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白城实验高中 2025－2026 学年度高二上学期第一次月考
数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1. 如图， ，点 ，点 ，且 ， ，那么直线l与直线 的关系是
（ ）
A. 异面 B. 平行 C. 垂直 D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线面垂直的性质，得到 ， ，再由线面垂直的判定定理，得到 平面 ，从而可得
线线垂直.
【详解】 ， ， ， ；
同理 ；
又 ， 平面 .
平面 ， .
故选：C.
【点睛】本题主要考查判断线线垂直，熟记线面垂直的判定定理与性质即可，属于常考题型.
（2023•上海市宜川中学期中）
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学科网（北京）股份有限公司2. 设集合 为实数集 的非空子集，若对任意 ， ，都有 ， ， ，
则称集合S为“完美集合”，给出下列命题：
①若 为“完美集合”，则一定有 ；
②“完美集合”一定是无限集；
③集合 为“完美集合”；
④ 若 为“完美集合”，则满足 的任意集合 也是“完美集合”.
其中真命题是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断.
【详解】对于①，若 为“完美集合”，对任意的 ， ，①对；
对于②，完美集合不一定是无限集，例如 ，②错；
对于③，集合 ，
在集合 中任意取两个元素， ， ，其中 、 、 、 为整数，
则 ， ，
，
集合 为“完美集合”，③对；
对于④， ， ，也满足④，但是集合 不是一个完美集合，④错.
故选：A.
3. 函数y＝|sinx|的图象( )
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称 D. 关于坐标轴对称
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据绝对值的知识，画出 的图像，根据图像判断出正确的选项.
【详解】 的图像是由 的图像保持 轴上方的图像不变， 轴下方的图像关于 对称翻
折得到，即如下图所示.由图可知， 图像关于 轴对称，故选B.
【点睛】本小题主要考查 图像变换，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
4. 将长度为2的一根铁丝折成长为 的矩形，矩形的面积 关于 的函数关系式是 ，则函数的
定义域为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意易得 ，从而得到结果.
【详解】将长度为2的一根铁丝折成长为 的矩形，则宽为 ，
∴ ，解得
∴函数的定义域为
故选D
【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)
对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数 的定义域为
，则函数 的定义域由不等式 求出.
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知函数 的定义域为[-2，3]，则函数 的定义域为（ ）
A. [-1,9] B. [-3,7] C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据 的定义域求出 的定义域，再求出 的定义域即可.
【详解】 函数 的定义域为[-2，3]，
在 中， ，则 ，
的定义域为 ，
则在 中， ，解得 ，
故 的定义域为 .
故选：D.
【点睛】本题考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.
6. 已知三个力f＝(－2，－1)，f＝(－3,2)，f＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，
1 2 3
现加上一个力f，则f等于
4 4
A. (－1，－2) B. (1，－2) C. (－1,2) D. (1,2)
【答案】D
【解析】
【详解】【思路点拨】物体平衡,则所受合力为0.
解:由物理知识知:f +f +f +f =0,
1 2 3 4
故f=-(f +f +f )=(1,2).
4 1 2 3
7. 有下列说法：①若 ， ，则 ；②若2 = ， 分别表示
的面积，则 ；③两个非零向量 ，若| |=| |+| |，则 与 共线
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学科网（北京）股份有限公司且反向；④若 ，则存在唯一实数 使得 ，其中正确的说法个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由 = ， ， 可以不共线判断①；运用三角形的重心向量表示和性质，以及三角形的面积的求
法判断②；由向量的模的性质判断③；由向量共线定理判断④．
【详解】①若 ， ，则 不成立，比如 = ， ， 可以不共线；
②若2 = ，延长OA到 ，使得 =2OA，延长OC到 ，使得 =3OC，
可得O为 的重心，可设 的面积分别为x，y，z，
则 的面积为2y， 的面积为3z， 的面积为6x，
由三角形的重心的性质可得2y=3z=6x，则 ，正确；
③两个非零向量 ， ，若| |=| |+| |，则 与 共线且反向，正确；
④若 ，则存在唯一实数λ使得 = ，不正确，比如 ≠ ， = ，不存在实数λ．
其中正确的说法个数为2，
故选：B．
8. 如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到
盒内的M点，则蚂蚁爬行的最短距离是( )
A. B. 1 C. D. 2＋
【答案】C
【解析】
【分析】一只蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图所示的BM
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学科网（北京）股份有限公司的长，利用勾股定理能求出结果
【详解】∵蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，
∴蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度，
∵无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，
∴AB＝2＋2＝4，AM＝1，
1 1
∴BM＝ ＝ .
