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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之一次函数（二）
一．选择题（共3 小题）
请阅读下列选文后，回答1﹣3 题．
汽车上会安装图的时速表，其功能是指示汽车当时的速率，但其指示的速率并不一定等于汽车的实际
速率．已知法规规范车辆出厂时，时速表的指示速率（V 指）必须永不小于车辆的实际速率（V 实），
且V 指与V 实应满足下列关系：
V 指-V 实≤V 实
10 + 4
（皆以公里/小时为速率单位）
而车辆的实际速率就是单位时间内车辆移动的距离，可以利用轮胎转速与轮胎周长求出．轮胎转速是
指单位时间内轮胎旋转多少圈，而轮胎周长等于轮胎旋转一圈时车辆移动的距离，所以有下列关系式：
实际速率＝轮胎转速×轮胎周长
上式的实际速率若要以公里/小时为单位，则轮胎转速应以圈/小时为单位，轮胎周长应以公里为单位．
所以当车辆上的仪器测出轮胎转速，配合仪器内设定的轮胎周长，就能得到时速表上的指示速率，关
系式如下：
指示速率＝仪器测出的轮胎转速×仪器设定的轮胎周长
（圈/小时为转速单位，表示每小时转多少圈）
1．根据选文，时速表符合法规的汽车行驶时，若指示速率为120 公里/小时，则实际速率的最小值与最大
值分别是多少公里/小时？（最小值用无条件进入法取概数到个位，最大值用无条件舍去法取概数到个
位）（ ）
A．最小值105，最大值120
B．最小值106，最大值120
C．最小值120，最大值136
D．最小值120，最大值137
2．根据选文，已知有一辆行驶中的汽车，其轮胎转速为x 圈/分钟且轮胎周长为200 公分．若此车的实际
速率为y 公里/小时，则y 与x 的关系为下列何者？（ ）
（圈/分钟为转速单位，表示每分钟转多少圈）
A．y＝0.002x
B．y＝0.12x
C．y＝200x
D．y＝12000x
3．根据选文，已知原本甲、乙两辆车上仪器测出的轮胎转速跟实际的轮胎转速相等，两车仪器设定的轮
2
胎周长也与当时两车安装的轮胎周长相等．后来甲的仪器发生故障，导致仪器测出的轮胎转速比实际
的轮胎转速更高，而乙更换轮胎，新轮胎周长比原本的更小，但仪器设定的仍是原本轮胎周长．若甲
乙此时皆以60 公里/小时的指示速率行驶，且甲、乙的实际速率分别为p 公里/小时、q 公里/小时，则
下列关系何者正确？（ ）
A．p＞60，q＞60
B．p＞60，q＜60
C．p＜60，q＞60
D．p＜60，q＜60
二．解答题（共18 小题）
4．（2026•吉林）一位记者乘坐汽车赴330km 外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一
部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：
km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示．
（1）求汽车在高速公路上行驶的速度．
（2）求AB 所在直线对应的函数解析式．
（3）记者出发后多长时间到达采访场地？
5．（2026•陕西）在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上进行了
“人机共跑测试”．测试赛道总长为800m，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达终点
后停止．机器人出发1min 后运动员才出发，运动员出发1min 后追上机器人．如图，l1，l2分别表示运
动员、机器人距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系．
（1）求l1对应的函数表达式；
（2）求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离．
6．（2026•甘孜州）图1 是某景区的一段游览路线示意图．小聪在观景台1 联系小明，发现小明在观景台
2，于是沿着游览路线追赶小明．图2 中，l1，l2分别表示两人到观景台1 的路程与追赶时间之间的关系．
（1）l2表示 （“小聪”或“小明”）到观景台1 的路程与追赶时间之间的关系；
（2）分别求出l1，l2的函数解析式；
（3）若两人的速度保持不变，小聪能否在到达观景台3 前追上小明？请通过计算说明．
3
7．（2026•湖北）“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求．已知编织2
个大号中国结和3 个小号中国结需用绳19 米；编织4 个大号中国结和1 个小号中国结需用绳23 米．
（1）求编织1 个大号中国结和1 个小号中国结各需用绳多少米；
（2）某饰品店计划编织大、小号中国结共120 个进行销售，所用编织绳不超过450 米．设编织m 个大
号中国结．
①求m 的取值范围；
②已知每个大号中国结售价为12 元，每个小号中国结售价为8 元，每米编织绳的成本为1 元，其他成
本总计90 元．求该饰品店获得的最大利润．
8．（2026•绥化）我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进A，B 两种型
号的快递智能分拣机械手（以下A 型快递智能分拣机械手简称A 型机械手，B 型快递智能分拣机械手
简称B 型机械手），已知A 型机械手的单价比B 型机械手的单价高2 万元，用120 万元购进A 型机械
手的数量和用80 万元购进B 型机械手的数量相等．
（1）求A，B 两种型号机械手的单价分别是多少万元？
（2）快递公司计划购买A，B 两种型号的机械手共30 台，且A 型的数量不少于B 型数量的2 倍．如何
购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？
（3）该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不
变．某天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲
机械手修好后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作．甲、乙两台机械手分拣快
递的数量y（件）与甲机械手工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
①乙机械手的工作速度为 件/分钟，a＝ ．
②直接写出BC 所在直线的函数表达式： ．
③当乙机械手工作 分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同．
4
9．（2026•齐齐哈尔）2026 年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”到“风驰电
掣”的迭代升级．某公司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有A，B 两地，机
器人甲、乙分别从A，B 两地同时出发，机器人甲以360 米/分的速度沿测试路匀速跑向B 地，到达B
地后，立即以n 米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以240 米/分的速度沿测试路匀速跑向A 地，到达
A 地后停止运动，机器人乙到达A 地一段时间后，机器人甲也到达A 地并停止运动．机器人甲、乙之
间的距离y（米）与机器人甲行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列
问题：
（1）A，B 两地之间的距离为 米，图中m 的值为 ；
（2）求线段FG 所在直线的函数解析式；
（3）机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600 米？（直接写出答案即可）
10．（2026•河北）某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时t（分钟）的模型：t＝t1+t2．
其中，t1＝kx（k 为常数），x（千米）表示登山路线的长度；t2＝150h，h（千米）表示山顶与起点的海
拔高度差．从A 出发到山顶M 的路线及相关数据如图所示．
（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间）
（1）①求k，h 的值．
②计算路线3 的长度．
（2）已知山顶M 的海拔高度为1000 米，B 在如图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其
5
海拔高度（单位：米）．若该登山爱好者从B 出发到山顶M 的路线长度为3 千米，根据本题模型，求
该登山爱好者登到山顶M 的预估用时．
11．（2026•黑龙江）一条公路上依次有A，B，C 三地，甲车从A 地出发去C 地，途经B 地，到达C 地
后，立即按原路原速返回A 地；乙车在甲车出发0.1 小时后从A 地去B 地，到达B 地停留2 小时，立即
按原路原速返回，结果比甲车提前0.3 小时到达A 地，两车均按各自速度匀速行驶．如图是甲车行驶过
程中距离B 地的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）A，C 两地之间的距离为 km，乙车的速度为 km/h；
（2）求线段EF 的函数解析式；
（3）请直接写出乙车返回A 地前，甲车行驶多少小时，甲乙两车相距10km．
12．（2026•广西）关于x 的一次函数y= 1
2 k
2x+k（k≠0）的图象与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，O 是
坐标原点．
【性质初探】
（1）y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”）；
（2）求证：△AOB 的面积为1；
【归纳提炼】
我们把形如y= 1
2 k
2x+k（k≠0）的一次函数称为“正向积1”函数．
【深入探究】
