安徽省蚌埠市A层高中2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（PDF版，含答案）_2025年10月高二试卷_251014安徽省蚌埠市A层高中2025-2026学年高二上学期10月月考（全）

2025-2026 学年蚌埠市 A 层高中第一次联考高二数学卷 7．已知空间直角坐标系中ABC三个顶点坐标分别为A(1,2,1),B(1,4,2),C(1,3,1)，AD是ABC边BC 上的高，则AD的长为（ ） 试卷分值：150 分 考试时间：120 分钟 3 14 2 14 3 3 一、单选题（本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.） A． B． 3 C． D． 2 3 2 1．直线y 的倾斜角为（ ） 8．如图，已知ABCD，ABEF均为正方形，二面角CABF的大小为60。， π =−1 π π A． B．0 C． D． 则异面直线AC与BF所成角的余弦值为（ ）． 2 4 2 2．空间向量a  (2,0,2)在b  (0,1,1)上的投影向量为（ ） A． 1 B． 1 C． 5 D． 5 4 2 2 4 二、多选题（本题共3小题,每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求，全部选对的 1 1  2 2  1 1 A． ,0,  B．  ,0,   C．0, ,  D．0,1,1 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 2 2  2 2   2 2     9．已知v,v 分别为直线l,l 的方向向量（l ,l 不重合），n,n 分别为平面，的法向量（，不重合），                1 2 1 2 1 2 1 2 3.设向量e,e ,e 不共面，已知ABe e e ，BC e e e ,CD4e 8e 4e ,若A,C,D三点共线，则 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 则下列说法中，正确的是（ ） （ ）     A．v //v l //l B．v n l  1 2 1 2 1 1 1 A．1 B．2 C．3 D．4     x y x y C．n //n // D．n n  4．两条直线l :  1和l :  1在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） 1 2 1 2 1 a b 2 b a 10．已知直线l:kxy13k 0(kR)过定点Q，则下列说法正确的是（ ） A．直线l过定点Q(3,1) A. B． C． D． B．若直线l不经过第四象限，则k的取值范围为[0,) 1 C．若直线l在x轴上的截距为－3，则k  6   D．若直线l分别交x，y轴正半轴于A，B，则当AQQB取得最小值时，直线l的方程为x y40    5．若 a,b,c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） 11．已知正方体ABCD ABCD的棱长为4，动点P在正方体底面ABCD 上（包含边界），则下列说法正确             1 1 1 1 1 1 1 1 A．a2b,a2c,bc B．ac,b,3ab3c 的是（ ）            C．2a,c,b c D．ab,bc,a2bc A．不存在点P，使得CP∥面ABD 1 6．对于平面内直线方程的一般式为AxByC  0，我们可以这样理解：若直线l过定点P x ,y ，向量 0 0 0 B．存在点P，使得AP⊥面ABD 1 n  A,B为直线l的法向量，设直线l上任意一点Px,y，则n    P  P  0，得直线l的方程为 0 C．若 ，则点P的轨迹长度为 8 3 2 3 Axx By y  0，即可转化为直线方程的一般式.类似地，在空间中，若平面α过定点Q 1,0,1，向 AP = 3 3 π 0 0 0 D．若M 为面CCDD 的中心，则AP＋PM 的最小值为2 14 1 1  量m2，1 ，3为平面α的法向量，则平面α的方程为（ ） 三、填空题（本题共3小题,每小题5分，共15分.） A．2x y3z10 B．2xy3z10 12．已知直线l的一个方向向量为a  2,3，若l过点A4,3，则直线l的方程为 ． C．2x y3z10 D．2xy3z10 13．已知向量a  2,3x,4，b  0,1,2，c  1,0,0，若a  ，b  ，c  共面，则x ． 试卷第1页，共2页 {#{QQABBYK5wwqYkMYACJ7bEUG0CkuQkIETLSoOgVCYOAYCSRFIBAA=}#}14．已知正方体ABCD ABCD的棱长为1，点M 在正方体内（包含表面）运动，若C  M    A  C   3 ，则动 18．