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2025 年武汉二中高二上学期九月月考试卷
考试时间：2025年9月26日试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效
一、单选题
1. 已知 是空间直角坐标系 中的一点，下列点的坐标与点M关于 平面对称的点是（
）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题直接求解.
【详解】与点 关于 平面对称的点是(4,−3,2)；
故选：D
2. 若直线 与直线 平行，则 的值为（ ）
A. B. 或 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行可得出关于实数 的等式与不等式，即可解得实数 的值.
【详解】因 直为线 与直线 平行，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 .
故选：A.
3. 已知空间中点 ， ， ， ，若A，B，C，D四点共面，则实数 的
值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 四点共面，得 与 共面，利用共面向量定理列方程组求解即得．
【详解】因为 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 四点共面，所以 与 共面，即存在唯一实数对 ，使得 ，
所以 ，
所以 ，解得 ．
故选：B
4. 设直线l的方程为 ，则直线l的倾斜角 的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按 是否为0分类讨论，求出斜率的取值范围，进而求出倾斜角的范围.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】当 时，直线 的斜率不存在，则直线 的倾斜角 ，
当 时，直线 的斜率 ，
当 ，即 时，则 ；当 ，即 时， ，
所以直线 的倾斜角的范围为 .
故选：C
5. 若直线的截距式方程 化为斜截式方程为 ，化为一般式方程为
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将 化为一般式，结合条件有 ，且 ，即可求解.
【详解】易知 ，由 ，得到 ，
由已知一般式方程为 ，所以有 ，
则 ，解得 ，
又 ， ，
所以 ，则 ，
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司6. 如图，在平行六面体 中， ， ，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图及空间向量加法可得 ，后由题意及模长公式可得答案.
【详解】设 ，因为六面体 是平行六面体，
所以 ，因为 ，
代入计算可得：
，
故有： ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .
故选：B
7. 实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解.
【详解】 ，
其中 为两点 与 距离的平方，
所以其最小值即为 到直线 距离的平方，即 ，
所以 的最小值为1，
故选：B
8. 在四棱锥 中， 底面 ，底面 是正方形， , ，则直线
与平面 所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空
间向量法可求得直线 与平面 所成角的正弦值.
【详解】在四棱锥 中， 平面 ，且四边形 为正方形，
以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ，所以， ，
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：A.
二、多选题
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若直线 的方向向量与平面 的法向量垂直，则
B. 若 为空间的一个基底，则 可构成空间的另一个基底
C. 已知向量 ，若 ，则 为钝角
D. 已知直线 的一个方向向量为 且过点 ，则 的方程为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理，可判断A的正误；根据向量共面的定理及条件，分析即可判断B的正
误；当 时，可得 ，分析即可判断C的正误；根据直线的方向向量，可得斜率k，代入点斜式
方程，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】选项A：直线 的方向向量与平面 的法向量垂直，直线 可能在平面 内，故A错误；
选项B：若 为空间的一个基底，则 不共面，
假设 共面，则 ，
此时 共面，与已知条件矛盾，故假设不成立，
即 不共面，则 可构成空间的另一个基底，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司选项C： 当 时， ，
此时 ，即 ，夹角为 ，不符合题意，故C错误；
选项D：因为直线 的一个方向向量为 ，
所以斜率 ，又过点 ，
所以 的方程为 ，整理得 ，故D正确；
故选：BD
10. 已知 ，若过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交
于点 与 不重合），则以下说法正确的是（ ）
A. B. 为定值
C. 的最大值为 D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，将两直线的一般式化为点斜式，求出定点A,B，得到 的绝对值；B选项，利用两直线
斜率关系，证得 ，从而利用直角三角形三边关系求出 为定值；C选项，用基本不等
式 ，计算三角形面积最大值；D选项，引进角 为变量，实质是通过三角换元，解决
两个变量的最值问题.
【详解】列表解析 直观解疑惑
选 正
原因
项 误
A √
因为 可化为 ，所以直线 恒过
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学科网（北京）股份有限公司定点 ．又因为 可化为 ，所
以直线 恒过定点 ．故 ．
对于直线 ，因为 ，所以 ，可得 ，
B √
因此 ，为定值．
，当且仅当
C × 时等号成立（点拨 注意等号成立的条件是否满足），
所以 的最大值为 ．
设 ，因为 ，所以 为锐角，
，所以
D √
，其中 ，所以
当 时， 取得最大值 ．
故选：ABD.