（3）图象经过点（2，2）的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请
说明理由；
（4）已知点P（m，n）不在坐标轴上，若图象过点P 的“正向积1”函数有且只有一个．
①求n 关于m 的函数解析式；
②选取一个符合条件的点P，并验证该点是线段AB 的中点．
13．（2026•内江）某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价100 元，售价160 元；
乙种衬衣每件进价80 元，售价120 元．现计划购进两种衬衣共100 件，其中甲种衬衣不少于60 件．设
购进甲种衬衣x 件，两种衬衣全部售完，商场可获利y 元．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若商场购进这100 件衬衣的总费用不超过9300 元，求有哪几种进货方案；
（3）在（2）的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价a 元（0＜
6
a＜30）出售，乙种衬衣售价不变．若最大利润为4650 元，求a 的值．
14．（2026•河南）今年是红军长征胜利90 周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午8：00
从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度v（km/h）与步行全程所用时间t
（h）的函数关系如图1 所示．
（1）求v 关于t 的函数表达式．
（2）如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过2.5h，那么学生步行的平均速度至少为
多少？
（3）学生出发0.25h 后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生
整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程y（km）与学生步行时间t（h）的
函数关系如图2 所示．下列三个说法：
①李老师在补给点停留的时间为1h；
②李老师比学生先到达长征纪念广场；
③学生从学校到补给点所走路程为4km．
其中正确说法的序号是 ．
15．（2026•天津）已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家1km，
体育公园离家2km．小杰从家出发，先匀速骑行了10min 到体育公园，在体育公园停留了40min，之后
匀速骑行了5min 到民俗文化馆，在民俗文化馆停留20min 后，再匀速骑行了5min 回到家．下面图中x
表示时间，y 表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）填表：
小杰离开家的时
间/min
6
20
50
65
小杰离家的距
离/km
2
（Ⅱ）当50≤x≤80 时，请直接写出小杰离家的距离y 关于时间x 的函数解析式；
7
（Ⅲ）当小杰离开家40min 时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了50min 直接回到家．在
50≤x≤80 的时段内，对于同一个x 的值，小杰离家的距离为y1，小杰的爷爷离家的距离为y2，当y1＝
y2时，求x 的值（直接写出结果即可）．
16．（2026•上海）景区有一个观景台，可以通过扶梯前往，8：10：00 第一位游客站上扶梯，8：10：51
第一位游客到达观景台，之后的游客有序排队入场，此后每位游客到达时间的间隔为0.8 秒．
（1）设登上观景台的游客数为x，时间为y（从8：10：00 开始计算，单位为秒），请填写表格，并列
出y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）．
x
1
6
y
（2）8：10：00 到8：12：00 有多少名游客登上观景台？8：12：00 到8：14：00 有多少名游客登上观
景台？
17．（2026•攀枝花）某中学在劳动实践基地开辟了“青春农场”，将土地划分给各班负责．初二（3）
班的同学在责任田里种植了有机蔬菜，经过几个月的精心照料，终于迎来了丰收．同学们决定将采摘
的新鲜蔬菜拿到学校附近的周末集市销售．卖菜所得款项按每千克0.8 元留作下一季的种植基金，余下
的捐给福利院．在集市上销售了部分蔬菜后，剩下的每千克降价0.5 元，全部售完．销售额与销量之间
的关系如图所示，那么该班级本次共捐给福利院多少元？
18．（2026•山东）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内
画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：
请根据他们的对话解答下列问题：
（1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；
（2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20 个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2 倍，则分别购
买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？
19．（2026•广安）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B 两地收到社会各
界人士所捐物资共400 吨．据统计，A 地收到物资吨数的3 倍与B 地收到物资吨数的5 倍相等．现要把
8
这批物资全部运往受灾的C，D 两地．从A 地运往C，D 两地的费用分别为15 元/吨和20 元/吨；从B
地运往C，D 两地的费用分别为12 元/吨和18 元/吨；现C 地需物资180 吨，D 地需物资220 吨．
（1）分别求出A，B 两地各收到多少吨物资；
（2）请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用．
20．（2026•南充）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息．
背景
某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极
性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利．鸭蛋加工厂共有
9 条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．
（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋）
素材一
若3 条加工线加工皮蛋和1 条加工线加工咸蛋，则每月可加工11 万枚；
若2 条加工线加工皮蛋和3 条加工线加工咸蛋，则每月可加工12 万枚．
素材二
现收购了30 万枚鸭蛋，计划在一月内用9 条加工线加工成皮蛋或咸蛋；
经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半；
加工厂安排皮蛋加工线不低于3 条；
一月内未能加工完的鸭蛋另作处理．
素材三
每万枚皮蛋可获利0.7 万元，每万枚咸蛋可获利1.2 万元；
一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1 万元处理．
根据以上信息，完成下列任务：
【任务一】（1）该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？
【任务二】（2）工厂有几种安排加工线的方案？
【任务三】（3）如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润．
21．（2026•成都）成都，一座雪山下的公园城市．全市超1500 个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生
态空间．图1 是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点
3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲．图2 中
l1，l2分别表示甲、乙两人离开景点1 的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系，假
设两人均保持现有的速度．
（1）直接写出l1，l2的函数表达式；
（2）如图1，景点3 到景点4 有两条道路，甲到达景点3 后，沿远路前往景点4，乙到达景点3 后，沿
近路前往景点4．问乙能比甲先到达景点4 吗？请说明理由．
9
10
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之一次函数（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共3 小题）
题号
1
2
3
答案
B
B
D
一．选择题（共3 小题）
请阅读下列选文后，回答1﹣3 题．
汽车上会安装图的时速表，其功能是指示汽车当时的速率，但其指示的速率并不一定等于汽车的实际
速率．已知法规规范车辆出厂时，时速表的指示速率（V 指）必须永不小于车辆的实际速率（V 实），
且V 指与V 实应满足下列关系：
V 指-V 实≤V 实
10 + 4
（皆以公里/小时为速率单位）
而车辆的实际速率就是单位时间内车辆移动的距离，可以利用轮胎转速与轮胎周长求出．轮胎转速是
指单位时间内轮胎旋转多少圈，而轮胎周长等于轮胎旋转一圈时车辆移动的距离，所以有下列关系式：
实际速率＝轮胎转速×轮胎周长
上式的实际速率若要以公里/小时为单位，则轮胎转速应以圈/小时为单位，轮胎周长应以公里为单位．
所以当车辆上的仪器测出轮胎转速，配合仪器内设定的轮胎周长，就能得到时速表上的指示速率，关
系式如下：
指示速率＝仪器测出的轮胎转速×仪器设定的轮胎周长
（圈/小时为转速单位，表示每小时转多少圈）
