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高二数学学科素养测评
一、单选题
1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状
把数分成许多类，如图所示的1，3，6，10被称为三角形数，将所有的三角形数从小到大依次排列，则其
第7个数为（ ）
A．15 B．21 C．28 D．36
2．某质点沿直线运动，位移 （单位：m）与时间 （单位：s）之间的关系为 ，若质点在
这段时间内的平均速度等于 时的瞬时速度，则 （ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
3．有3封不同的信投入4个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ）
A．81 B．64 C．24 D．12
4．若 成等差数列； 成等比数列，则 等于（ ）
A．8 B． C． D．4
5．已知函数 在 处有极小值，则实数 的值为（ ）
A．4或12 B．12 C．4 D．4或8
6．在平面直角坐标系 中，圆 与双曲线 相交于 四点，若点
构成圆 圆周的四等分点，圆 的直径长度是双曲线 实轴长的2倍，则双曲线 的离心率为
（ ）A． B． C． D．
7．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”
揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章
算法》一书中出现．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）
A．第12行中第6个数最大
B．第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C．
D．第19行中第8个数与第9个数之比为2:3
8．若函数 有两个极小值点 ，且存在满足条件的 、 使得
有解，则整数m的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．已知数列 的首项 ，则（ ）
A． 是等比数列 B．
C．数列 的前 项和为 D．数列 的前 项和小于10．下列说法正确的有（ ）
A．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则有48种排法
B．三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则有144种排法
C．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有360种不同的分法
D．将6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法
11．已知抛物线 的焦点为 ，点 为 的准线 上一点，过 的直线 与 交于
A、B两点（ 在第一象限），与准线 交于 ，过A、B分别向 的准线 作垂线，垂足分别为 ，则
下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 的斜率为
B．若 为等边三角形，则
C．若 ，则直线 的倾斜角为
D．若 的面积为 ，则
三、填空题
12．若 ，则 的值被8除的余
数为____________．
13．已知数列 的前 项和为 ，且 ，若保持数列 中各项先后顺序不变，在 与
之间插入 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ，记 的前 项和为 ，则
____________．
14．已知 对定义域内任意 ，都有 成立，则 的取值范围为
____________．四、解答题
15．已知在 的展开式中常数项为 ，且 ．
(1)求二项式系数最大的项和系数绝对值最大的项．
(2)从展开式中的所有项中任取四项，取出的四项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法．
16．已知函数 ，在 处切线的斜率为 ．
(1)求 的单调区间．
(2)若 在 上取到最小值 ，求实数a的取值范围．
17．已知数列 的前 项和满足 ．
(1)证明数列 为等差数列．
(2)求数列 的前 项和．
(3)若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围．
18．已知椭圆 焦距为4，短轴长为4．
(1)求椭圆 的方程．
(2)若椭圆 与 轴的交点为A，B（点 位于点 的上方），直线 与椭圆 交于不同的两点M，
N．设直线AN与直线BM相交于点 ．试问点 是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
19．对 ，若函数 在 有 ，则称
函数 是在 上的“凹函数”，反之，若满足 ，则称
函数 是在 上的“凸函数”，当且仅当 时等号成立．也可理解为若函数 在
上可导， 为 在 上的导函数， 为 在 上的导函数，当 时，函数
是在 上的“凹函数”，反之，当 时，则称函数 是在 上的“凸函数”．
(1)判断函数 的凹凸性．
(2)若 ，令 ，求 的最小
值 ．
(3) 为（2）问所得结果，证明不等式： ．参考答案
1．C
【详解】由题图及三角形数知：后一个数与前一个数的差依次为2，3，4，5，6， ，
所以三角形数依次为1，3，6，10，15，21，28，即第7个数为28.
2．B
【详解】由题意得： ，
所以质点在 这段时间内的平均速度为： ，
又 ，所以 ，解得 .
3．B
【详解】解：根据题意，不同的投入方法种数有 种．
4．A
【详解】由 成等差数列，得 ，解得 ，
，解得 ，
由 成等比数列，设公比为q，则 ，解得 ，
所以 ，
则 .
5．C
【详解】由函数 ，可得 ，
因为函数在 处取得极小值，可得 ，解得 或 ，
当 时，令 ，解得 或 ；
令 ，解得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 处有极小值，符合题意，
当 时，令 ，可得 或 ；令 ，可得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处有极大值，不符合题意，舍去.
综上可得， .
6．B
【详解】由已知圆 的直径为4，又直径长度是双曲线C实轴长的2倍，所以 ，所
以 .
因为点 构成圆O圆周的四等分点，所以四等分点到圆心的距离为半径，
且四点与原点构成的连线互相垂直.即如图所示：
设圆与 轴交于点N，所以 ，且 ，
所以设 是圆与双曲线的交点，所以 或
解得 或 或 或 ，
所以四等分点的坐标为 ,
把 代入 中，得 ，解得 ，所以双曲线C的离心率 .