11. 在棱长为1的正方体 中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱 的中
点，则（ ）
A. 若F在棱AD上时，存在点F使
B. 若F是棱AD的中点，则 平面
C. 若 平面 ，则F是AC上靠近C的四等分点
D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线 的距离最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求线线的夹角，以及判断线面垂直，以及求解点到直线的距离，
判断ACD，利用面面平行证明线面平行，判断B.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】A.如图建立空间直角坐标系， ， ， ，
， ，
，
整理为 ，解得： 或 ，都舍去，
所以不存在点F使 ，故A错误；
B.
如图，取 的中点 ，连结 ，因为点 是 的中点，
所以 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
同理 ，且 ，所以 ， 平面 ， 平面 ，所以
平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司且 ， 平面 ，
所以平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面
C. 若F是AC上靠近C的四等分点，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
， ,
所以 ， ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，且过点 只有1条直线和平面 垂直，
则点 是唯一的，点 是 上靠近 的四等分点，故C正确；
D.若点 在棱 上运动，设 ， ，
， ,
则点 到 的距离 ，
当 时， 的最小值为 ，故D正确.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：本题的关键是将几何问题转化为向量运算，尤其是证明垂直关系，求角和距离，以及
判断是否存在问题.
三、填空题
12. 已知直线 ： 与直线 ： 平行，其中 ，则直线 与 之间的距离等
于______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】利用两条直线平行的条件求出 ，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离.
【详解】由题意，直线 ，则 且 ，所以 .
所以 ： 与直线 ： 之间的距离 .
故答案为： .
13. 已知点 ， ，点 为直线 上动点，当 最大时，点 的坐标为
______．
【答案】
【解析】
【分析】当 或 时，结合图形求出 ，当 且 时，利用正切的两角差
公式求出 的最大值，结合正切函数的单调性即可得解.
【详解】以 为直径的圆方程为 ，
因为原点 到直线 的距离 ，所以圆 与直线 相离，
所以 ，
设 ，因为点 为直线 上，所以 ，
1）当 时， ，此时 ；
2）当 时， ，此时 ；
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学科网（北京）股份有限公司3）当 且 时，
因为 ，所以 ，
记直线 的斜率分别为 ，
则 ，
所以
，
当 时， ；
当 时，
若 ，则 ， ，
当且仅当 时等号成立，故
若 ，则 ， ，当且仅当 时等号成立.
综上， 的最大值为2，
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学科网（北京）股份有限公司因为 单调递增，所以，此时 取得最大值，点 坐标为 .
故答案为：
14. 在正四棱锥 中，若 ， ，平面AEF与棱PD交于点G，则四棱锥
与四棱锥 的体积比为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用已知 四点共面推得 .然后由椎体体积公式，求出 和 的值，
即可得出答案.
【详解】
由已知可得， .
设 ，
由 四点共面可设 ，
则 ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司，
整理可得， .
又 不共面，
所以有 ，解得 ，即 .
设 分别是点 到平面 和点 到平面 的距离，则 ，
所以，
.
又 ，
所以 .
同理可得，
.
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
所以， .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：将点共面问题转化为向量共面，根据向量共面列出关系式.
四、解答题
15. 如图，在直三棱柱 中， ，点 ， ， 分别为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及中位线性质证明即可得出结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离即可得结果.
【小问1详解】
因为 为直三棱柱，所以 ，
又 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ；
【小问2详解】
因为 为直三棱柱，且 ，
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因 ，则 ，
则 ，
因为 ，则 ，即 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ，
又 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以点 到平面 的距离 ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，故有直线 平面 ，
所以直线 与平面 的距离即为点 到平面 的距离，
故直线 与平面 的距离为 .
16. 在平面直角坐标系中，已知 的顶点 ， 边上的中线 所在的直线方程为
.
（1）若 边上的高 所在的直线方程为 ，求边 所在的直线方程；
的
（2）若 平分线 所在的直线方程为 ，求边 所在的直线方程.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据 中的点和点 在直线 ，结合 与 垂直，点 在直线
上列方程组求出点 ， 坐标，然后可得；
（2）根据直线 上的点 到直线 的距离相等，结合（1）中方程求解即可.
【小问1详解】
设 ，
则 ,即 ①， ②，
又直线 与直线 垂直，所以 ，即 ③，
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学科网（北京）股份有限公司联立②③解得 ，
又 ④，联立①④解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
【小问2详解】
因为 的平分线所在的直线方程为 ，所以 ⑤，
联立①⑤求解可得 ，
则直线 方程为 ，即 ，
设直线 的方程为 ，则
在直线 上取点 ，由角平分线定理可知， 到直线 的距离相等，
则 ，即 ，
又 ，所以 ，整理得 ，
解得 或 ，所以直线 的斜率 或 ，
当 时，直线 的方程为 ，
即 ，与直线 重合，舍去；
当 时，直线 的方程为 ，即 ，满足题意.
