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2025-2026 学年北京市西城区育才学校高三上学期 9 月月考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.若集合A={x|−30}，则A∩B=( )
A. {x|−3−3}
2.已知等差数列 ，则 等于( )
{a },a =10,a =20 a
n 5 9 1
A. −1 B. 0 C. 2 D. 5
3.下列函数中，是偶函数且在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
1
A. y=3x B. y=log |x| C. y= D. y=−x2+1
3 x
1
4.函数f (x)=ln(x+1)− 的一个零点所在的区间是( )
x
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
5.设
a=
(1) 0.2
,b=23
1
,c=log 2
，则( )
3 1
3
A. c0
4
数b的取值范围是 ．
1
15.已知直线l:y=kx+b和曲线C:y= ，给出下列四个结论：
1+x2
①存在实数k和b，使直线l和曲线C没有交点；
②存在实数k，对任意实数b，直线l和曲线C恰有1个交点；
③存在实数b，对任意实数k，直线l和曲线C不会恰有2个交点；
④对任意实数k和b，直线l和曲线C不会恰有3个交点．
其中所有正确结论的序号是____．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数 ．
f (x)=−x3−3x2+9x+a
(1)求f (x)的单调区间：
(2)若f (x)在区间[−1,2]上的最小值为15，求f (x)在该区间上的最大值．
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2 117.求下列函数的导数．
(1)f (x)=xcosx−sinx；
3x
(2)f (x)= ；
x−1
1+x
(3)f (x)=ln ．
1−x
18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，
而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位：十亿元)．
(I)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；
(II)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的
分布列和数学期望；
(III)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．
19.设函数 ．
f (x)=[ax2−(4a+1)x+4a+3]ex
若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ；
(1) y=f (x) (1,f (1)) x a
(2)求f (x)的单调区间．
lnx
20.已知函数f (x)= ．
x
求函数 在点 处的切线方程；
(1) y=f (x) (1,f (1))
(2)设实数k使得f (x)z，③x+ y+z为偶数．那么
称该集合具有性质P.对于集合S 的非空子集A，证明：集合A是集合S 的“期待子集”的充要条件是集合
n n
A具有性质P；
(3)若S (n≥4)的任意含有m个元素的子集都是集合S 的“期待子集”，求m的最小值．
n n
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4 1参考答案
1.B
2.B
3.B
4.B
5.A
6.B
7.A
8.A
9.B
10.A
11.x2
12.(−4,0]
13.[−1,4)
1 1 1
14. ；( , )
4 4 2
15.①②③
16. 由题意 ，令 ，解得 ， ，
(1) f ′(x)=−3x2−6x+9=−3(x+3)(x−1) f ′(x)=0 x =−3 x =1
1 2
当x<−3，x>1时，f ′(x)<0，当−30，
所以f (x)在区间(−∞,−3)，(1,+∞)上单调递减，在区间(−3,1)上单调递增．
综上所述：f (x)在区间(−∞,−3)，(1,+∞)上单调递减，在区间(−3,1)上单调递增．
(2)由(1)可得当x∈[−1,1)时，f (x)单调递增，当x∈(1,2)时，f (x)单调递减，
所以当x=1时取到极大值，也是最大值f (1)=−1−3+9+a=5+a，
又f (−1)=1−3−9+a=−11+a，f (2)=−8−12+18+a=−2+a，
所以当x=−1时取到最小值f (−1)=−11+a=15，解得a=26，
此时f (1)=5+26=31．