1．根据选文，时速表符合法规的汽车行驶时，若指示速率为120 公里/小时，则实际速率的最小值与最大
值分别是多少公里/小时？（最小值用无条件进入法取概数到个位，最大值用无条件舍去法取概数到个
位）（ ）
A．最小值105，最大值120
B．最小值106，最大值120
C．最小值120，最大值136
D．最小值120，最大值137
11
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据指示速率为120 公里/小时，可列出关于V 实的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：{
V 实≤120
120-V 实≤V 实
10 + 4，
解得：1160
11 ≤V 实≤120，
∴106≤V 实≤120，
∴最小值106，最大值120．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组
是解题的关键．
2．根据选文，已知有一辆行驶中的汽车，其轮胎转速为x 圈/分钟且轮胎周长为200 公分．若此车的实际
速率为y 公里/小时，则y 与x 的关系为下列何者？（ ）
（圈/分钟为转速单位，表示每分钟转多少圈）
A．y＝0.002x
B．y＝0.12x
C．y＝200x
D．y＝12000x
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【专题】函数及其图象；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】依据题意，轮胎周长为200cm＝2m＝0.002km，又转速：x 圈/分钟＝60x 圈/小时，从而y＝
60x×0.002＝0.12x，进而可以得解．
【解答】解：由题意，轮胎周长为200cm＝2m＝0.002km，
又∵转速：x 圈/分钟＝60x 圈/小时，
∴y＝60x×0.002＝0.12x．
故答案为：B．
【点评】本题主要考查了函数关系式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
3．根据选文，已知原本甲、乙两辆车上仪器测出的轮胎转速跟实际的轮胎转速相等，两车仪器设定的轮
胎周长也与当时两车安装的轮胎周长相等．后来甲的仪器发生故障，导致仪器测出的轮胎转速比实际
的轮胎转速更高，而乙更换轮胎，新轮胎周长比原本的更小，但仪器设定的仍是原本轮胎周长．若甲
乙此时皆以60 公里/小时的指示速率行驶，且甲、乙的实际速率分别为p 公里/小时、q 公里/小时，则
下列关系何者正确？（ ）
A．p＞60，q＞60
B．p＞60，q＜60
C．p＜60，q＞60
D．p＜60，q＜60
【考点】函数关系式．菁优网版权所有
12
【专题】函数及其图象．
【答案】D
【分析】由题意得：V 指＝n 仪×C 设，V 实＝n 实×C 实，当两辆车速度V 指＝60 时，分别分析甲车和乙车的
速率p 和速率q 即可．
【解答】解：由题意得：V 指＝n 仪×C 设，V 实＝n 实×C 实，
当两辆车速度V 指＝60 时，
甲车：
∵仪器故障，
∴n 仪＞n 实；
∵原厂设定周长＝真实轮胎周长，
∴C 设＝C 实，
∵60＝n 仪•C 设，
∴C设= 60
n仪
，
实际速率p=n实⋅C 实=n实⋅C设=n实⋅60
n仪
=60⋅n实
n仪
，
∵n 仪＞n 实，
∴
n实
n仪
＜1，推得p＜60；
乙车：
∵仪器转速正常，
∴n 仪＝n 实，
换新胎后C 实＜C 设（仪器仍存原厂周长），
∵60＝n 仪•C 设，
∴n仪= 60
C设
，
实际速率q =n实⋅C 实=n仪⋅C 实= 60
C设
⋅C 实=60⋅C 实
C设
，
∵C 实＜C 设，
∴
C 实
C设
＜1，推得q＜60，
∴p＜60 且q＜60，
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数关系式，掌握其相关知识点是解题的关键．
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二．解答题（共18 小题）
4．（2026•吉林）一位记者乘坐汽车赴330km 外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一
部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：
km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示．
（1）求汽车在高速公路上行驶的速度．
（2）求AB 所在直线对应的函数解析式．
（3）记者出发后多长时间到达采访场地？
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【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）90km/h；
（2）y＝60x+60；
（3）4.5h．
【分析】（1）利用速度＝路程÷时间，即可求出汽车在高速公路上行驶的速度；
（2）根据点A，B 的坐标，利用待定系数法，即可求出AB 所在直线对应的函数解析式；
（3）代入y＝330，求出x 的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：180÷2＝90（km/h）．
答：汽车在高速公路上行驶的速度为90km/h；
（2）设AB 所在直线对应的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（2，180），（3.5，270）代入y＝kx+b 得：{
180=2k +b
270=3.5k +b，
解得：{
k =60
b=60，
∴AB 所在直线对应的函数解析式为y＝60x+60；
（3）当y＝330 时，60x+60＝330，
解得：x＝4.5．
答：记者出发后4.5h 到达采访场地．
【点评】本题考查一次函数的应用，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关
键．
5．（2026•陕西）在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上进行了
“人机共跑测试”．测试赛道总长为800m，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达终点
14
后停止．机器人出发1min 后运动员才出发，运动员出发1min 后追上机器人．如图，l1，l2分别表示运
动员、机器人距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系．
（1）求l1对应的函数表达式；
（2）求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）l1对应的函数表达式为y＝200x﹣200；
（2）机器人距终点的距离为300m．
【分析】（1）首先求出机器人的速度，然后求出交点坐标，用待定系数法求解即可；
（2）求出运动员到达终点时的时间，从而求解．
【解答】解：（1）机器人的速度= 800
8 =100（m/min），
∵机器人出发1min 后运动员才出发，运动员出发1min 后追上机器人，
∴2×100＝200（m），即机器人和运动员在第2min 相遇，
交点坐标为（2，200），
设l1对应的函数表达式为y＝kx+b，
把（1，0）和（2，200）代入，得{
0=k +b
200=2k +b，
解得{
k =200
b=-200，
故l1对应的函数表达式为y＝200x﹣200；
（2）令y＝800，代入l1，得800＝200x﹣200，
解得x＝5，
此时机器人的距离为5×100＝500（m），
故机器人距终点的距离为800﹣500＝300（m），
机器人距终点的距离为300m．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的
思想解答．
6．（2026•甘孜州）图1 是某景区的一段游览路线示意图．小聪在观景台1 联系小明，发现小明在观景台
2，于是沿着游览路线追赶小明．图2 中，l1，l2分别表示两人到观景台1 的路程与追赶时间之间的关系．
15
（1）l2表示 小明 （“小聪”或“小明”）到观景台1 的路程与追赶时间之间的关系；
（2）分别求出l1，l2的函数解析式；
（3）若两人的速度保持不变，小聪能否在到达观景台3 前追上小明？请通过计算说明．
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）小明；
（2）直线l1对应的函数表达式为s1＝70t；
直线l2对应的函数表达式为s＝40t+1200；
（3）小聪追上小明时，l1与l2的s 相等，
即70t＝40t+1200，
解得t＝40，
此时小聪的距离为70×40＝2800＜1200+1800，
∴小聪能在到达观景台3 前追上小明．
【分析】（1）由图象可直接得出结论；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）小聪追上小明时t 的值即s1＝s2时，t 的值．
【解答】解：（1）由函数图象可知，l1表示小聪到观景台1 的路程与追赶时间之间的关系；
l2表示小明到观景台1 的路程与追赶时间之间的关系；
故答案为：小明；
（2）直线l1过点（0，0）和（20，1400），
k1= 1400
20 =70，
直线l1对应的函数表达式为s1＝70t；
设直线l2对应的函数表达式为s＝kt+b，
直线l2过点（0，1200）和（20，2000），
代入得{
b=1200
2000=20k +b，
解得{
b=1200
k = 40 ，
直线l2对应的函数表达式为s＝40t+1200；
16
（3）小聪追上小明时，l1与l2的s 相等，
即70t＝40t+1200，
解得t＝40，
此时小聪的距离为70×40＝2800＜1200+1800，
∴小聪能在到达观景台3 前追上小明．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握它们的数量关系．