7．D
【详解】选项A：由题意得，第12行共有13个数，根据对称性可得，只有第7个数最大，故A错误；
选项B：第2026行共有2027个数，根据对称性可得，只有第1014个数最大，
即第1013个数与第1014个数不相等，故B错误；
选项C：
，故C错误；
选项D：第19行中第8个数为 ，第9个数为 ，
则 ，故D正确.
8．C
【详解】当 时，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
，且 ，
当 时， ，
故存在 使 ，又 ，
故 ，
则当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
故 为 的两个极小值点，且满足 则 ，
令 ，得 则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减， ，
故 在 内存在唯一零点 ，即 ，
且当 时， ， ，则 单调递减；
当 时， ，则 单调递增，
则 ，
由 ，又对勾函数 在 单调递减可得：得 ，故整数 的最小值为3．
9．AD
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，A正确
所以 ，所以 ，故B错误；
因为数列 的前 项和为
，所以C不正确；
记数列 的前 项和为 ，
因为 ，
所以 ，
故D正确．
10．AD
【详解】解：对于A，先捆绑甲和乙，再全排，则有 种排法，故A正确；
对于B，先排学生，再老师插空，中间两空必须有教师，则有 种，故B错误；对于C，根据题意，分组可为 ； ； ，
当分组为 时，共有 种；
当分组为 时，共有 种；
当分组为 时，共有 种；
综上，共有 种，故C错误；
对于D，根据隔板法可知，共有 种，故D正确．
11．ABD
【详解】依题意，抛物线 的准线方程为 ，解得 ，
则抛物线C的方程为 ， ，
设直线l的方程为 ，
联立 ，得 ，
则 ，
选项A：由抛物线定义 ，得 ，
代入抛物线方程得 ，即 ，
又 ，所以 的斜率 ，故A正确；
选项B：若 为等边三角形，则直线l的倾斜角为 ，斜率为 ，
即 ，解得 ，所以 ，故B正确；
选项C：直线l的方程为 ，令 ，得 ，
则 ，
因 ，
由 ，得 ，
整理得 ，由 ，得 ，
又 ，所以 ，解得 ，
则直线 的斜率 ，故C错误；
选项D：若 的面积 ，
又 ，解得 ，
又 ，所以 ，
同理 ，
则
，故D正确.12．1
【详解】令 ，得 ，
因为 ，
所以当 为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即 ，
当 为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即 ，
所以 ，
又 ，
故 被 除余1．
13．63
【详解】当 时， ，所以 ，
当 时， ，不符合上式，
所以数列 的通项公式为 ，
保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个2，
新数列 的前20项为 ，
则 .14．
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，所以 ，
即 ，
令函数 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，
因为 ，所以 ，
显然 恒成立 ；
当 时， 单调递增， 恒成立等价于 恒成立，
两边取对数得 ，故 ，令函数 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，综上所述，正实数 的取值范围为 .
15．(1) ，
(2)111
【详解】（1）根据展开式的通项可得 ，
令 ，解得 ．
常数项 ，解得 ，
所以二项式系数最大的项 ，
设第 项系数的绝对值最大，
则 ，即 ，又 ，所以 或3，
即第3项和第4项系数的绝对值最大，即 ；
（2）令 ，解得 ，
即展开式中的有理项共有3项，无理项有6项；
所以从展开式中的所有项中任取四项，
取出的四项中既有有理项也有无理项的取法共有 种．
16．(1)增区间为 ，减区间为
(2)
【详解】（1）由题意 ， 在 处切线的斜率为 ，，则 ，
，
令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
的增区间为 ，减区间为 .
（2）由题意可知， ，
由（1）知， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
又 ， 当 时， ，
令 ，则 ，即 ，解得 或 ，
当 时， ，
的取值范围为 ．
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由题意知：当 时， ，得 ，
当 时， ，又 ，
两式相减得 ，即 ，
，又 ，
∴数列 是以 为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）知： ，即 ，
则 ，，
.
（3）不等式 等价于 ，
记 ，则 ，所以 ，
时， ，
∴当 时， ，即 ，
当 时， ，即得 ，
所以 .
18．(1)
(2)在定直线 上
【详解】（1）依题意可得 ，解得 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）点 在定直线 上，理由如下：
设点 ，联立 ，与直线 联立消去 ，整理得 ，
由 ，得
且 ， 所以 ，
易知 ，则 ，
两式作商得 ，解得 ，
故 在定直线 上．
19．(1) 为 上的凸函数
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得 ，则 在 上恒成立，
所以 为 的凸函数.
（2）设函数 ，则 ，则 在 恒成立，
所以 在 为“凹函数”．
∴当 时，
则 ，
即 ，当 时，等号成立，
由 ，得 ，
最小值为 ．
（3）由（2）可知： ，则 ，即证 ，
两边取对数，即证： ，
由（1）可知，令 ，构造 ，
当 时， 恒成立，所以 在 上为单调递增函数，
所以 ，
令 ，所以 ，
所以
……