所以f (x)在区间[−1,2]上的最大值为31．
17.(1)由f (x)=xcosx−sinx可得f ′(x)=cosx+x(−sinx)−cosx=−xsinx；
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5 1由 3x 可得 3(x−1)−3x 3 ；
(2) f (x)= f ′(x)= =−
x−1 (x−1) 2 (x−1) 2
1+x
(3)由f (x)=ln 可得f (x)=ln(1+x)−ln(1−x)，
1−x
1 −1 1−x+1+x 2
所以f ′(x)= − = = ；
1+x 1−x (1+x)(1−x) 1−x2
18.(I)由题知，2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，设从2010
9
年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%为事件A，∴P(A)= ．
10
(II)由题意得X的取值可能为0，1，2
P(X=0)=
C
5
2
=
2，
C2 9
10
P(X=1)=
C
5
1 ⋅C
5
1
=
5，
C2 9
10
P(X=2)=
C
5
2
=
2．
C2 9
10
X的分布列为
X 0 1 2
2 5 2
P(X)
9 9 9
2 5 2
E(X)=0× +1× +2× =1．
9 9 9
(III)2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，
因此公司在发展的过程中重视研发．
19. 因为 ，
(1) f (x)=[ax2−(4a+1)x+4a+3]ex
所以
f ′(x)=[2ax−(4a+1)]ex+[ax2−(4a+1)x+4a+3]ex(x∈R)
．
=[ax2−(2a+1)x+2]ex
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6 1f ′(1)=(1−a)e．
由题设知f ′(1)=0，即(1−a)e=0，解得a=1．
此时f (1)=3e≠0．
所以a的值为1．
由 得 ．
(2) (1) f ′(x)=[ax2−(2a+1)x+2]ex=(ax−1)(x−2)ex
1)当a=0时，令f ′(x)=0，得x=2，
所以x,f ′(x),f (x)的变化情况如下表：
x (−∞,2) 2 (2,+∞)
f ′(x+) 0 −
f (x)单调递增极大值单调递减
1
2)当a≠0，令f ′(x)=0，得x= 或2
a
1
①当a<0时， <2，所以x,f ′(x),f (x)的变化情况如下表：
a
( 1)1 (1 )
x −∞, ,2 2 (2,+∞)
a a a
f ′(x−) 0 + 0 −
f (x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减
②当a>0时，
1 1
(ⅰ)当0< <2即a> 时，
a 2
( 1)1 (1 )
x −∞, ,2 2 (2,+∞)
a a a
f ′(x+) 0 − 0 +
f (x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增
1 1
(ⅱ)当 =2即a= 时，f ′(x)≥0恒成立，所以f (x)在R上单调递增；
a 2
1 1
(ⅲ)当 >2即0 f (x) −∞, (2,+∞) ,2
2 a a
1−lnx
20.(1)由题可得函数f (x)的定义域为(0,+∞)，且f ′(x)= ，
x2
1−ln1
则f ′(1)= =1，因f (1)=0，
1
所以f (x)在点(1,0)处的切线方程为y−0=1×(x−1)，化简为y=x−1．
故函数 在点 处的切线方程为 ．
y=f (x) (1,f (1)) y=x−1
lnx lnx
(2)由题意知得f (x)0)，则ℎ′(x)= ，令ℎ′(x)=0，解得x=√e，
x2 x3
当00；当x>√e时，ℎ′(x)<0，
所以当 x=√e 时， ℎ(x) 取到极大值也是最大值 ℎ(√e)=
(
ln
√e
√
)
e
2
=
2
1
e
，所以 k>
2
1
e
，
所以 的取值范围为( 1 )．
k ,+∞
2e
lnx lnx
(3)由题知令g(x)=f (x)−kx=0，即f (x)=kx，则得 =kx，从而得 =k，
x x2
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8 1由 得函数 在区间[1 ]上的零点个数即等价于求函数 lnx 的图象与函数 的图象
(2) g(x) ,e2 ℎ(x)= (x>0) y=k
e x2
的交点个数，
又因
ℎ(x)=
lnx在区间[1
,√e
)上单调递增，在区间
(√e,e2]
上单调递减，
x2 e
1
且当x=√e时， ℎ(x)取到极大值也是最大值ℎ(√e)= ，