7．（2026•湖北）“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求．已知编织2
个大号中国结和3 个小号中国结需用绳19 米；编织4 个大号中国结和1 个小号中国结需用绳23 米．
（1）求编织1 个大号中国结和1 个小号中国结各需用绳多少米；
（2）某饰品店计划编织大、小号中国结共120 个进行销售，所用编织绳不超过450 米．设编织m 个大
号中国结．
①求m 的取值范围；
②已知每个大号中国结售价为12 元，每个小号中国结售价为8 元，每米编织绳的成本为1 元，其他成
本总计90 元．求该饰品店获得的最大利润．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）编织1 个大号中国结需用绳5 米，编织1 个小号中国结需用绳3 米；
（2）①m 的取值范围为0≤m≤45，且m 为整数；
②该饰品店获得的最大利润为600 元．
【分析】（1）设编织1 个大号中国结需用绳x 米，1 个小号中国结需用绳y 米，根据“编织2 个大号中
国结和3 个小号中国结需用绳19 米；编织4 个大号中国结和1 个小号中国结需用绳23 米”，可列出关
于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①利用用绳总量＝5×编织大号中国结的数量+3×编织小号中国结的数量，结合用绳总量不超过
450 米，可列出关于m 的一元一次不等式，解之可得出m≤45，再结合m≥0 及m 为整数，即可得出结
论；
②设获得的利润为w 元，利用总利润＝每个大号中国结的利润×编织大号中国结的数量+每个小号中国
结的利润×编织小号中国结的数量，可找出w 关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决
最值问题．
【解答】解：（1）设编织1 个大号中国结需用绳x 米，1 个小号中国结需用绳y 米，
17
根据题意得：{
2 x +3 y =19
4 x + y =23 ，
解得：{
x =5
y =3．
答：编织1 个大号中国结需用绳5 米，编织1 个小号中国结需用绳3 米；
（2）①根据题意得：5m+3（120﹣m）≤450，
解得：m≤45，
又∵m≥0，且m 为整数，
∴m 的取值范围为0≤m≤45，且m 为整数；
②根据题意得：每个大号中国结用绳成本为5 元，每个小号中国结用绳成本为3 元．
设获得的利润为w 元，则w＝（12﹣5）m+（8﹣3）（120﹣m）﹣90，
即w＝2m+510，
∵2＞0，
∴w 随m 的增大而增大，
∴当m＝45 时，w 取得最大值，最大值为2×45+510＝600．
答：该饰品店获得的最大利润为600 元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关
键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据各数量之间的关系，正确列出一
元一次不等式；②根据各数量之间的关系，找出w 关于m 的函数关系式．
8．（2026•绥化）我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进A，B 两种型
号的快递智能分拣机械手（以下A 型快递智能分拣机械手简称A 型机械手，B 型快递智能分拣机械手
简称B 型机械手），已知A 型机械手的单价比B 型机械手的单价高2 万元，用120 万元购进A 型机械
手的数量和用80 万元购进B 型机械手的数量相等．
（1）求A，B 两种型号机械手的单价分别是多少万元？
（2）快递公司计划购买A，B 两种型号的机械手共30 台，且A 型的数量不少于B 型数量的2 倍．如何
购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？
（3）该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不
变．某天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲
机械手修好后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作．甲、乙两台机械手分拣快
递的数量y（件）与甲机械手工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
①乙机械手的工作速度为
20
件/分钟，a＝
60
．
②直接写出BC 所在直线的函数表达式：y ＝
15
x ﹣
450
；
．
③当乙机械手工作
22.5
分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同．
18
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）A 型机械手的单价为6 万元，B 型机械手的单价为4 万元；
（2）购买A 型机械手20 台，B 型机械手10 台，此时所需费用最少，费用最少为160 万元；
（3）①：20；60；
②y＝15x﹣450；
③22.5．
【分析】（1）设A 型机械手的单价为n 万元，B 型机械手的单价为（n﹣2）万元，根据题意列分式方
程求解即可；
（2）设购买A 型机械手m 台，则购买B 型机械手（30﹣m）台，所需费用为w 万元，列出一次函数解
析式结合函数的性质求解即可；
（3）①根据速度= 总件数
时间
求解即可；
②根据待定系数法求解；
③令y 相等，求出x 然后减去甲提前工作的30 分钟即可．
【解答】解：（1）设A 型机械手的单价为n 万元，B 型机械手的单价为（n﹣2）万元，
由题意得
120
n = 80
n-2；
解得：n＝6；
经检验：n＝6 是原分式方程的解，
B 型机械手的单价：n﹣2＝6﹣2＝4（万元），
答：A 型机械手的单价为6 万元，B 型机械手的单价为4 万元；
（2）设购买A 型机械手m 台，则购买B 型机械手（30﹣m）台，所需费用为w 万元，
{
m≥2(30-m)
30-m＞0 ，
解得：20≤m＜30，
由题意得：w＝6m+4（30﹣m）＝2m+120，
∵2＞0
∴w 随m 的增大而增大，且m 取正整数，
∴当m＝20 时，w 最小＝2m+120＝2×20+120＝160（万元），
19
此时B 型机械手：30﹣m＝30﹣20＝10（台），
答：购买A 型机械手20 台，B 型机械手10 台，此时所需费用最少，费用最少为160 万元；
（3）①乙机械手的工作速度为3000
180-30 =20 件/分钟，
甲机械手的工作速度为450
30 =15 件/分钟，
（2250﹣450）÷15＝120（分钟），
故a＝180﹣120＝60，
故答案案为：20；60；
②设BC 所在直线的函数表达式为yBC＝kx+b，
将点（60，450），（180，2250）代入yBC＝kx+b，
得{
60k +b= 450
180k +b=2250，
解得{
k =15
b=- 450，
∴BC 所在直线的函数表达式为yBC＝15x﹣450，
故答案为：y＝15x﹣450；
③设乙机械手分拣快递的数量y（件）与甲机械手工作时间x（分钟）之间的函数关系为y＝ax+c，
将点（30，0），（180，3000）代入y＝ax+c，
即{
0=30a+c
3000=180a+c，
解得{
a=20
c =-600，
∴乙机械手分拣快递的数量y（件）与甲机械手工作时间x（分钟）之间的函数关系为y＝20x﹣600，
结合函数图象可知，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同时为450 件，
令y＝450 代入y＝20x﹣600，
即450＝20x﹣600，
解得x＝52.5
∴当乙机械手工作52.5﹣30＝22.5 分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同，
故答案为：22.5．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的
思想解答．
9．（2026•齐齐哈尔）2026 年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”到“风驰电
掣”的迭代升级．某公司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有A，B 两地，机
器人甲、乙分别从A，B 两地同时出发，机器人甲以360 米/分的速度沿测试路匀速跑向B 地，到达B
地后，立即以n 米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以240 米/分的速度沿测试路匀速跑向A 地，到达
A 地后停止运动，机器人乙到达A 地一段时间后，机器人甲也到达A 地并停止运动．机器人甲、乙之
20
间的距离y（米）与机器人甲行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列
问题：
（1）A，B 两地之间的距离为
3600
米，图中m 的值为
6
；
（2）求线段FG 所在直线的函数解析式；
（3）机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600 米？（直接写出答案即可）
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）3600，6；
（2）y＝600x﹣3600；
（3）5 分或7 分或20 分．
【分析】（1）由当x＝0 时，y＝3600，可得出A，B 两地之间的距离为3600 米；利用m 的值＝A，B
两地之间的距离÷机器人甲、乙的速度之和，可求出m 的值；
（2）利用时间＝路程÷速度，可求出机器人甲到达B 地的时间，结合机器人乙的速度，可求出此时两
机器人之间的距离，进而可得出点G 的坐标，由点F，G 的坐标，利用待定系数法，即可求出线段FG
所在直线的函数解析式
（3）利用待定系数法，可求出线段EF，HK 所在直线的函数解析式，再代入y＝600，即可求出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：A，B 两地之间的距离为3600 米；
