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专题 04 二次根式
考点 01 有意义
1．（2025·北京·中考真题）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式 有意义，则实数 的取值范围是
．
3．（2025·四川凉山·中考真题）若式子 在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
5．（2024·上海·中考真题）已知 ，则 ．
6．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式 有意义的整数 有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
7．（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使 在实数的范围内没有意义的x值是
．
8．（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ．该运算法则成立的条件
是（ ）
A． B． C． D．
考点 02 二次根式的相关运算
1．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
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C． D．
2．（2025·四川凉山·中考真题）若 ，则 的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
3．（2025·湖南·中考真题）化简 ．
4．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算： ．
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数 在数轴上的对应位置如图所示，则 的
化简结果是（ ）
A．2 B． C． D．-2
6．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算 所得结果是（ ）
A．3 B． C． D．
7．（2024·青海西宁·中考真题）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有 ， ， ，
， ，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 ．
8．（2025·天津·中考真题）计算 的结果为 ．
9．（2024·江苏南京·中考真题）计算 ．
10．（2024·重庆·中考真题）已知 ，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·湖北恩施·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
12．（2025·吉林长春·中考真题）先化简．再求值： ，其中 ．
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13．（2023·湖南湘西·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
考点 03 二次根式中的规律问题
1．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数 ，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽·中考真题）综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地．
【项目准备】
（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也
没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．
（2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的
边长均为 ．
（3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”．
观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，
长度增加 ，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为 ．
自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增
加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm．
【项目分析】
（1）项目条件：场地为长 、宽 的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元．
（2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用．
（3）方式确定：
（i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；
（ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式
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依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
（iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止．
（4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案．
方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）．
根据规律，令 ，解得 ，所以每行可以先拼 块拼接单元，即共用去 个正六边形
和 个正三角形组件，由 知，所拼长度为 ，剩余 恰好还可以摆放一个正六边
形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用 个正六边形和 个正三角形组件，由
知，方案一每行的成本为 元．
由于每行宽度为 （按 计算），设拼成s行，则 ，解得 ，故需
铺 行．由 知，方案一所需的总成本为 元．
方案二：第一行沿着长度为 的墙自左向右拼接．
类似于方案一的成本计算，令
方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元．
【项目实施】
根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________．
3．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成
点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，
行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数， ， ），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
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方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总
长为________；
方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
4．（2021·青海·中考真题）观察下列各等式：① ；② ；③ …根
据以上规律，请写出第5个等式： ．
5．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知 ， ， ， ， ，
， ， …，依此规律，则点 的坐标为 ．
6．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式： ，第 个单项式是
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式：
， ， ，…
请利用你所发现的规律，计算： ．
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