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上海六年级上册数学压轴题训练
题型一、利用数轴信息化简绝对值
【例1】已知数
，
在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（
）
①
；②
；③
；④
．
A．①②
B．③④
C．②③
D．①④
【例2】有理数a，b，c 在数轴上对应的位置如图所示，化简
的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】有理数a，b，c 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：
的值为（
）
A．c
B．
C．0
D．
【变式1-2】如图，数轴上的三点
，
，
分别表示有理数
，
，，化简
（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】如图，数轴上的
，
，
三点所表示的数分别为
，
，，且原点为
，根据图中各点位置，则下
列选项不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
题型二、非负性化简绝对值
【例3】若a、b 为整数，且
，则
的值有（
）种可能的结果．
A．1
B．2
C．3
D．4
【例4】若
，
，且
，则
（
）
A．3
B．7
C．
D．3 或7
【变式2-1】对于任意有理数
，下列式子中取值不可能为0 的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】如果
，那么
的值为_____．
【变式2-3】若点
在数轴上对应的数分别为
满足
．求
的值分别是
多少？
题型三、求解绝对值方程
【例5】方程
的解是（
）
A．
B．负整数
C．负数
D．非正数
【例6】已知
，求
的值．
【变式3-1】若
，那么x 的值为（
）
A．
B．7
C．
或6
D．
或7
【变式3-2】若
，则
_________．
【变式3-3】若关于x 的方程
有三个整数解，则
的值是（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
题型四、分类讨论化简绝对值
【例7】已知
，
，若
，则x 的最大值与最小值的乘积为（
）
A．
B．
C．6
D．24
【例8】若
，则
的值是（
）
A．
B．1
C．1 或
D．
或3
【变式4-1】如果a、b、c 是非零实数，且
，那么
的值为_____．
【变式4-2】已知
，那么
______．
【变式4-3】规定：
，
，例如
，
，则式子
的最小值是_____．
题型五、借助绝对值几何意义求值化简
【例9】数轴上表示数
的点与原点的距离叫做数
的绝对值，记作
，数轴上表示数
的点与表示数
的点距离记
作
：
(1)数轴上表示
和3 的两点
和
之间的距离是______；如果
，那么
为______；
(2)当
满足条件______时，
取最小值，最小值是______；
(3)当
满足条件______时，
取最小值，最小值是______；
(4)
的最小值是______；
(5)
的最小值是______．
【例10】材料一：我们知道，在数轴上，
表示数a 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地来说，
数轴上两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，那么A、B 两点之间的距离为：
．
材料二：若对于有理数x，a，b 满足
，则我们称x 是关于a，b 的“整十数”．例如：
，
∴5 是关于2 和
的“整十数”．
(1)若
，则
_________．
(2)若m 是关于2，6 的“整十数”，则
_________；
(3)数轴上有两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，且它们在5 的同侧，当5 是关于a，b 的“整十数”时，求
的值．
【变式5-1】若点
在数轴上分别表示有理数
，则
两点之间的距离表示为
（1）若
，这样的数x 为_______；
（2）结合数轴探究：存在x 的值，使式子
有最大值，这个最大值是_______．
【变式5-2】如图，已知数轴上有A，B 两个点，分别表示有理数－6，4．若x 表示一个有理数．
(1)数轴上点A 到点B 的距离为______；数轴上到点A、B 的距离相等的点表示的有理数为______；
(2)若
，则
______；
(3)式子
的最小值为______，此时x 的取值范围是______；
(4)式子
有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由．
