文档文本内容
1
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之一元二次方程
一．选择题（共15 小题）
1．（2026•扬州）关于x 的一元二次方程x2+kx﹣1＝0 根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断根的情况
2．（2026•山西）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3 月份此
款飞行器产量为1200 台，5 月份的产量为1600 台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长
率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1200（1+x）＝1600
B．1200（1+2x）＝1600
C．1200（1+x）2＝1600
D．1600（1﹣x）2＝1200
3．（2026•上海）下列方程无实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0
B．x2﹣2＝0
C．x2+2x＝0
D．x2+2＝0
4．（2026•台湾）已知一元二次方程式2x（x+7）﹣10（x+7）＝0 的两根为a、b，且a＞b，求a+2b 之值
为何？（ ）
A．﹣13
B．﹣9
C．﹣4
D．﹣3
5．（2026•湖北）2026 年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n
支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1 场），共需进行136 场比赛，则可列
方程（ ）
A．1
2n（n﹣1）＝136
B．n（n﹣1）＝136
C．1
2n（n+1）＝136
D．n（n+1）＝136
6．（2026•广元）若关于x 的一元二次方程x2+bx+3＝0 有两个相等的实数根，则b 的值为（ ）
A．2√3
B．±2√3
C．√3
D．±√3
7．（2026•吉林）十三世纪的《计算之书》中记载了一个数学问题：将10 写成两个数的和，10 除以第一
个数，所得的商乘第二个数，得201
4 ，这两个数分别为多少？若设第一个数为x，则所列方程为
（ ）
A．x(10- x)=20 1
4
B．
x
10- x =20 1
4
C．
10
x(10- x) =20 1
4
D．10
x ⋅(10- x)=20 1
4
8．（2026•绥化）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0 的两个根，则x1+x2﹣2x1x2的值为（ ）
2
A．16
B．﹣16
C．20
D．﹣20
9．（2026•黑龙江）深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023 年平均每公顷产7000kg 水稻，到
2025 年平均每公顷产8470kg 水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．7000（1+2x）＝8470
B．7000（1+x）2＝8470
C．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝8470
D．7000×2（1+x）＝8470
10．（2026•河南）已知x＝2 是关于x 的方程x2﹣mx＝6 的一个根，则m 的值为（ ）
A．5
B．﹣5
C．1
D．﹣1
11．（2026•宜宾）已知方程x2﹣9x+14＝0 的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
12．（2026•内江）对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如：3☆2＝3×22﹣3×2＝
6，则方程2☆x＝3 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
13．（2026•遂宁）关于x 的一元二次方程x2+mx﹣1＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
14．（2026•凉山州）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x 支球队进入决赛阶
段，共比赛72 场，根据题意可列关于x 的方程为（ ）
A．1
2x（x﹣1）＝72
B．x（x﹣1）＝72
C．x（x+1）＝72
D．1
2x（x+1）＝72
15．（2026•安徽）已知关于x 的一元二次方程ax2﹣bx+b﹣a＝0（a≠0）有两个相等的实数根，则b
a =（
）
A．﹣2
B．- 1
2
C．1
2
D．2
二．填空题（共8 小题）
16．（2026•乐山）已知方程x2﹣4x+3＝0 的两个根是x1和x2，则x1x2＝ ．
3
17．（2026•广东）已知方程x2+3x+c＝0 的一个根是1，则c＝ ．
18．（2026•巴中）已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x2﹣x+t＝0 的两个实数根，则x1
2+ x2
2的最小值是
．
19．（2026•甘孜州）若关于x 的方程x2﹣4x+a＝0 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为
．
20．（2026•甘肃）已知m 是一元二次方程x2+2x﹣3＝0 的一个根，则代数式2m2+4m 的值是 ．
21．（2026•眉山）若方程x2﹣4x﹣3＝0 的两个根是x1，x2，则x1
2x2+x1x2
2的值为 ．
22．（2026•山东）若关于x 的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0 的一个根是10，则另一个根是
．
23．（2026•凉山州）已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0 的两根是x1，x2，则x1
2+ x2
2的值为 ．
三．解答题（共5 小题）
24．（2026•齐齐哈尔）解方程：x2﹣6＝5x．
25．（2026•烟台）为庆祝长征胜利90 周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产
品的成本价是每件20 元，日销售量y（件）与每件售价x（元）的函数关系如图所示．
（1）求y 与x 的函数表达式；
（2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525 元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品
每件的售价为多少元．
26．（2026•连云港）解方程x（x﹣1）＝8x﹣8．
27．（2026•上海）解方程组：{
y
2-2 x =7
x - y = 4 ．
28．（2026•南充）关于x 的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）已知方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1＝2x2，求k 的值．
4
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共15 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
D
B
A
B
D
A
B
D
D
题号
12
13
14
15
答案
A
A
B
D
一．选择题（共15 小题）
1．（2026•扬州）关于x 的一元二次方程x2+kx﹣1＝0 根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断根的情况
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为关于x 的一元二次方程为x2+kx﹣1＝0，
则Δ＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4≥4＞0，