图中m 的值为3600÷（360+240）＝6．
故答案为：3600，6；
（2）根据题意得：机器人甲到达B 地的时间为3600÷360＝10（分钟），
此时两机器人之间的距离为240×10＝2400（米），
∴点G 的坐标为（10，2400）．
设线段FG 所在直线的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将F（6，0），G（10，2400）代入y＝kx+b 得：{
6k +b=0
10k +b=2400，
解得：{
k =600
b=-3600，
∴线段FG 所在直线的函数解析式为y＝600x﹣3600；
（3）机器人乙到达A 地的时间为3600÷240＝15（分钟），
∴点H 的坐标为（15，2100），
21
∴机器人甲返回A 地的速度为240+（2400﹣2100）÷（15﹣10）＝300（米/分），
∴机器人甲返回A 地的时间为15+2100÷300＝22（分钟）．
设线段EF 所在直线的函数解析式为y＝ax+c（a≠0），
将E（0，3600），F（6，0）代入y＝ax+c 得：{
c =3600
6a+c =0，
解得：{
a=-600
c =3600 ，
∴线段EF 所在直线的函数解析式为y＝﹣600x+3600；
同理：线段HK 所在直线的函数解析式为y＝﹣300x+6600．
当y＝600 时，600＝﹣600x+3600，
解得：x＝5；
当y＝600 时，600x﹣3600＝600，
解得：x＝7；
当y＝600 时，﹣300x+6600＝600，
解得：x＝20．
答：机器人甲行进的时间为5 分或7 分或20 分时，机器人甲、乙相距600 米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据点的坐标，利用待定系数法求出各线段所在直线的函数解
析式是解题的关键．
10．（2026•河北）某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时t（分钟）的模型：t＝t1+t2．
其中，t1＝kx（k 为常数），x（千米）表示登山路线的长度；t2＝150h，h（千米）表示山顶与起点的海
拔高度差．从A 出发到山顶M 的路线及相关数据如图所示．
（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间）
（1）①求k，h 的值．
②计算路线3 的长度．
（2）已知山顶M 的海拔高度为1000 米，B 在如图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其
海拔高度（单位：米）．若该登山爱好者从B 出发到山顶M 的路线长度为3 千米，根据本题模型，求
该登山爱好者登到山顶M 的预估用时．
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用．
22
【答案】（1）①k＝15，h＝0.8；②5 千米；
（2）135 分钟．
【分析】（1）①由题意得，t＝kx+150h，再用待定系数法求解即可；
②先得到t＝15x+150×0.8＝15x+120，然后将t＝195 代入，解方程即可；
（2）求出海拔差为0.6km，然后代入t＝15x+150×0.6，求解即可．
【解答】解：（1）①由题意得，t＝kx+150h，
代入两组数据得，{
6 k +150h=210
4 k +150h=180，
解得{
k =15
h=0.8；
②由①得，t＝15x+150×0.8＝15x+120，
路线3 同样从A 到M，海拔差仍为h＝0.8km，
将t＝195 代t＝15x+120，得15x+120＝195，
解得x＝5 即路线3 的长度为5 千米；
（2）由等高线图可知，B 点位于400 米等高线上，海拔为400m＝0.4km，
山顶M 海拔为1000m＝1km，
因此海拔差：h＝1﹣0.4＝0.6km，
将x＝3kmk＝15 代入得，t＝15×3+150×0.6＝45+90＝135，
即预估用时为135 分钟．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．
11．（2026•黑龙江）一条公路上依次有A，B，C 三地，甲车从A 地出发去C 地，途经B 地，到达C 地
后，立即按原路原速返回A 地；乙车在甲车出发0.1 小时后从A 地去B 地，到达B 地停留2 小时，立即
按原路原速返回，结果比甲车提前0.3 小时到达A 地，两车均按各自速度匀速行驶．如图是甲车行驶过
程中距离B 地的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）A，C 两地之间的距离为
270
km，乙车的速度为
100
km/h；
（2）求线段EF 的函数解析式；
（3）请直接写出乙车返回A 地前，甲车行驶多少小时，甲乙两车相距10km．
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）270；100；
23
（2）y＝90x﹣360（4≤x≤6）；
（3）19
9 h或35
9 h或4h．
【分析】（1）根据题意及函数图象即可得出A，C 两地之间的距离，确定乙车在路上行驶的总时间为：
6﹣0.1﹣2﹣0.3＝3.6 小时，利用路程除以时间计算速度即可；
（2）根据图象得：甲车的速度为：（180+90）÷3＝90km/h，确定E（4，0），F（6，180），然后利
用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分三种情况分析：当乙车停留，甲车到达B 地后继续行驶10km；当甲车到达B 地之前时，与乙
车之间的距离为10km 时；当从B 地返回A 地的过程中，两车之间距离为10km，结合题意建立方程求
解即可．
【解答】解：（1）根据图象得A，C 两地之间的距离为：180+90＝270km；
根据图象得：当甲到达C 地时，用时3 小时，
∴返回A 地时总的时间为6 小时，
∵乙车在甲车出发0.1 小时后从A 地去B 地，到达B 地停留2 小时，立即按原路原速返回，结果比甲车
提前0.3 小时到达A 地，
∴乙车在路上行驶的总时间为：6﹣0.1﹣2﹣0.3＝3.6 小时，
∵乙车从A 地去B 地，然后返回A 地，
∴总路程为：180×2＝360 千米，
∴乙车的速度为360
3.6 =100km/h；
故答案为：270；100；
（2）由图象可知甲车的速度为：（180+90）÷3＝90km/h，
∴90÷90＝1h，180÷90＝2h，
∴E（4，0），F（6，180），
设线段EF 的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴{
4 k +b=0
6k +b=180，
解得：{
k =90
b=-360，
∴y＝90x﹣360（4≤x≤6）；
（3）设甲车行驶t 小时，甲乙两车相距10km，
∵乙车在甲车出发0.1 小时后从A 地去B 地，
∴甲车提前行驶了90×0.1＝9km＜10km，
∵100km/h＞90km/h，
∴在从A 到B 的过程中，两车之间的距离一直减小，不可能相距10km，
∴甲车行驶到B 地需要的时间为：180÷90＝2h，乙车行驶到B 地需要的时间为：180÷100＝1.8h，
∴当乙车停留，甲车到达B 地后继续行驶10km，即为两车之间距离为10km，
24
此时的时间为：t =2+ 10
90 = 19
9 h；
当甲车到达B 地之前时，与乙车之间的距离为10km 时，
由（2）得乙车2 小时后的时间为：0.1+1.8+2＝3.9 小时，
甲车行驶的路程为：180+90+（90﹣10）＝350km，
∴行驶的时间为：t = 350
90 = 35
9 h＜3.9h，符合题意；
当从B 地返回A 地的过程中，两车之间距离为10km，
100（t﹣0.1﹣1.8﹣2）＝90（t﹣2﹣1﹣1）+10，
解得：t＝4h（符合题意），
综上可得：甲车行驶19
9 h或35
9 h或4h 时，甲乙两车相距10km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意，熟练掌握一次函数性质是关键．
12．（2026•广西）关于x 的一次函数y= 1
2 k
2x+k（k≠0）的图象与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，O 是
坐标原点．
【性质初探】
（1）y 随x 的增大而 增大 （填“增大”或“减小”）；
（2）求证：△AOB 的面积为1；
【归纳提炼】
我们把形如y= 1
2 k
2x+k（k≠0）的一次函数称为“正向积1”函数．
【深入探究】
（3）图象经过点（2，2）的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请
说明理由；
（4）已知点P（m，n）不在坐标轴上，若图象过点P 的“正向积1”函数有且只有一个．
①求n 关于m 的函数解析式；
②选取一个符合条件的点P，并验证该点是线段AB 的中点．
【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）增大；
（2）证明：当x＝0 时，y＝k，
∴B（0，k），
当y＝0 时，x=- 2
k ，
∴A（- 2
k ，0），
25
∴△AOB 的面积= 1
2 ×|k|×|- 2
k |＝1；
（3）存在，当k＝1 时，y= 1
2x+1；
当k＝﹣2 时，y＝2x﹣2；
（4）①n=- 1
2m；
∴P（1，- 1
2），
∴1
2 k
2+k=- 1
2，
解得k＝﹣1，
∴y= 1
2x﹣1，
∴A（2，0），B（0，﹣1），
∴AB 的中点为（1，- 1
2），
∴该点是线段AB 的中点．
【分析】（1）根据1
2k2＞0，可得到y 随x 的增大而增大，
（2）分别求出B（0，k），A（- 2
k ，0），再由△AOB 的面积= 1
2 ×|k|×|- 2
k |＝1 即可证明；
（3）将点（2，2）代入y= 1
2 k
2x+k 中，求出k＝1 或k＝﹣2，即可分别求出直线解析式；
