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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题33 新定义型（含高中知识衔接）问题
一、选择题
1. （2024四川眉山）定义运算： ，例如 ，则函数
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
2.（ 2024四川宜宾）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完
美数．例如：6的真因数是1、2、3，且 ，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A. 8 B. 18 C. 28 D. 32
3. （2024山东威海）定义新运算：
①在平面直角坐标系中， 表示动点从原点出发，沿着 轴正方向（ ）或负方向（ ）．平
移 个单位长度，再沿着 轴正方向（ ）或负方向（ ）平移 个单位长度．例如，动点从原
点出发，沿着 轴负方向平移 个单位长度，再沿着 轴正方向平移 个单位长度，记作 ．
②加法运算法则： ，其中 ， ， ， 为实数．
若 ，则下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.（ 2024湖南省）在平面直角坐标系 中，对于点 ，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．
特别地，当 （其中 ）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点 在第
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二象限，下列说法正确的是（ ）
A. B. 若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C. 若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D. 若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的
距离之和大于10
5. （2024 四川遂宁）如图 1， 与 满足 ， ， ，
，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在 中， ，点
在线段 上，且 ，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
二、填空题
1.（ 2024甘肃威武）定义一种新运算*，规定运算法则为： （m，n均为整数，且 ）．
例： ，则 ________．
2. （2024上海市）对于一个二次函数 （ ）中存在一点 ，使得
，则称 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开
口大小”为__________．
3.（ 2024山东枣庄）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反
复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直
角坐标系 中，将点 中的 ， 分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐
标，其中 ， 均为正整数．例如，点 经过第1次运算得到点 ，经过第2次运算得到点
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，以此类推．则点 经过2024次运算后得到点________．
4. （2024四川广元）若点 满足 ，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的
坐标______．
5. （2024重庆市A）我们规定：若一个正整数 能写成 ，其中 与 都是两位数，且 与 的
十位数字相同，个位数字之和为 ，则称 为“方减数”，并把 分解成 的过程，称为“方减
分解”．例如：因为 ， 与 的十位数字相同，个位数字 与 的和为 ，所以 是
“方减数”， 分解成 的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减
数”是______．把一个“方减数” 进行“方减分解”，即 ，将 放在 的左边组成一个
新的四位数 ，若 除以 余数为 ，且 （ 为整数），则满足条件的正整数 为______．
6.（ 2024四川泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移 个单位，再绕原点按
逆时针方向旋转 角度，这样的图形运动叫做图形的 变换．如：点 按照 变换
后得到点 的坐标为 ，则点 按照 变换后得到点 的坐标为______．
7. （2024重庆市B）一个各数位均不为0的四位自然数 ，若满足 ，则称这
个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵ ，∴1278是“友谊数”．若 是一个
“友谊数”，且 ，则这个数为________；若 是一个“友谊数”，设
，且 是整数，则满足条件的 的最大值是________．
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8. （2024四川乐山）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于 1的点叫做这个函数图象的
“近轴点”．例如，点 是函数 图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）；
① ；② ；③ ．
（2）若一次函数 图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为______．
三、解答题
1.（ 2024北京市）在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于 的弦 和不在直线 上的
点 ，给出如下定义：若点 关于直线 的对称点 在 上或其内部，且 ，则称点
是弦 的“ 可及点”．
（1）如图，点 ， ．
①在点 ， ， 中，点___________是弦 的“ 可及点”，其中
____________ ；
②若点 是弦 的“ 可及点”，则点 的横坐标的最大值为__________；
（2）已知 是直线 上一点，且存在 的弦 ，使得点 是弦 的“ 可及
点”．记点 的横坐标为 ，直接写出 的取值范围．
2.（ 2024深圳）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的
对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边
形”．
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（1）如图1所示，四边形 为“垂中平行四边形”， ， ，则 ________；
________；
（2）如图2，若四边形 为“垂中平行四边形”，且 ，猜想 与 的关系，并说明理
由；
（3）①如图3所示，在 中， ， ， 交 于点 ，请画出以
为边的垂中平行四边形，要求：点 在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若 关于直线 对称得到 ，连接 ，作射线 交①中所画平行四边形的边于点
，连接 ，请直接写出 的值．
3.（ 2024内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，对于点 ，给出如下定义：当点 ，满足
时，称点 是点 的等和点．
（1）已知点 ，在 ， ， 中，是点 等和点的有_____；
（2）若点 的等和点 在直线 上，求 的值；
（3）已知，双曲线 和直线 ，满足 的 取值范围是 或 ．若点
在双曲线 上，点 的等和点 在直线 上，求点 的坐标．
4. （2024山东威海）定义
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我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离
．特别的，当 时，表示数a的点与原点的距离等于 ．当 时，表示数a
的点与原点的距离等于 ．
应用
如图，在数轴上，动点A从表示 的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点
B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．
5.（ 2024四川乐山）在平面直角坐标系 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛
物线 （a为常数且 ）与y轴交于点A．
（1）若 ，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段 （含端点）上 的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线 交于M、N两点，线段 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完
美点”，求a的取值范围．
6