所以该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
2．（2026•山西）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3 月份此
款飞行器产量为1200 台，5 月份的产量为1600 台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长
率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1200（1+x）＝1600
B．1200（1+2x）＝1600
C．1200（1+x）2＝1600
D．1600（1﹣x）2＝1200
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据今年3 月份此款飞行器产量为1200 台，5 月份的产量为1600 台，列出一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得：1200（1+x）2＝1600，
故选：C．
5
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
3．（2026•上海）下列方程无实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0
B．x2﹣2＝0
C．x2+2x＝0
D．x2+2＝0
【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】计算方程的根的判别式的值，即可判断各方程根的情况即可．
【解答】解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；
B、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；
C、Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；
D、Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，方程无实数根，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：
当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0 时，方程无
实数根．
4．（2026•台湾）已知一元二次方程式2x（x+7）﹣10（x+7）＝0 的两根为a、b，且a＞b，求a+2b 之值
为何？（ ）
A．﹣13
B．﹣9
C．﹣4
D．﹣3
【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意，求出a 和b 的值即可解决问题．
【解答】解：由题知，
2x（x+7）﹣10（x+7）＝0，
（x+7）（2x﹣10）＝0，
则x+7＝0 或2x﹣10＝0，
所以x1＝﹣7，x2＝5，
所以a＝5，b＝﹣7，
则a+2b＝5+2×（﹣7）＝﹣9．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及解一元二次方程﹣因式分解法，能根据题意求出a 和b 的
值是解题的关键．
5．（2026•湖北）2026 年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n
支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1 场），共需进行136 场比赛，则可列
6
方程（ ）
A．1
2n（n﹣1）＝136
B．n（n﹣1）＝136
C．1
2n（n+1）＝136
D．n（n+1）＝136
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可列出关于x 的一元二次方程，
此题得解．
【解答】解：根据题意得：1
2n（n﹣1）＝136．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
6．（2026•广元）若关于x 的一元二次方程x2+bx+3＝0 有两个相等的实数根，则b 的值为（ ）
A．2√3
B．±2√3
C．√3
D．±√3
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为关于x 的一元二次方程x2+bx+3＝0 有两个相等的实数根，
则Δ＝b2﹣4×1×3＝0，
解得b=±2√3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
7．（2026•吉林）十三世纪的《计算之书》中记载了一个数学问题：将10 写成两个数的和，10 除以第一
个数，所得的商乘第二个数，得201
4 ，这两个数分别为多少？若设第一个数为x，则所列方程为
（ ）
A．x(10- x)=20 1
4
B．
x
10- x =20 1
4
C．
10
x(10- x) =20 1
4
D．10
x ⋅(10- x)=20 1
4
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；分式的乘除法．菁优网版权所有
【专题】分式；一元二次方程及应用；应用意识．
7
【答案】D
【分析】根据将10 写成两个数的和，10 除以第一个数，所得的商乘第二个数，得201
4 ，列出方程即可．
【解答】解：由题意得：10
x （10﹣x）＝201
4 ，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及分式的乘除法，找准等量关系，正确列出方
程是解题的关键．
8．（2026•绥化）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0 的两个根，则x1+x2﹣2x1x2的值为（ ）
A．16
B．﹣16
C．20
D．﹣20
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣9＝0 的两个根，
则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣9，
所以x1+x2﹣2x1x2＝﹣2﹣2×（﹣9）＝﹣2+18＝16．
故选：A．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
9．（2026•黑龙江）深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023 年平均每公顷产7000kg 水稻，到
2025 年平均每公顷产8470kg 水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．7000（1+2x）＝8470
B．7000（1+x）2＝8470
C．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝8470
D．7000×2（1+x）＝8470
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据增长率的计算规律，计算2023 年经过两年增长后2025 年的产量，即可列出对应方程．
【解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，
则：2025 年平均每公顷产量为7000（1+x）•（1+x）＝7000（1+x）2kg，
又∵2025 年平均每公顷产量为8470kg，
∴可列方程为7000（1+x）2＝8470．
故选：B．
【点评】本题考查平均增长率问题的列方程，找到等量关系是解题的关键．
8
10．（2026•河南）已知x＝2 是关于x 的方程x2﹣mx＝6 的一个根，则m 的值为（ ）
A．5
B．﹣5
C．1
D．﹣1
【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2 代入关于x 的方程x2﹣mx＝6 中即可求出m 的值．