（4）①将点P（m，n）代入y= 1
2 k
2x+k 中，再由图象过点P 的“正向积1”函数有且只有一个，可知
Δ＝1+2mn＝0，即可求n=- 1
2m；
②取任意m、n 满足①，代入验证即可．
【解答】（1）解：∵1
2k2＞0，
∴y 随x 的增大而增大，
故答案为：增大；
（2）证明：当x＝0 时，y＝k，
∴B（0，k），
当y＝0 时，x=- 2
k ，
∴A（- 2
k ，0），
26
∴△AOB 的面积= 1
2 ×|k|×|- 2
k |＝1；
（3）存在，理由如下：
将点（2，2）代入y= 1
2 k
2x+k 中，
∴1
2k2×2+k＝2，
解得k＝1 或k＝﹣2，
当k＝1 时，y= 1
2x+1；
当k＝﹣2 时，y＝2x﹣2；
（4）解：①将点P（m，n）代入y= 1
2 k
2x+k 中，
∴1
2 k
2m+k＝n，
∵图象过点P 的“正向积1”函数有且只有一个，
∴Δ＝1+2mn＝0（m≠0），
∴n=- 1
2m；
②取m＝1，则n=- 1
2，
∴P（1，- 1
2），
∴1
2 k
2+k=- 1
2，
解得k＝﹣1，
∴y= 1
2x﹣1，
∴A（2，0），B（0，﹣1），
∴AB 的中点为（1，- 1
2），
∴该点是线段AB 的中点．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，弄懂定义是解题的关键．
13．（2026•内江）某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价100 元，售价160 元；
乙种衬衣每件进价80 元，售价120 元．现计划购进两种衬衣共100 件，其中甲种衬衣不少于60 件．设
购进甲种衬衣x 件，两种衬衣全部售完，商场可获利y 元．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若商场购进这100 件衬衣的总费用不超过9300 元，求有哪几种进货方案；
（3）在（2）的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价a 元（0＜
27
a＜30）出售，乙种衬衣售价不变．若最大利润为4650 元，求a 的值．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y＝20x+4000；
（2）共有6 种进货方案，
方案1：购进60 件甲种衬衣，40 件乙种衬衣；
方案2：购进61 件甲种衬衣，39 件乙种衬衣；
方案3：购进62 件甲种衬衣，38 件乙种衬衣；
方案4：购进63 件甲种衬衣，37 件乙种衬衣；
方案5：购进64 件甲种衬衣，36 件乙种衬衣；
方案6：购进65 件甲种衬衣，35 件乙种衬衣；
（3）a 的值为10．
【分析】（1）利用商场可获得的利润＝每件甲种衬衣的销售利润×购进甲种衬衣的数量+每件乙种衬衣
的销售利润×购进乙种衬衣的数量，可找出y 与x 之间的函数关系式；
（2）利用进货总价＝甲种衬衣的进货单价×购进甲种衬衣的数量+乙种衬衣的进货单价×购进乙种衬衣
的数量，结合进货总价不超过9300 元，可列出关于x 的一元一次不等式，解之可得出x 的取值范围，
结合购进甲种衬衣不少于60 件及x 为整数，即可得出各进货方案；
（3）利用商场可获得的利润＝每件甲种衬衣的销售利润×购进甲种衬衣的数量+每件乙种衬衣的销售利
润×购进乙种衬衣的数量，可找出y 与x 之间的函数关系式，分0＜a＜20，a＝20 及20＜a＜30 三种情
况考虑，根据最大利润为4650 元，可列出关于a 的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出
结论．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝（160﹣100）x+（120﹣80）（100﹣x），
即y＝20x+4000，
∴y 与x 之间的函数关系式为y＝20x+4000；
（2）根据题意得：100x+80（100﹣x）≤9300，
解得：x≤65，
又∵x≥60，x 为整数，
∴x 可以为60，61，62，63，64，65，
∴共有6 种进货方案，
方案1：购进60 件甲种衬衣，40 件乙种衬衣；
方案2：购进61 件甲种衬衣，39 件乙种衬衣；
方案3：购进62 件甲种衬衣，38 件乙种衬衣；
方案4：购进63 件甲种衬衣，37 件乙种衬衣；
方案5：购进64 件甲种衬衣，36 件乙种衬衣；
方案6：购进65 件甲种衬衣，35 件乙种衬衣；
28
（3）根据题意得：y＝（160﹣100﹣a）x+（120﹣80）（100﹣x），
即y＝（20﹣a）x+4000，
当20﹣a＞0，即0＜a＜20 时，65（20﹣a）+4000＝4650，
解得：a＝10；
当20﹣a＝0，即a＝20 时，4000≠4650，不符合题意，舍去；
当20﹣a＜0，即20＜a＜30 时，60（20﹣a）+4000＝4650，
解得：a= 55
6 （不符合题意，舍去）．
答：a 的值为10．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之
间的关系，找出y 与x 之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；
（3）根据各数量之间的关系，找出y 与x 之间的函数关系式．
14．（2026•河南）今年是红军长征胜利90 周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午8：00
从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度v（km/h）与步行全程所用时间t
（h）的函数关系如图1 所示．
（1）求v 关于t 的函数表达式．
（2）如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过2.5h，那么学生步行的平均速度至少为
多少？
（3）学生出发0.25h 后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生
整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程y（km）与学生步行时间t（h）的
函数关系如图2 所示．下列三个说法：
①李老师在补给点停留的时间为1h；
②李老师比学生先到达长征纪念广场；
③学生从学校到补给点所走路程为4km．
其中正确说法的序号是
②③
．
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【专题】数形结合；待定系数法；应用意识．
【答案】（1）v= 8
t ；
（2）学生步行的平均速度至少为3.2km/h；
29
（3）②③．
【分析】（1）设出反比例函数解析式，把其中一个点的坐标代入求得k 的值即可；
（2）根据（1）中得到的函数解析式及图象求解即可；
（3）根据所给图2 中的函数图象判断出正确的说法即可．
【解答】解：（1）设v= k
t ，
∵过点（2，4），
∴k＝2×4＝8，
∴v= 8
t ；
（2）当t＝2.5 时，
v＝3.2，
由反比例函数图象可得：当t≤2.5 时，v≥3.2，
∴学生步行的平均速度至少为3.2km/h；
（3）李老师在补给点停留的时间为1.25﹣0.75＝0.5（h），
故①错误；
李老师在学生出发后1.75 小时到达长征纪念广场，学生在出发后2 小时到达长征纪念广场，
∴李老师比学生先到达长征纪念广场，
故②正确；
由图象可得两个函数图象交点的纵坐标为4，此时学生和李老师相遇，均在补给点，
∴生从学校到补给点所走路程为4km，
故③正确．
故答案为：②③．
【点评】本题考查一次函数及反比例的应用．结合函数图象得到相关结论是解决本题的关键．
15．（2026•天津）已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家1km，
体育公园离家2km．小杰从家出发，先匀速骑行了10min 到体育公园，在体育公园停留了40min，之后
匀速骑行了5min 到民俗文化馆，在民俗文化馆停留20min 后，再匀速骑行了5min 回到家．下面图中x
表示时间，y 表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）填表：
小杰离开家的时
6
20
50
65
30
间/min
小杰离家的距
离/km
1.2
2
2
1
（Ⅱ）当50≤x≤80 时，请直接写出小杰离家的距离y 关于时间x 的函数解析式；
（Ⅲ）当小杰离开家40min 时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了50min 直接回到家．在
50≤x≤80 的时段内，对于同一个x 的值，小杰离家的距离为y1，小杰的爷爷离家的距离为y2，当y1＝
y2时，求x 的值（直接写出结果即可）．
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】（I）1.2；2；1；
（II）y ={
-0.2 x +12(50≤x ≤55)
1(55＜x＜75)
-0.2 x +16(75≤x ≤80)
；
（III）52.5 或65 或77.5．
【分析】（I）先求出小杰骑行到体育公园的速度，得到小杰离开家6min 时离家的距离；再根据图象分
别得到小杰离开家50min 和65min 时离家的距离，即可填表；
（II）分三种情况讨论：50≤x≤55、55＜x＜75、75≤x≤80，结合图象，利用待定系数法即可求解；
（III）根据题意y2与x 满足一次函数关系，利用待定系数法求出y2＝﹣0.04x+3.6（40≤x≤90），再分
三种情况讨论：50≤x≤55、55＜x＜75、75≤x≤80，令y1＝y2，即可求出x 的值．
【解答】解：（I）小杰骑行到体育公园的速度为 2÷10＝0.2（km/min），
∴当小杰离开家6min 时，离家的距离为0.2×6＝1.2（km）；
由图象得，当小杰离开家50min 时，离家的距离为2km；
当小杰离开家65min 时，离家的距离为1km；
