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2024-2025 学年湖北省沙市中学高二下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 展开式中的常数项为( )
5
1
A. 2 − 2 B. C. D.
2.某10校高三年级有 人参−加10期末考试，经统计80发现数学成绩近似服−从80正态分布 ，且成绩不低
2
于 分的人数为1000，则此次考试数学成绩高于 分的人数约为( ) 100,
A.110 200 B. C. 90 D.
3.记700为等比数列 的前 8项00和若 ，900 ，则 95 ( 0 )
. 4− 2 =6 5− 3 =12 =
A. B. C. D.
1− −1 1−
4.曲2线−1 在点 处2−的2切线与直线 2−2 垂直，则 2( )−1
A. =e + (0,B1). −C. +2=0 D .=
5.公2共汽车上有 名乘客，在0 沿途的 个车站随−机1下车， 名乘客下车−2互不影响，则恰有 名乘客在第
个车站下车的概率3是( ) 4 3 2 4
A. B. C. D.
1 1 3 9
3 9 64 64
6.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为( )
1 ln5 2ln3
A. = e = 5 = B. 9 C. D.
> > > > > > > >
7.设 ， 是双曲线 ： 的左，右焦点， 是坐标原点过 作 的一条渐近线的垂
2 2
线，垂 1 足为 2 ，若 2− 2 =1，( 则>0的, 离>心0率) 为( ) . 2
A. 2 1 B=. 1 2 C. D.
8.如图5 ，在某城市中， ， 2两地之间有整齐的方格3形道路网，其中 ，2 ， ， 是道路网中位于一条对
角线上的 个交汇处今 在道 路网 ， 处的甲、乙两人分别要到 ， 1处 ，2他 们3分 别4随机地选择一条沿街的
最短路径，4以相同的速. 度同时出发 ，直 到到达 ， 处为止，则甲 、 乙两人相遇的概率为( )
A. B. C. D.
1 41 81 81
2 100 200 400
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1 8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，且对于任意正整数 都有 ，则( )
{ } 1 ≠ 2 ≥ 2025
A. B. 是公差为 的等差数列
2− 1
C. 1 <0 D. ， 2
∗
10. 现404有9 ≤个0 编号为 ， ， ， ， 的不同的球和∃ ∈个N编号 为 +，1 <，0 ， ， 的不同的盒子，把球全部放
入盒子内5，则下列说1法正2确3的是4( 5) 5 1 2 3 4 5
A.若自由放置，共有 种不同的放法
B.恰有一个盒子不放球31，25共有 种放法
C.每个盒子内只放一个球，恰有240个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有 种
D.将 个不同的球换成相同的球，2 恰有一个空盒的放法有 种 20
5 20
11.设函数 ，则( )
1
2− 2 , < 0
( )=
A. 的单调递增区间e为 −1, ≥ 0，
B. ( )有三个零点 (−∞,0) (0,1)
C. 若( 关)于 的方程 有四个不同实根，则
2
( ) +(1− ) ( )− =0 ∈ (0,1)
D.若 对于 恒成立，则
1
1 1 2
三、填 (空 )题≤： 本 题+共2 3小题 ∀ ， ≥ 每 0 小题5分，共 15 ∈ 分2。 e ,+∞
12.斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线相交于 ， 两点，则线段 的长为 ．
2
1 =8
13.已知函数 在 上存在零点，则实数 的最小值为 ．
π
14.现有 个串 ( 联 ) 的 = 信 号 e 处 − 理 co 器 s 单 向 + 传4 输信 ∈ 号， 0, 处 π 理器的工作为：接收 信号 处理并产生新信号 发射
新信号． 当处理器接收到一个 类信号时，会产生一个 类信号和一个 类信—号—并全部发射至下一个—处—理器；
当处理器接收到一个 类信号时 ，会产生一个 类信号和 两个 类信号， 产生的 类信号全部发射至下一个处
理器，但由接收 类信 号直接产生的所有 类信 号只发射一个至 下一个处理器． 当第一个处理器只发射一个
类信号至第二个 处理器，按上述规则依次 类推，若第 个处理器发射的 类信号数量记作 ，即 ，则
，数列 的通项公式 ． 1 =0
四4、=解答题：本题 共 5小题，共7 7 分=。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
已知(函数 13 )
2
若 ( 是)函=数ln − +的2极( 值∈点 )，. 求 的值；
(1) =1 = ( )
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2 8讨论 的单调性．
(126). 本小 题( ) 分
已知(甲、乙、15丙的)三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个 号球，一个 号球和
一个 号球；乙袋内装有两个 号球和一个 号球；丙袋内装有三个 号球，两个1 号球和一个2 号球．
从3甲袋中一次性摸出两个小1球，记随机变量3 为 号球的个数，求 1的分布列； 2 3
(1)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次 先从1甲袋中随机摸出 个球，若摸出的是 号球放入甲袋，
(摸2)出的是 号球放入乙袋，摸出的是 号球放入丙袋；第二次从放入1球的袋子中再随机摸1出 个球．求第
二次摸到的2是 号球的概率． 3 1
17. 本小题 3分
( 15 )
对于数列 且 ，则称数列 为 的“四分差数列”已知数列 为数
∗ 1 1
列 的“ 四 ,分∀ 差∈数 列 , ” ． ∈ − ∈ −4,4 .