【解答】解：把x＝2 代入关于x 的方程x2﹣mx＝6 中，得22﹣2m＝6，
解得m＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
11．（2026•宜宾）已知方程x2﹣9x+14＝0 的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的
面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可．
【解答】解：∵x2﹣9x+14＝0，
∴（x﹣7）（x﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0 或x﹣7＝0，
解得x＝2 或x＝7，
∴该菱形的两条对角线的长分别为2 和7，
∴该菱形的面积为1
2 ×2×7=7．
故选：D．
【点评】本题考查解二元一次方程组，实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是
掌握相关知识的灵活运用．
12．（2026•内江）对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如：3☆2＝3×22﹣3×2＝
6，则方程2☆x＝3 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式；实数的运算．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
9
【答案】A
【分析】根据题意，得出关于x 得方程，再利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为2☆x＝3，
所以2x2﹣2x＝3，
整理得，2x2﹣2x﹣3＝0，
则Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣3）＝28＞0，
所以该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题主要考查了根的判别式及实数的运算，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
13．（2026•遂宁）关于x 的一元二次方程x2+mx﹣1＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式公式Δ＝b2﹣4ac，确定方程x2+mx﹣1＝0 中a，b，c 的值，代
入公式计算Δ，再根据Δ 与0 的大小关系判断根的情况．
【解答】解：在方程x2+mx﹣1＝0 中，
∵a＝1，b＝m，c＝﹣1，
∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4，
∵m2≥0，
∴m2+4＞0，
∴方程x2﹣mx﹣1＝0 有两个不相等的实数根，
故答案选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，解题的关键是通过计算根的判别式Δ 的值来判断根
的情况．
14．（2026•凉山州）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x 支球队进入决赛阶
段，共比赛72 场，根据题意可列关于x 的方程为（ ）
A．1
2x（x﹣1）＝72
B．x（x﹣1）＝72
C．x（x+1）＝72
D．1
2x（x+1）＝72
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
10
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据每两队之间都进行两场比赛且共比赛72 场，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得x（x﹣1）＝72．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
15．（2026•安徽）已知关于x 的一元二次方程ax2﹣bx+b﹣a＝0（a≠0）有两个相等的实数根，则b
a =（
）
A．﹣2
B．- 1
2
C．1
2
D．2
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为关于x 的一元二次方程ax2﹣bx+b﹣a＝0（a≠0）有两个相等的实数根．
所以（﹣b）2﹣4a（b﹣a）＝0，
整理得，b2﹣4ab+4a2＝0，
则（b﹣2a）2＝0，
所以b＝2a，
所以b
a = 2a
a =2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
二．填空题（共8 小题）
16．（2026•乐山）已知方程x2﹣4x+3＝0 的两个根是x1和x2，则x1x2＝
3
．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为方程x2﹣4x+3＝0 的两个根是x1和x2，
所以x1x2= 3
1 =3．
故答案为：3．
11
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
17．（2026•广东）已知方程x2+3x+c＝0 的一个根是1，则c＝ ﹣
4
．
【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】把x＝1 代入方程x2+3x+c＝0 得关于c 的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1 代入方程x2+3x+c＝0 得：1+3+c＝0，
解得：c＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两
边相等的未知数的值．
18．（2026•巴中）已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x2﹣x+t＝0 的两个实数根，则x1
2+ x2
2的最小值是
1
2 ．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1
2．
【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数t 的取值范围，再利用根与系数的关系将x1
2+ x2
2变形
为关于t 的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值．
【解答】解：∵x1，x2是关于x 的一元二次方程x2﹣x+t＝0 的两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×t≥0，
解得t ≤1
4 ，
由根与系数的关系得：x1+x2＝1，x1x2＝t，
∴x1
2+ x2
2=( x1+ x2)
2-2 x1 x2=1
2-2t =1-2t，
∵﹣2＜0，
∴x1
2+ x2
2=1-2t随t 的增大而减小，
∴当t 取最大值1
4 时，x1
2+ x2
2取得最小值，
代入得，最小值为1-2× 1
4 = 1
2．
故答案为：1
2．
12
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使
用的解题方法．
19．（2026•甘孜州）若关于x 的方程x2﹣4x+a＝0 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为a ＜
4
．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】a＜4．
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为关于x 的方程x2﹣4x+a＝0 有两个不相等的实数根，
所以Δ＝（﹣4）2﹣4a＞0，
解得a＜4．
故答案为：a＜4．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
20．（2026•甘肃）已知m 是一元二次方程x2+2x﹣3＝0 的一个根，则代数式2m2+4m 的值是
6
．