故答案为：1.2；2；1；
（II）当50≤x≤55 时，小杰离家的距离y 与时间x 的满足一次函数关系，
设y＝k1x+b1，
代入（50，2）和（55，1）得，{
50k1+b1=2
55k1+b1=1，
解得{
k1=-0.2
b1=12 ，
∴y＝﹣0.2x+12（50≤x≤55）；
当55＜x＜75 时，由图象得，y＝1，
∴y＝1（55＜x＜75）；
当75≤x≤80 时，小杰离家的距离y 与时间x 的满足一次函数关系，
设y＝k2x+b2，
31
代入（75，1）和（80，0）得，{
75k2+b2=1
80k2+b2=0，
解得{
k1=-0.2
b1=16 ，
∴y＝﹣0.2x+16（75≤x≤80）；
综上，小杰离家的距离y 关于时间x 的函数解析式为y ={
-0.2 x +12(50≤x ≤55)
1(55＜x＜75)
-0.2 x +16(75≤x ≤80)
；
（III）当小杰的爷爷回到家时，小杰离开家时间为40+50＝90（min），
由题意得，y2与x 满足一次函数关系，
设y2＝kx+b，代入（40，2）和（90，0）得，
{
40k +b=2
90k +b=0，
解得{
k =-0.04
b=3.6 ，
∴y2＝﹣0.04x+3.6（40≤x≤90）；
当50≤x≤55 时，y1＝y2，
∴﹣0.2x+12＝﹣0.04x+3.6，
解得x＝52.5；
当55＜x＜75 时，y1＝y2，
∴1＝﹣0.04x+3.6，
解得x＝65；
当75≤x≤80 时，y1＝y2，
∴﹣0.2x+16＝﹣0.04x+3.6，
解得x＝77.5；
综上，当y1＝y2时，x 的值为52.5 或65 或77.5．
【点评】本题考查了函数的性质，函数的图象等，掌握综合知识是解题的关键．
16．（2026•上海）景区有一个观景台，可以通过扶梯前往，8：10：00 第一位游客站上扶梯，8：10：51
第一位游客到达观景台，之后的游客有序排队入场，此后每位游客到达时间的间隔为0.8 秒．
（1）设登上观景台的游客数为x，时间为y（从8：10：00 开始计算，单位为秒），请填写表格，并列
出y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）．
x
1
6
y
51
55
（2）8：10：00 到8：12：00 有多少名游客登上观景台？8：12：00 到8：14：00 有多少名游客登上观
景台？
32
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）填表如下：
x
1
6
y
51
55
y＝0.8x+50.2；
（2）8：10：00 到8：12：00 登上观景台的游客为87 人；8：12：00 到8：14：00 登上观景台的游客
为150 人．
【分析】（1）依据题意得，第一个人需要51 秒，结合此后每位游客到达时间的间隔为0.8 秒．则第6
个人时间为：51+0.8×5＝55（秒），从而可以计算得解；
（2）依据题意，当8：10：00 到8：12：00 时，2 分钟＝120 秒，则结合（1）令0.8x+50.2＝120，进
而计算可以得解；当8：10：00 到8：14：00 时，4 分钟＝240 秒，令0.8x+50.2＝240，从而计算可以
得解．
【解答】解：（1）由题意得，第一个人需要51 秒，
又∵此后每位游客到达时间的间隔为0.8 秒．
∴第6 个人时间为：51+0.8×5＝55（秒）．
填表如下：
x
1
6
y
51
55
∴y 关于x 的函数解析式为y＝51+0.8（x﹣1），即y＝0.8x+50.2；
（2）由题意，当8：10：00 到8：12：00 时，2 分钟＝120 秒，
∴结合（1）令0.8x+50.2＝120，
∴x＝87.25，取整数，x＝87．
∴8：10：00 到8：12：00 登上观景台的游客为87 人；
当8：10：00 到8：14：00 时，4 分钟＝240 秒，
∴结合（1）令0.8x+50.2＝240，
∴x＝237.25，取整数，x＝237．
∴8：12：00 到8：14：00 登上观景台的游客为：237﹣87＝150（人）．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
17．（2026•攀枝花）某中学在劳动实践基地开辟了“青春农场”，将土地划分给各班负责．初二（3）
班的同学在责任田里种植了有机蔬菜，经过几个月的精心照料，终于迎来了丰收．同学们决定将采摘
的新鲜蔬菜拿到学校附近的周末集市销售．卖菜所得款项按每千克0.8 元留作下一季的种植基金，余下
的捐给福利院．在集市上销售了部分蔬菜后，剩下的每千克降价0.5 元，全部售完．销售额与销量之间
的关系如图所示，那么该班级本次共捐给福利院多少元？
33
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】该班级本次共捐给福利院322 元．
【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意
义得到正确的结论．
【解答】解：由图中可知，没有降价前100 千克有机蔬菜卖了300 元，那么售价为：300÷100＝3
（元），
降价0.5 元后单价变为3﹣0.5＝2.5，钱变成了450 元，说明降价后卖了450﹣300＝150（元），那么降
价后卖了150÷2.5＝60（千克）．
∴总质量将变为：100+60＝160（千克），则种植基金＝160×0.8＝128（元），
∴捐给福利院的金额＝450﹣128＝322（元）．
答：该班级本次共捐给福利院322 元．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，经济问题相关公式，看图分析问题能力；要理解题目意思和
看懂图中的信息，易错点是：看懂图中的信息，把两次不同价格出售的西瓜重量加起来．
18．（2026•山东）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内
画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：
请根据他们的对话解答下列问题：
（1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；
（2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20 个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2 倍，则分别购
买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？
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【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为40 元，30 元；
（2）购买14 个描金琉璃瓶，6 个内画瓶，费用最小，最少费用为740 元．
34
【分析】（1）设描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为x 元，y 元．根据方程组求解；
（2）设购买描金琉璃瓶x 个，购买内画瓶（20﹣x）个．总费用为W 元．根据一次函数，利用一次函
数的性质求解．
【解答】解：（1）设描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为x 元，y 元．
由题意{
x +2 y =100
3 x + 4 y =240，
解得{
x = 40
y =30．
答：描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为40 元，30 元；
（2）设购买描金琉璃瓶x 个，购买内画瓶（20﹣x）个．总费用为W 元．
则有W＝40x+30（20﹣x）＝10x+600，
由题意x≥2（20﹣x），
解得x≥40
3 ，
∵10＞0，
∴当x＝14 时，W 最小，最小值＝740．
故当购买14 个描金琉璃瓶，6 个内画瓶，费用最小，最少费用为740 元．
【点评】本题考查一元一次方程组，一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
19．（2026•广安）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B 两地收到社会各
界人士所捐物资共400 吨．据统计，A 地收到物资吨数的3 倍与B 地收到物资吨数的5 倍相等．现要把
这批物资全部运往受灾的C，D 两地．从A 地运往C，D 两地的费用分别为15 元/吨和20 元/吨；从B
地运往C，D 两地的费用分别为12 元/吨和18 元/吨；现C 地需物资180 吨，D 地需物资220 吨．
（1）分别求出A，B 两地各收到多少吨物资；
（2）请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用．
【考点】一次函数的应用；分数的除法；二元一次方程组的应用；一次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）A 地收到250 吨物资，B 地收到150 吨物资；
（2）从A 地运往C 地30 吨，运往D 地220 吨，从B 地运往C 地150 吨，运往D 地0 吨时，总运费最
少，最少费用为6650 元．
【分析】（1）依据题意，设A 地收到x 吨物资，B 地收到y 吨物资，则{
x + y = 400
3 x =5 y ，则{
x =250
y =150，从
而可以得解；
（2）依据题意，设总费用为W 元，从A 地运往C 地m 吨，则运往D 地（250﹣m）吨，B 地运往C 地
（180﹣m） 吨，运往D 地 （m﹣30）吨，则W＝15m+20（250﹣m）+12（180﹣m）+18（m﹣30）＝
m+6620，可得30≤m≤180，又k＝1＞0，从而W 随m 的增大而增大，最后结合一次函数的性质可以得
解．
35
【解答】解：（1）由题意，设A 地收到x 吨物资，B 地收到y 吨物资，则{