（本小题满分17分） 1 1 1 1 1 2 如图，PD平面ABCD,ADCD,AB//CD,PQ//CD， 点M 的轨迹所形成区域的面积为 四、解答题（本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ADCDDP2PQ2AB2，点E,F,M 分别为AP,CD,BQ的中点. 15．（本小题满分13分） (1)求证：EF//平面CPM ； 已知直线x2y10和直线x y40的交点为P. (2)求平面ABQP与平面CPM 夹角的大小； π (1) 求P点坐标. (3)若N 为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM 所成的角为 ，求N到平 6 (2)求过点P且与A(2,3)和B(4,5)距离相等的直线方程. 面CPM 的距离. 16．（本小题满分15分） 19．（本小题满分17分） 如图，在平行六面体ABCD ABCD中，E，F分别为棱AD，CD的中点， 1 1 1 1 1 1 如图,将△EAB,△ECB,△ECD,△EAD四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形ABCDE,其中 EA=EC，EB=ED，       记BC a，BAb，BB c，满足 1 AB=BC=CD=DA.连接AC,BD,过点E作平面 ,满足 AC// ,BD// . π π B 1 BC B 1 BA 3 ，CBA 2 ，AB  BC 2， BB 1 3． (1)证明:AC⊥BD. (1)求BD 的长度； (2)若 EA= ，EB=AB=1，且AC=BD. 1 (2)求AC与EF 夹角的余弦值． (i)求AC到平2面 的距离与BD 到平面 的距离的平方和; (ii)求平面AEB与 平面 夹角的余弦值. 17．（本小题满分15分） 已知直线l :xaya0和直线l :ax2a3ya20. 1 2 (1)若l l ，求实数a的值；(2)若l ∥l ，求实数a的值. 1 2 1 2 试卷第2页，共2页 {#{QQABBYK5wwqYkMYACJ7bEUG0CkuQkIETLSoOgVCYOAYCSRFIBAA=}#}参考答案 所以 一、单选题 a3. .....................15 1．B 2．D 3．C 4.A 5．C 6．D 7．A 8．A 分 二、多选题 9．ACD 10．ACD 11．BCD 三、填空题 18．（1）连接EM ，因为AB//CD，PQ//CD，所以AB//PQ ，又因为 12．3x2y180 AB PQ，所以PABQ为平行四边形. 2 13． 3 由点E和M 分别为AP和BQ的中点，可得EM //AB且EM  AB， 3 14． 因为AB//CD，CD2AB，F为CD的中点，所以CF//AB且CF  AB， 8 四、解答题 可得EM //CF且EM CF，即四边形EFCM 为平行四边形， 15.（1）(3,1)................................5分 所以EF//MC，又EF 平面MPC，CM 平面MPC，所以EF //平面 （2） y 1或4x y130....................8分 MPC...........4分 （2）因为PD平面ABCD，ADCD，可以建立以D为原点，分别以        DA，DC，DP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐 16．（1）因BC a，BAb，BB c, 1   π     π    标系. 则a,b ,b,ca,c ， a  b 2,c 3， 2 3 依题意可得D0,0,0,A2,0,0,B2,1,0,C0,2,0，       π 于是ab0,bcac23cos 3. 3 P0,0,2,Q0,1,2,M1,1,1 .        又BD  BABCBB abc， 1 1     PM 1,1,1,PQ0,1,0,CM 1,1,1,PC 0,2,2， 则   B  D  2 (a  b  c  )2 a  2 b  2 c  2 2(a  b  b  c   a   c  ) 4 4 9 2(3 3) 29 设n 1 x,y,z为平面PMQ的法向量， 1   ， 则    n  1  P  M  0 ，即   xyz0 ，不妨设z1，可得n  =1,0,1， n PQ0  y0 1  1 故|BD | 29 ..............................................................................................7分 1  设n x ,y ,z 为平面MPC的法向量，     1  1 1  1   2 1 1 1 （2）因为EF ED DDDF  BCBB  BA a bc， 1 1 2 1 2 2 2    n PC 0  2y 2z 0  则 则 n  2 2 C  M  0 ，即 x 1  1 y 1 z 1 1  0 ，不妨设z 1 1，可得n 2 =0,1,1，.  