若 ，求 的值．
6
(1)设 =2 +5． 1, 2, 3
①(2)求 =的 通+项1公式；
②若数 列 满足 ，且 的前 项和为 ，证明： ．
2
18. 本小题 分 =1 +2 <
( 17 )
已知椭圆 ： 的左焦点为 ，点 在椭圆 上，且 轴
2 2
3
求椭圆 的 方 2+程 ； 2 =1( > > 0) 1 −1,2 1 ⊥ .
(1)已知点 ，证明：线段 的垂直平分线与 恰有一个公共点；
(2)设 是坐 标0(1平,4面) 上的动点，且 线1 段0 的垂直平分线 与 恰有一个公共点，证明 的轨迹为圆，并求该圆
(的3)方程 ． 1
19. 本小题 分
已知(函数 17 ) ．
当 ( 时)，= ln − (， 求−1的) 取值范围；
(1)函数 ≥1 ( )≥0 有两个不同的极值点 其中 ，证明： ；
2
(2) ( )= ( )− +( −1) 1, 2( 1 < 2) ln 1+3ln 2 >4
求证： ．
1 1 1 1 ∗
(3) +1+ +2+ +3+…+2 0 ( )
当 时， ′ ， 单调递减；
> 1 ( )<0 ( )
满足 是函数 的极值点，因此 ．
1
∴ =1 = ( ) =2
′ ，
2
1 1−2
(2) ( )= −2 =
当 时，因为 ，所以 ，则 ′ ， 在 上单调递增；
2
≤ 0 > 0 1−2 >0 ( )>0 ( ) (0,+∞)
当 时， ′ 得 舍 ，
1 1
> 0 ( )=0 1 =− 2 ( ), 2 = 2
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4 8当 时， ′ ， 单调递增；
1
0< < 2 ( )>0 ( )
当 时， ′ ， 单调递减；
1
> 2 ( )<0 ( )
则函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
1 1
综上可知 ( ：)当 时， (0的, 单2调 )增区间为 ( ，2无 ,+单∞调)减区间；
≤0 ( ) (0,+∞)
当 时，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ．
1 1
> 0 ( ) (0, 2 ) ( 2 ,+∞)
16【. 详解】 由题意，随机变量 ，则 ， ， ，
0 2 1 1 2 0
C2C2 1 C2C2 2 C2C2 1
所以 的分
(
布
1)
列如下，
=0,1,2 ( =0)=
C4
2 =6 ( =1)=
C4
2 =3 ( =2)=
C4
2 =6
0 1 2
1 2 1
6 3 6
记第一次从甲袋随机摸出 个球，摸出的是 对应事件分别为 ，
(2) 1 1,2,3 1, 2, 3
第二次摸到的是 号球为事件 ，则 ， ，
1 1 1 2
3 ( 1)= 2, ( 2)= ( 3)= 4 ( | 1)= ( | 2)= 4, ( | 3)= 7
所以 ．
1 1 1 1 1 2 29
( )= ( 1) ( | 1)+ ( 2) ( | 2)+ ( 3) ( | 3)= 2×4+4×4+4×7=112
17.【详解】 由题意可设： ，则 ，
1 1
(1) − = ∈ −4,4 = −
若 ，则 ，
6 6 19 29
且 =2 ， + 可5得 =2 + ，5− ∈ 2 +20,2 +20
所以 ∈ =2 +1．
① 由1 =3可, 2得=5, 3 =9 ，
(2) (1) = −
若 ，则 ，
3 5
且 = ，+可1得 = +，1− ∈ +4, +4
所以 ∈ 的通项公 式= +1 ；
②因为 ，即 = +1 ，
则 =1 +1 =1 ，
1 2 2
= +1=2 +1< + +1=2 +1−
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5 8可得 ，
2
<2 2−1+ 3− 2+⋅⋅⋅+ +1− =2 +1−1 = −2
所以 ．
2
+2 <
18.【详解】
(1)
轴， ，
3
∵ 1 ⊥ . −1,2
，则 ，
∴ 1(−1,0) ， =1
2 2 2
∵ = − ，
2 2
∴ = +1
又 在椭圆 上，
3
∵ −1,2
即 ，
3 2 9
2
(−1) 2 1 4
∴ 2 + 2 =1 2+ 2 =1
联立
9
1 4
2+ 2 =1 ,
2 2