故选C.
【点睛】本题考查蚂蚁爬行的最短距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
二、多项选择题（本大题共3小题．每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．）
9. 质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的 上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度
大小为 ，起点为 与 x 轴正半轴的交点；Q 的角速度大小为 ，起点为射线
与 的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】确定点Q的初始位置，由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选
项即可得解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意，点Q的初始位置 的坐标为 ，锐角 ，
设t时刻两点重合，则 ,即 ，
此时点 ，
即 ，
当 时， ，故A正确；
当 时， ，即 ，故B正确；
当 时， ，即 ，故D正确.
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合.
故选：ABD.
（2023•湖南省部分校联考期中）
10. 已知正方体 的棱长为4， 是棱 上的一条线段，且 ，点 是棱
的中点，点 是体对角线 上的动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ）
A. 存在某一位置， 与 垂直
B. 三棱锥 体积的最大值是
C. 二面角 的正切值是
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学科网（北京）股份有限公司D. 当 最大时，三棱锥 的外接球表面积是
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过证明线面垂直得到线垂直平面的所有直线证明异面直线垂直，然后通过固定底面积求体积最
大值即可，二面角问题关键在于找到二面角的平面角，确定动点位置后再求外接球的圆心即可.
【详解】对于A：当 点与 点重合时， 平面 ，而 平面 ，所以 与 垂
直，即A正确；
对于B：如下图所示，
，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以 ，而 ，
所以 ，
要使得三棱锥 的体积最大，只需满足点 到平面 的距离最大即可，
取 的中点为 ，则平面 与平面 是同一平面，
不妨令点 到平面 的距离 ，直线 与平面 所成角为 ，
则 ，所以 越大则 越大，
所以当点 与 重合时，点 到平面 的距离 最大，
作 于 ，易知 平面 ，所以 即为点 到平面 的距离，
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学科网（北京）股份有限公司由三角形相似可得 ，且 ，得 .
所以三棱锥 的体积的最大值为 ， B错误；
的
对于C：连接 ， ，二面角 即为平面 与平面 所成 角，如下图所示，
，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
所以 即为二面角 的平面角，
由于 ， ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以二面角 的正切值是 ， C正确；
对于D，由余弦定理得
，
要使得 最大时，则 要最大，
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学科网（北京）股份有限公司则 与 重合， 与 重合，如下图所示，
，
以 为坐标原点建立如所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
设外接球球心坐标为 ，
则 ，
解得 ， ， ，所以 ，
所以外接球半径为 ，
所以三棱锥 的外接球表面积 ，所以D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：若能应用极化恒等式，则能快速确定 最大时需满足 与 重合， 与 重
合.
11. 某个简谐运动可以用函数 （ ， ）， 来表示，其中部分图
象如图所示，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A.
B. 该简谐运动的频率为 ，初相为
C. 直线 是 的一个对称轴
D. 点 是曲线 的一个对称中心
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象可得 ，选项A，利用 的图象与性质可得 ，即可
判断选项A的正误；选项B，由频率和初相的定义，结合 ，即可求解；选项C和
D， ，利用 性质，求出 的对称轴和对称中心，
即可判断出选项C和D的正误.
【详解】由图知 ，由图像知 ，又 ，
所以 ，又由五点作图法知，第三个点为 ，所以 ，得到 ，
所以 ，
对于选项A：设 ，由 ，
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学科网（北京）股份有限公司得到 ，
所以 ，故选项A正确；
对于选项B：因为 ，所以频率为 ，由 知初相为 ，所以选项B
错误；
对于选项C：因为 ，
由 ，即 ，故直线 是 的一个对称轴，故选项C正确；
对于选项D：因为 ，
由 ，即 ，
故点 是曲线 的一个对称中心，故选项D正确；
故选：ACD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知函数 的图象如图．根据图象写出 的单调区间，单调递增区间为
______，单调递减区间为______．
【答案】 ①. 和 ②.
【解析】
【分析】根据给定的函数图象确定单调区间即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由图象知 在 上，单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
故答案为： 和 ，
13. 用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于 ，靠
墙的一边长为 ．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知及矩形面积公式列不等式组即可.