1  1   1  1   1      |EF|2( a bc)2  a2 b2c2 abbcac11911，   2 2 4 4 2   n n 1 cos n ,n  1 2  ，  1 2 n  n 2 故|EF| 11， 1 2             所以，平面ABQP与平面CPM 夹角为 又ACBCBAab，则|AC|2(ab)2 a2b22ab8，故 ........................10分  |AC|2 2，     （ 3 3）设QN QC0≤≤1，即QN QC0,,2，则 则     1  1   1  1        N0,1,22 . AC EF (ab) ( a bc) a2 b2a b b c a c 2 2 3 3 4              2 2 2 2  ， 从而DN 0,1,22 .      ACEF 4 22 由（2）知平面PMQ的法向量为n 1,0,1， 则cosAC,EF     0， 1 |AC||EF| 2 2 11 11   故AC与EF夹角的余弦值为 22 ．....................................15分 由题意，sin π 6  cos  D  N  ,n  1   D D  N N    n n  1  ，即 1 2  12 2   2 2   22 2 ， 11 1 1 17（. 1）若l 1 l 2 ，则1aa  2a3  0，解得a0或2；.....................6 整理得321030，解得 3 或3， 分 因为0≤≤1所以 1 ，所以Q  N   1 Q  C    N  C   2 Q  C   2 0,1,2 . 3 3 3 3 （2）若l 1 ∥l 2 ，则a2 2a3，解得a3或1. 则N到平面CPM 的距离为  a3时，l 1 :x3y30,l 2 :3x9y50 ，满足l 1 ∥l 2 ， d  NC  ·n 2  2  1  2 . ................17分 n 3 2 3 2 a1时，l :xy10,l :xy10 ，此时l 与l 重合， 1 2 1 2 20．(1)当A，B，C，D四点共面时，四边形ABCD为菱形，所以AC┴BD.…… 试卷第3页，共2页 {#{QQABBYK5wwqYkMYACJ7bEUG0CkuQkIETLSoOgVCYOAYCSRFIBAA=}#}(1分) 取AC的中点M,连接 BM,DM. 因为AB=BC,CD=AD,M为AC的中点,所以 BM┴AC,DM┴AC，………………………(2分) 又因为BM∩DM=M,所以AC┴平面 BDM.……………………………………………(3分) 又因为BD 平面BDM,所以 ⸦ AC┴BD.………………………………………………(4分) (2)(i)连接EM,因为EA=EC,所以EM┴AC,由(1)知AC⊥平面MBD,则 E,B,D,M 四点共面. 易证△ABC≌△ADC,可得MB=MD,在四边形EBMD中,EB=ED,MB=MD, 根据对称性,可知EM垂直平分BD. 因为AC//α,BD//α,所以在平面α内存在点F,G,使得EF//AC,EG//BD,则 EM⊥EF,EM⊥EG,即EM⊥平面 α........................................................................................................................(6 分) 如图,以E为坐标原点,EF,EG,EM的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间 直角坐标系，………(7分) 设AC=BD=2r,直线AC到平面α的距离为h ,BD到平面α的距离为h₂, 1 则 A(r,0,h ,),B(0,r,h )……………………………………………………………… 1 2 ……(8分) 因为EA= ,EB=AB=1,所以 2 2 2 .…………………………(10分) +ℎ1 =2 2 2 +ℎ2 =1 2 2 2 +(ℎ1−ℎ2) =1 故AC到平面α的距离与BD到平面α的距离的平方和为 .………………………(13分) (ii 5 )设平面AEB的法向量为m=(x,y,z)， 则 取 ∙ =0 =(h1,h2,−r) 设平面 AEB与平面α的夹角为θ,取平面α 的一 ∙ 个 法 = 向 0 量为 n=(0,0,1),………………(15分) 则 3 5 r 2 3 5 cosm,n    h2 h2 r2 3 5 2 1 2 2 故平面AEB与平面α夹角的余弦值为 . 3− 5 ………………………………………(217分) 试卷第4页，共2页 {#{QQABBYK5wwqYkMYACJ7bEUG0CkuQkIETLSoOgVCYOAYCSRFIBAA=}#}