【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】6．
【分析】将x＝m 代入原方程，可得出m2+2m﹣3＝0，进而可得出m2+2m＝3，再将其代入原式＝2
（m2+2m）中，即可求出结论．
【解答】解：将x＝m 代入原方程得：m2+2m﹣3＝0，
∴m2+2m＝3，
∴原式＝2（m2+2m）＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题
的关键．
21．（2026•眉山）若方程x2﹣4x﹣3＝0 的两个根是x1，x2，则x1
2x2+x1x2
2的值为 ﹣
12
．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣12．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为方程x2﹣4x﹣3＝0 的两个根是x1，x2，
则x1+x2＝4，x1x2＝﹣3，
所以x1
2 x2+ x1 x2
2= x1 x2( x1+ x2)=-3×4＝﹣12．
13
故答案为：﹣12．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
22．（2026•山东）若关于x 的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0 的一个根是10，则另一个根是
2
．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】由（x﹣2）（x﹣m）＝0，可得出x＝2 或x＝m，进而可得出方程另一个根是2．
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣m）＝0，
∴x﹣2＝0 或x﹣m＝0，
∴x＝2 或x＝m，
∴方程另一个根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用因式分解法求出方程的两个根是解题的关键．
23．（2026•凉山州）已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0 的两根是x1，x2，则x1
2+ x2
2的值为
22
．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】22．
【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣4，x1•x2＝﹣3，再将其代入原式＝（x1+x2）2﹣2x1•x2
中，即可求出结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣3＝0 的两根是x1，x2，
∴x1+x2＝﹣4，x1•x2＝﹣3，
∴x1
2+ x2
2=（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（﹣4）2﹣2×（﹣3）＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于- b
a，
两根之积等于c
a”是解题的关键．
三．解答题（共5 小题）
24．（2026•齐齐哈尔）解方程：x2﹣6＝5x．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝﹣1，x2＝6．
【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
14
【解答】解：x2﹣6＝5x，
x2﹣5x﹣6＝0，
（x+1）（x﹣6）＝0，
则x+1＝0 或x﹣6＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝6．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解
题的关键．
25．（2026•烟台）为庆祝长征胜利90 周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产
品的成本价是每件20 元，日销售量y（件）与每件售价x（元）的函数关系如图所示．
（1）求y 与x 的函数表达式；
（2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525 元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品
每件的售价为多少元．
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x+70；
（2）该款文创产品每件的售价为35 元．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据每天盈利525 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设y 与x 的函数表达式为y＝kx+b，
把（30，40），（40，30）代入得：{
30k +b= 40
40k +b=30，
解得：{
k =-1
b=70 ，
∴y 与x 的函数表达式为y＝﹣x+70；
（2）由题意得：（x﹣20）（﹣x+70）＝525，
整理得：x2﹣90x+1925＝0，
解得：x1＝35，x2＝55，
∵尽可能的让利于顾客，
∴x2＝55 不符合题意，舍去，
15
答：该款文创产品每件的售价为35 元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法
取一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26．（2026•连云港）解方程x（x﹣1）＝8x﹣8．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝8，x2＝1．
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：x（x﹣1）＝8x﹣8，
整理得：x（x﹣1）﹣8（x﹣1）＝0，
因式分解得：（x﹣8）（x﹣1）＝0，
则x﹣8＝0 或x﹣1＝0，
解得：x1＝8，x2＝1．
【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
27．（2026•上海）解方程组：{
y
2-2 x =7
x - y = 4 ．
【考点】高次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】{
x1
=9
y1
=5，{
x2
=1
y2
=-3．
【分析】通过代入消元法，将二元二次方程组转化为一元二次方程进行求解．先由方程x﹣y＝4 得到x
关于y 的表达式，再将其代入方程y2﹣2x＝7 中，求解y 的值，最后将y 的值代回x 关于y 的表达式中，
求出x 的值．
【解答】解：由x﹣y＝4，
可得x＝y+4．
把x＝y+4，
代入y2﹣2x＝7，
得到y2﹣2（y+4）＝7．
去括号得y2﹣2y﹣8＝7，
移项得y2﹣2y﹣15＝0，
因式分解得 （y﹣5）（y+3）＝0，
则y﹣5＝0 或y+3＝0，
解得y1＝5，y2＝﹣3．
当y＝5 时，x＝5+4＝9；
当y＝﹣3 时，x＝﹣3+4＝1．
16
∴方程组的解为{
x1=9
y1=5，{
x2
=1
y2
=-3．
【点评】题目考查了高次方程的求解，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
28．（2026•南充）关于x 的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）已知方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1＝2x2，求k 的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）证明：∵原方程为x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0，
∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k﹣2）
＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k+8
＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）k 的值为4 或﹣5．
【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论；
（2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合x1＝2x2的条件，得到关于k 的一元二次方程，求
解即可得到k 的值．
【解答】（1）证明：∵原方程为x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0，
∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k﹣2）
＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k+8
＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：由条件可知x1+x2＝2k+1，x1 x2=k
2+ k -2，
∵x1＝2x2，
∴2x2+x2＝2k+1，
∴x2= 2k +1
3
，
∴x1= 2(2k +1)
3
，
代入x1 x2=k
2+ k -2得：2(2k +1)
2
9
=k
2+k -2，
整理得k2+k﹣20＝0，
解得k＝4 或k＝﹣5．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．
17
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，
又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0 指数）运算、根式运算、特殊
三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运
算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，
即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再
约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1 的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，
切不可打乱这个运算顺序．
3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的
解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2 是一元二次方程ax2+bx+c＝0
（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax1
2+bx1+c＝0（a≠0），ax2
2+bx2+c＝0（a≠0）．
4．解一元二次方程-因式分解法
18
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方
法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两
个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一
元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，
得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
5．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：
①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0 时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0 时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
6．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0 的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过
来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系
数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，
x1+x2=- b
a，x1x2= c
a，反过来也成立，即b
a =-（x1+x2），c
a =x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未
知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x1
2+x2
2等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥
由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同
时还要考虑a≠0，△≥0 这两个前提条件．
7．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表
示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
8．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检
验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
19
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一
次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱
形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例
关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角
形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
9．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2 次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二
次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5 次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算
和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求
解．
10．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又
要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条
件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
11．菱形的性质
（1）菱形的性质
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①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积= 1
2ab．（a、b 是两条对角线的长度）
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