所以直线 的方程为 .
17. 某班级有50名学生，现在发起自愿订阅语文、数学、英语资料的活动，已知订阅语文资料的学生有
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学科网（北京）股份有限公司名，订阅数学资料的学生有 名，订阅英语资料的学生有 名，且 .从50名学生中随机抽取
一名学生，记 “订阅了语文资料”， “订阅了数学资料”， “订阅了英语资料”， .
（1）若 ， ， ，求这三个数据的平均数和方差；
（2）若 ， ，求 的最大值；
（3）求 的最小值.（参考公式：对于随机事件A，B，C有
【答案】（1）平均数15，方差6
（2）
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据平均数与方差的概念进行计算.
（2）根据古典概型概率计算公式计算可得.
（3）根据和事件的概率公式继续计算即可.
【小问1详解】
易得这三个数据的平均数 ，
方差 .
【小问2详解】
依题意，同时订阅了三种资料的有 人.
设订阅了数学和英语的有 人，减去其中订阅了语文的人数，所以满足 的人数有 人.
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学科网（北京）股份有限公司显然 不能为负数，所以 ，且 .所以 .
故 的最大值为 .
【小问3详解】
依题意有
，
所以 ，
即 ，
因为总共买了三种资料的有一人，
,
由于 ，
故 ，
所以所有买了资料的同学至多有 人，
从而 ，所以 .
当仅有一人买了三种资料，其余所有人均只买一种资料或不买资料时取得最小值 .
18. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点， 平面ABCD， ，
，平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）如图， 且 ，求点M到平面PBC的距离；
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学科网（北京）股份有限公司（3）设四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线 与平面AEC所成的
角的正弦值为 ？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在， 或
【解析】
【分析】（1）先由线线平行证得 ∥平面 ，再利用线面平行的性质即可证明；
（2）先证 ， ，建系，写出相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用点到平面的距
离的向量公式计算即可；
（3）依题意设 ，利用 求得 ，即得 ，设 ，
，求出 ，求出平面AEC的一个法向量，利用题设中的线面所成角列出方程
求解即得.
【小问1详解】
∵四边形ABCD为正方形，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ ∥平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ；
【小问2详解】
取BC中点N，连接ON，则 ，
∵ 平面ABCD， 平面ABCD， 平面ABCD，
∴ ， ，
∴以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
于是， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，得 ，故可取 ，
∴点M到平面PBC的距离为 ．
【小问3详解】
存在点E，使得直线 与平面AEC所成的角的正弦值为 ，
∵ ，且平面ABCD为正方形，
∴点Q在平面上的射影是ABCD的中心，
可设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得 ．
即 ， ，
设 ， ，
∴ ， ， ，
设平面AEC的一个法向量为 ，
则 ，得 ，
取 ，
设直线 与平面AEC所成的角为 ，
∴ ，
化简得 ，∴ 或 ，
∴当 或 时，直线 与平面AEC所成角的正弦值为 ．
19. 在平面直角坐标系中，两点 、 的“曼哈顿距离”定义为 ，记为
．如，点 、 的“曼哈顿距离”为9，记为 ．
（1）动点 在直线 上，点 ，若 ，求点 的横坐标 的取值范围；
（2）动点 在直线 上，动点 在函数 图象上，求 的最小值；
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学科网（北京）股份有限公司（3）动点 在函数 的图象上，点 ， 的最大值记为 ．如，当点
的坐标为 时， ．求 的最小值，并求此时点 的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3） 最小值为 ，点
【解析】
【分析】（1）利用“曼哈顿距离”的定义，分类讨论去绝对值解不等式即可；
（2）设出动点 ，利用曼哈顿距离的定义列出二元函数，将它视为以 为参数，
为自变量的函数，分类讨论求其最值即可；
（3）先取特值确定出最小值，再验证有实数a，b即可．
【小问1详解】
由已知 ，则根据“曼哈顿距离”定义得
， ，
当 时， 成立，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得
综上所述点 的横坐标 的取值范围是 ；
【小问2详解】
设出动点 ，则 ，
又 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
此时 ，
当 时， ，
此时
当 时， ，
此时
又
所以
综合得 ，当 时取等号.
即 的最小值为
【小问3详解】
设点 ，则 ，
若存在实数 使得 ，则 对任意 成立，
取 ，有 ，取 ,有 ，
得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以
取 ， 是 上是偶函数，
当 时，若 ， ，
若 ， ，当且仅当 时取等．
所以存在实数 且 ，使得 最小值为 ，点
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学科网（北京）股份有限公司