2e
又因为
ℎ
(1)
=−e2
，
ℎ
(e2)=
2 ，
e e4
1 lnx
当k> 或k<−e2时，函数ℎ(x)= (x>0)的图象与函数y=k的图象的交点个数为0，
2e x2
2 1 lnx
当−e2≤k< 或k= 时，函数ℎ(x)= (x>0)的图象与函数y=k的图象的交点个数为1，
e4 2e x2
2 1 lnx
当 ≤k< 时，函数ℎ(x)= (x>0)的图象与函数y=k的图象的交点个数为2．
e4 2e x2
综上所述：当 1 或 时， 函数在区间[1 ]上有 个零点；
k> k<−e2 g(x) ,e2 0
2e e
当
−e2≤k<
2 或
k=
1 时，
g(x)
函数
g(x)
在区间[1
,e2
]上有
1
个零点；
e4 2e e
当 2 1 时， 函数在区间[1 ]上有 个零点．
≤k< g(x) ,e2 2
e4 2e e
21. 因为 ，
(1) S ={1,2,3,4,5,6,7,8}
4
{a+b=3 {a=2
对于集合A ={3,4,5}，令 b+c=4，解得 b=1，显然1∈S ，2∈S ，3∈S
1 4 4 4
c+a=5 c=3
所以A 是集合S 的“期待子集”；
1 4
{a +b =3
1 1 15
对于集合 A ={3,5,7} ，令 b +c =5 ，则 a +b +c = ，
2 1 1 1 1 1 2
c +a =7
1 1
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9 1因为a ,b ,c ∈S ，即a +b +c ∈N∗，故矛盾，所以A 不是集合S 的“期待子集”；
1 1 1 4 1 1 1 2 4
(2)先证明必要性：
当集合A是集合S 的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的a,b,c∈S ，使得a+b,b+c,c+a∈A，
n n
不妨设a0，所以x+ y>z，即条件P中的②成立；
因为x+ y+z=(a+b)+(c+a)+(b+c)=2(a+b+c)，
所以x+ y+z为偶数，即条件P中的③成立；
所以集合A满足条件P．
再证明充分性：
当集合A满足条件P时，有存在x,y,z∈A，满足①xz，③x+ y+z为偶数，
x+ y+z x+ y+z x+ y+z
记a= −z，b= −y，c= −x，
2 2 2
x+ y+z
由③得a,b,c∈Z，由①得a0，
2
所以a,b,c∈S ，
n
因为a+b=x，a+c= y，b+c=z，所以a+b，b+c，c+a均属于A，
即集合A是集合S 的“期待子集”．
n
(3)m的最小值为n+2，理由如下：
一方面，当 时，对于集合 ，其中任意三个元素之和均为奇数，
3≤m≤n M={a |a =2i−1,i=1,2,3,⋯,m}
i i
由(2)知，M不是S 的“期待子集”；
n
当 时，对于集合 ，
m=n+1 M={a |a =2i−1,i=1,2,3,⋯,n}∪{2}
i i
从中任取三个不同的元素，若不含有2，则不满足条件P的③，
若含有2，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差(大数减小数)都不小于2，
故不满足条件P中的②，所以M不是S 的“期待子集”；
n
所以m≥n+2．
另一方面，我们用数学归纳法证明集合S 的任意含有n+2个元素的子集，都是S 的“期待子集”：
n n
(I)当n=4时，对于集合S 的任意含有6个元素的子集，记为B，
4
当4、6、8三个数中恰有1个属于B时，则{1,2,3,5,7}⊆B，因为数组3,4,5、3,5,6、5,7,8、5,6,7、5,7,8
都满足条件P，
当4,6,8三个数都属于B，因为数组4,6,8满足条件P，
所以此时集合B必是集合S 的“期待子集”，
4
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10 1所以当n=4时S 的任意含有6个元素的子集都是集合S 的“期待子集”．
4 4
(II)假设当n=k(k≥4)时结论成立，即集合S 的任意含有k+2个元素的子集都是S 的“期待子集”，那么
k k
n=k+1时，对于集合S 的任意含有k+3个元素的子集C，
k+1
分成两类，①若2k+1，2k+2至多有1个属于C，则C中至少有k+2个元素都在集合S ，由归纳假设知，
k
结论成立；
②若2k+1∈C，2k∈C，则集合C中恰含S 的k+1个元素，此时，当C中只有一个奇数时，则集合C
k
中包含S 中的所有偶数，此时数组2k−4，2k−2，2k符合条件P，结论成立；
k
当集合C中至少有两个奇数时，则必有一个奇数c不小于3，此时数组c，2k−1，2k符合条件P，结论成
立，所以n=k+1时结论成立，
根据(I)(II)知，集合S 的任意含有n+2个元素的子集，都是S 的“期待子集”，所以m的最小值为n+2
n n
第 页，共 页
11 1