化简得 ：= +1 ，解得： ， 舍 ，
4 2 2 2 3
，4 −9 −9=0 =3 =−4( )
2
∴ =4
椭圆 的方程 ．
2 2
∴ 4 + 3 =1
(2)
， ，
∵ 1(−1,0) 0(1,4)
中点坐标为 ， ，
4−0
∴ 1 0 (0,2) 1 0 =1−(−1)=2
线段 的垂直平分线的斜率为 ，
1
∴ 1 0 −2
线段 的垂直平分线的方程为 ，即 ，
1 1
∴ 1 0 −2=−2( −0) =−2 +2
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6 8联立 2 2 ，解得
4 + 3 =1 =1
3
1 ,
=2
线段 =− 的2垂 直 + 平 2 分线与 恰有一个公共点，公共点坐标为 ．
3
1 0 1,2
(3)
设 ，当 时， 的垂直平分线方程为 ，
0−1
0, 0 0 =0 1 = 2
此时 ，解得 或 ；
0−1
2 =±2 0 =5 −3
当 时， 的垂直平分线方程为 ，
2 2
0+1 0−1 0 0+1 0+ 0−1
0 ≠0 1 =− 0 − 2 + 2 =− 0 + 2 0
联立 2 2 得：
0+1 0+ 0−1
=− 0 + 2 0
2 2
4 + 3 =1 ，
2
4 0+1 2 2 4 0+1 0 2 + 0 2 −1 0 2 + 0 2 −1
3线+段 0 2 的垂 直−平分线与 0 2 恰有一个 公+共点 ，0 2 −12=0
∵ 1
，
2 2
16 0+1 2 0 2 + 0 2 −1 4 0+1 2 0 2 + 0 2 −1
∴Δ = 4 −4 3+ 2 2 −12 =0
0 0 0
整理得： ，
4 2 2 4 2
即 0+ 2 0−14 0+ 0−18 0−32 0−15=0 ，
4 2 2 2 2
0+ 2 0−14 0+ 0+2 0+1 0−2 0−，15 =0
2 2 2 2
0+ 0+2 0+1 0+ 0−2 0−15 ，=0
2 2 2 2
∵ 0+ 0+2 0+1 = ， 0+1 + 0 >0
2 2
∴ 0+ 0−2 0也−满15足=方0程，
∵点(5,0的),(轨−迹3是,0)圆，圆的方程为 ，即 ．
2 2 2 2
∴ + −2 −15=0 ( −1) + =16
19.【详解】 函数 ， ′ ，且 ，
(1) ( )= ln − ( −1) ( )= ln +1− (1)= 0
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7 8①当 时，因为 ，故 ′ 恒成立，此时 单调递增，所以 成立；
≤ 1 ≥1 ( )≥0 ( ) ( )≥0
②当 时，令 ′ ，得 ，
−1
> 1 ( )= ln +1− =0 =e
当 时 ′ ，此时 单调递减，故 ，不满足题意；
−1
综上 ∈可知1,：e ．( )≤0 ( ) ( )≤ (1)= 0
即 的取值范 围≤为1 ．
(−∞,1]
由 ，故 ′ ，
2 2
(因2)为函 (数 )有=两 个( 不)−同 的 极+值( 点−1) =其 中ln − +， 故− ( )= ln +1−．2 −1= ln −2
要证： ，只要 证1,： 2( 1 < 2) ln 1 =2 1,ln 2 =2 2 ．
因为 ln 1+3ln， 2 于>是4只要证明 4 1+3 2
因为 ，故 ，
ln 1−ln 2
ln 1 =2 1,ln 2 =2 2 2 = 1− 2
因此只要证 ，等价于证 ，
ln 1−ln 2 4 1 4 1− 2
1− 2 > 1+3 2 ln 2 < 1+3 2
即证 ，令 ，等价于证明 ，
1
1 4 2 −1 1 4( −1)
ln 2 < 1 2 +3 = 2(0< < 1) ln < +3
令 ′ ，
2
4( −1) 1 16 −10 +9 ( −1)( −9)
( )= ln − +3 (0< <1), ( )= −( +3) 2 = ( +3) 2 = ( +3) 2
因为 ，所以 ′ ，
故 0在< <1上单调递 增(， )所>以0 ，得证．
( ) (0,1) ( )< (1)= 0
由 可知当 时， ，故 ，
−1
(3) (1) > 1 ( )= ln −( −1)> 0 ln >
令 ，所以 ，所以 ，
1
1 1 1 1
=1+ ln 1+ > +1 = +1 +1
