ，则 服从二项分布D. 从 男 女共 名学生干部中随机选取 名学生干部，记选出女学生干部的人数为 ，则 服从超几
何分布
10. 在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，决赛采用五局三胜制和三局两胜制其中一种，若
每局比赛甲胜乙的概率都为 ，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则下列说法中正确的是（
）
A. 若采用三局两胜制，甲获得冠军时，比分为 的可能性最大
B. 若采用五局三胜制，甲获得冠军时，比分为 和 的可能性相等
C. 若采用五局三胜制，则比赛对乙更有利
D. 若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲仍有超过 的可能性获得冠军
11. 已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上任意一点（不在 轴上），
外接圆的圆心为 ，半径为 ， 内切圆的圆心为 ，半径为 ，直线 交 轴于点 ，
为坐标原点，则（ ）
A. 最大时， B. 的最小值为
C. D. 的取值范围为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种．
13. 长时间看手机有可能影响视力. 据调查，某校学生有 的人近视，而该校有 的学生每天看手
机时间超过 ，这些人的近视率为 . 现从每天看手机时间不超过 的学生中任意调查一名学生，
则该名学生近视的概率为_____________.14. 已知 ， ，若对任意 ，都存在 ，使得
，则实数a的取值范围为________.
四、解答题：本题共2小题，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共 个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个白球的概率
为 ．
（1）求白球和黑球各有多少个；
（2）已知第二次取出白球，求第一次取出黑球的概率．
16. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，其中 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列 前
项的和 ．
17. 荆州疫情期间，要对荆州市民做一次全员检测，彻底摸清荆州市的详细情况 某医院为筛查冠状病毒，
需要检验血液是否为阳性，现有 份血液样本，有以下两种检验方式：
方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验 次．
方案②：按 个人一组进行随机分组，把从每组 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均
为阴性，则验出的结果呈阴性，这 个人的血就只需检验一次 这时认为每个人的血化验 次 ；否则，
若呈阳性，则需对这 个人的血样再分别进行一次化验这样，该组 个人的血总共需要化验 次假设此
次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为 ，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设 ，在方案②中按 分组，求某一组的混合血液呈阴性的概率；
（2）设方案②中，某组 个人中每个人的血化验次数为 ，求 的分布列；
（3）设 试比较方案②中， 分别取 ， ， 时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分
组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？ 最后结果四舍五入保留整数
18. 已知 既是椭圆 短轴端点，又是双曲线 的顶点，椭圆离心率为 ，双曲线离心率为 ，且
是方程 的两根．过点 的动直线 与椭圆 交于 ，与双曲线 交于
．
（1）求椭圆 和双曲线 的标准方程；
（2）若直线 的斜率为1时，求 ；
（3）过点 作 的平行线交直线 于点 ，问：线段 的中点是否在定直线上，若在，求出该直
线；若不在，请说明理由．
19. 已知函数 有两个不同零点 ， （ ）.
（1）求a的取值范围；
（2）证明： ；
（3）证明： .