x + y = 400
3 x =5 y ，
∴{
x =250
y =150．
答：A 地收到250 吨物资，B 地收到150 吨物资；
（2）设总费用为W 元，从A 地运往C 地m 吨，则运往D 地（250﹣m）吨，B 地运往C 地（180﹣m）
吨，运往D 地 （m﹣30）吨，
∴W＝15m+20（250﹣m）+12（180﹣m）+18（m﹣30）＝m+6620，
∵{
m≥0，
250-m≥0
180-m≥0
m-30≥0
，
∴30≤m≤180．
∵k＝1＞0，
∴W 随m 的增大而增大．
∴当m＝30，总费用最少，W＝30+6620＝6650（元），
∴250﹣m＝220，180﹣m＝150，m﹣30＝0．
答：从A 地运往C 地30 吨，运往D 地220 吨，从B 地运往C 地150 吨，运往D 地0 吨时，总运费最少，
最少费用为6650 元．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一次函数的性质，解题时要熟练
掌握并能根据题意列出关系式是关键.22Z12D：分数的除法
20．（2026•南充）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息．
背景
某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极
性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利．鸭蛋加工厂共有
9 条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．
（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋）
素材一
若3 条加工线加工皮蛋和1 条加工线加工咸蛋，则每月可加工11 万枚；
若2 条加工线加工皮蛋和3 条加工线加工咸蛋，则每月可加工12 万枚．
素材二
现收购了30 万枚鸭蛋，计划在一月内用9 条加工线加工成皮蛋或咸蛋；
经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半；
加工厂安排皮蛋加工线不低于3 条；
一月内未能加工完的鸭蛋另作处理．
素材三
每万枚皮蛋可获利0.7 万元，每万枚咸蛋可获利1.2 万元；
一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1 万元处理．
根据以上信息，完成下列任务：
【任务一】（1）该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？
【任务二】（2）工厂有几种安排加工线的方案？
【任务三】（3）如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润．
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）加工厂每条加工线每月可加工皮蛋3 万枚，咸蛋2 万枚；
（2）加工厂有3 种安排方案；
（3）安排3 条皮蛋加工线，6 条咸蛋加工线可获得最大利润19.8 万元．
【分析】（1）依据题意，设加工厂每条加工线每月可分别加工皮蛋，咸蛋m，n 万枚，则
{
3m+n=11，
2m+3n=12，从而计算可以得解；
（2）依据题意，设该月有x 条加工线加工皮蛋，有（9﹣x） 条加工线加工咸蛋，则由题意得，
2(9- x)≥1
2 ×3 x，可得x ≤36
7 ，结合加工厂安排皮蛋加工线不低于3 条，故3≤x ≤36
7 ，又x 为正整
数，从而可以得解；
（3）依据题意得，未能加工的鸭蛋数：30﹣3x﹣2（9﹣x）＝12﹣x＞0，又设该月的利润为y 万元，故
y＝3x×0.7+2（9﹣x）×1.2﹣（12﹣x）×0.1＝﹣0.2x+20.4，结合一次函数的性质计算可以得解．
【解答】.解：（1）由题意，设加工厂每条加工线每月可分别加工皮蛋，咸蛋m，n 万枚．
∴{
3m+n=11，
2m+3n=12，
∴{
m=3，
n=2.
答：加工厂每条加工线每月可加工皮蛋3 万枚，咸蛋2 万枚；
（2）设该月有x 条加工线加工皮蛋，有（9﹣x） 条加工线加工咸蛋．
由题意得，2(9- x)≥1
2 ×3 x．
∴x ≤36
7 ．
∵加工厂安排皮蛋加工线不低于3 条，
∴3≤x ≤36
7 ，
又∵x 为正整数，
∴x＝3 或4 或5．
∴加工厂有3 种安排方案；
（3）由题意得，未能加工的鸭蛋数：30﹣3x﹣2（9﹣x）＝12﹣x＞0．
设该月的利润为y 万元．
∴y＝3x×0.7+2（9﹣x）×1.2﹣（12﹣x）×0.1＝﹣0.2x+20.4．
∵﹣0.2＜0，
∴y 随x 的增大而减小．
∴当x＝3 时，y 取得最大值，y 最大＝19.8（万元），即安排3 条皮蛋加工线，6 条咸蛋加工线可获得最
大利润19.8 万元．
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【点评】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意
列出关系式是关键．
21．（2026•成都）成都，一座雪山下的公园城市．全市超1500 个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生
态空间．图1 是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点
3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲．图2 中
l1，l2分别表示甲、乙两人离开景点1 的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系，假
设两人均保持现有的速度．
（1）直接写出l1，l2的函数表达式；
（2）如图1，景点3 到景点4 有两条道路，甲到达景点3 后，沿远路前往景点4，乙到达景点3 后，沿
近路前往景点4．问乙能比甲先到达景点4 吗？请说明理由．
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）l2的函数表达式为：s2＝50t，l1的函数表达式为：s1＝30t+800；
（2）乙能比甲先到达景点4．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）求出甲乙的速度，然后求各自的耗时即可．
【解答】解：（1）直线l2过点（0，0）和（20，1000），
k2= 1000
20 =50，
直线l1对应的函数表达式为s2＝50t；
设直线l1对应的函数表达式为s＝kt+b，
直线l1过点（0，800）和（20，1400），
代入得{
b=800
1400=20k +b，
解得{
b=800
k =30 ，
直线l1对应的函数表达式为s1＝30t+800；
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（2）甲的速度为1400-800
20
=30m/min，
乙的速度为1000
20 =50m/min，
景点1 到景点3 的路程为800+600＝1400（m），
当s＝1400 时，对于甲：30t+800＝1400，解得t＝20，
对于乙：50t＝1400，解得t＝28，
甲从景点3 到景点4 要走的路程为720m，耗时720
30 =24min，
乙从景点3 到景点4 要走的路程为650m，耗时650
50 =13min，
甲到达景点4 的总时间为20+24＝44min，
乙到达景点4 的总时间为28+13＝41min，
∵41＜44，
∴乙能比甲先到达景点4．
【点评】本题是一次函数实际应用问题，考查了对一次函数图象代表意义的分析和从方程角度解决一
次函数问题．
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考点卡片
1．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设
几个未知数，就要列几个方程．
2．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
3．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
4．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9 时表示y 是x 的函数，若写成x＝﹣y+9 就表示x 是y
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的函数．
5．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b 与y 轴交于（0，b），当b＞0 时，（0，b）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当
b＜0 时，（0，b）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．
6．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又
要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条
件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
7．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前
提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
8．分数的除法
分数除法是分数乘法的逆行运算（逆运算）．分数除法的计算法则为：甲数除以乙数（0 除外），等于甲
数乘乙数的倒数．分数除法的结果能约分的要约分．
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