【详解】因为矩形菜园靠墙的一边长为 ，而墙长为18 m，所以 ，
这时菜园的另一条边长为 ，因此菜园的面积 ，
依题意有 ，即 ，故不等关系表示为 .
故答案为：
14. 若 ， ，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用指数的运算性质化简 ，再结合根式的运算性质可求得结果.
【详解】将 代入 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ．
故答案为： .
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 如图，在平行六面体 中，四边形 与四边形 均为菱形，
.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形性质得 ，再由余弦定理及勾股定理得 ，从而利
用线面垂直的判定定理证明 平面 ，最后利用面面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，利用二面角的平面角向量公式求解
即可.
【小问1详解】
连接 ，因为四边形 与四边形 均为菱形，
且 ，所以 与 均为等边三角形，
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学科网（北京）股份有限公司取 的中点 ，连接 ，则 ，
设 ，则 ，
在 中，由 及余弦定理，得 ，
即 ，所以 舍去 .
所以 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
【小问2详解】
由（1）可知， 两两垂直，以 为原点，
以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 .
设 ，则 ，
.
设平面 的一个法向量 ，
由 得 ，取 ，解得 ，故 ，
设平面 的一个法向量 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 得 ，取 ，解得 ，故 ，
所以 ，
设二面角 的大小为 ，所以 .
16. 已知函数 ．
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若关于 的方程 在 上有实数解，求实数 的取值范围；
（3）若 将区间 划分成2022个小区间，且满足
，试判断和式
是否为定值，若是，请求
出这个值，若不是请说明理由．
【答案】（1）
（2） 或
（3）是定值，1
【解析】
【分析】（1）利用对数函数的单调性，即可求得答案；
（2）将 在 上有实数解，转化为 在 上有实
数解，结合对数函数单调性求函数值域，即可求得答案；
（3）利用 在区间 上是增函数，化简已知和式，脱掉绝对值符号，即可求得答案.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由 得 ，
得 ， ，
所以不等式的解集为 ；
【小问2详解】
在 上有实数解，
在 上有实数解，
因为 在 上是单调递增函数，
故 ，
则 ，即 ，
解得 或 ；
【小问3详解】
由 知， 在区间 上是增函数，
对任意划分 ，
均有 ，
+ +
，
所以此和式为定值1.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点睛：解答此题的关键是解答第三问时，要结合函数的单调性，化简和式，脱去绝对值符号，
进而求解.
（2023•四川省成都市树德中学期中）
17. 已知点 .
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）求以 为邻边的平行四边形的面积.
【答案】（1） 或
（2）3
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算以及模长公式可解；
（2）首先利用数量积公式求 ，则 可解，结合面积公式可得答案.
【小问1详解】
，
，
或 ，
或 ；
【小问2详解】
由题意得 所以 ，
，
，
.
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知函数 .
（1）求 在 上的单调递增区间；
（2）若 ， ，求 值的；
（3）请在同一平面直角坐标系上画出函数 和 在 上的图象（不要求写作法）；并
根据图象求曲线 和 的交点个数.
【答案】（1） ，
（2）
（3）作图见解析，交点个数为
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 的解析式，由 求出 的取值范围，再利用
正弦型函数的单调性可求得函数 在 上的单调递增区间；
（2）由已知条件求出 的值，由同角三角函数的基本关系求出 的值，再利用两
角和的正弦公式可求得 的值；
（3）作出两个函数在区间 上的图象，可得出两个函数图象的交点个数.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
因为 ，
当 时， ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 在 上的单调递增区间为 ， .
【小问2详解】
因为 ，可得 ，
因为 ，则 ，
所以， ，
因此，
.
【小问3详解】
当 时， ，
在同一平面直角坐标系上画出函数 和 在 上的图象如下图所示：
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学科网（北京）股份有限公司由图可知，曲线 和 在 上的交点个数为 .
19. 设函数 的定义域为 ，且满足条件 ，对于任意 ，有
，且当 时，有 ．
（1）求 的值；
（2）如果 ，求 的取值范围．
.
【答案】（1）0； （2）
【解析】
【分析】（1）将 代入 ，即可得；
（2）根据已知得 在 上单调递增，再由已知得 ，则有 ，最后
应用单调性解不等式求范围.
【小问1详解】
对任意 ，有 ，
令 ，得 ，
；
【小问2详解】
设 ，由 ，得 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 上单调递增，
令 ，则 ，即 ．
由 ，得 ，即 ，
，解得 ，
的取值范围是
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学科网（北京）股份有限公司