【变式5-3】在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运
算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决．
(1)当式子
取最小值时，相应的x 的取值范围是______，最小值是______．
(2)当式子
取最小值时，相应的x 的取值范围是______，最小值是______．
【数轴动点相关计算问题】题型概述
题型一、数轴上单动点分类讨论问题
【例1】数轴上点
对应的数为6，点
是数轴上一点，且
，动点
从原点出发，以每秒1 个单位
的速度沿数轴正方向匀速运动，当
运动至
中点时，运动时间为__________s．
【例2】如图，数轴上两点
、
对应的数分别是
、
，其中
、
满足
，
(1)求
、
的值，并在数轴上标出
、
两点；
(2)数轴上有一动点
，当
时，请直接写出点
对应的数
的值．
【变式1-1】如图，点A，O，B 在数轴上表示的数分别为
，0，10，点C 是数轴上一动点，其表示的数为x．
(1)若点C 到A、B 两点的距离相等，点C 表示的数为_______，点C 在数轴______（填“正”或“负”）半轴；
(2)数轴上是否存在点C，使得点C 到点A 的距离恰好是点A 到点B 距离的
？若存在，求出x 的值，若不存在，
说明理由．
【变式1-2】如图，在数轴上，点A 表示的数是10，点B 表示的数为50，点P 是数轴上的动点．点P 沿数轴的负
方向运动，在运动过程中，当点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离比是
时，点P 表示的数是______．
【变式1-3】已知在数轴上有
两点，点
表示的数为
，点
表示的数为
，动点
从点
出发，以每秒个
单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒（
）．
(1)当
时，求线段
的长度；
(2)若点
是线段
的中点，在点
运动的过程中，是否存在某一时刻，使得
？若存在，求出的值；若不
存在，请说明理由．
题型二、数轴上单动点规律探究问题
【例3】如图，一个动点从原点
开始向左运动，每秒运动1 个单位长度，并且规定：每向左运动3 秒就向右运动
2 秒，之后再向左运动3 秒，向右移动2 秒，…，则该动点运动到第2025 秒时所对应的数是_____．
【例4】如图，一动点的初始位置位于数轴上的原点，现对该动点做如下移动：第1 次从原点向右移动1 个单位长
度至
点，第2 次从
点向左移动3 个单位长度至
点，第3 次从
点向右移动6 个单位长度至
点，第4 次从
点向左移动9 个单位长度至
点，
依此类推，移动20 次后该动点在数轴上表示的数为________ ．
【变式2-1】如图所示，数轴被折成
，圆的周长为4 个单位长度，在圆的4 等分点处标上数字0，1，2，3，先
让圆周上数字2 所对应的点与数轴上的数3 所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么
数轴上的数2024 将与圆周上的数字（
）重合．
A．3
B．0
C．1
D．2
【变式2-2】在数轴上，点A 表示的数为
，有一动点P，从点A 出发，在数轴上做有规律的运动：第1 次从点A
出发向右运动1 个单位长度到点
，第2 次从点
向左运动2 个单位长度到点
，第3 次从点
向右运动3 个单
位长度到点
，第4 次从点
向左运动4 个单位长度到点
……按照此规律不断地左右运动，则第2025 次运动到
点
时对应的数为______．
【变式2-3】长方形
在数轴上的位置如图所示，点
对应的数分别为
和
，
．若长方形
绕
着点
顺时针方向在数轴上翻转，翻转第次后，点
所对应的数为；绕点
翻转第
次后点A 对应的数为
；以
此类推继续翻转，则翻转
次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是_______________________．
题型三、数轴动点中的定值求证问题
【例5】已知点A、B、C、D 在数轴上，点A 和点C 表示的数分别为
、1，点B 在点A 的右侧，点D 在点C 的
右侧，且
，
．
(1)直接写出点B 和点D 表示的数分别为：、；
(2)若线段
沿着数轴向右以2 个单位长度/秒的速度运动，同时线段
沿着数轴向左以1 个单位长度/秒的速度运
动，设运动的时间为t（秒），
．
①若点B 和点D 重合，则t 的值为，若点A 和点C 重合，则t 的值为；
②若线段
和线段
重叠部分为
个单位长度，求运动时间t 的值；
③当
时，下面两个式子：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
中有一个式子的值是定值，你认为是定值的式子是
（填写序号），并直接写出这个定值．
【例6】如图：在数轴上点A 表示数a，点B 表示数b，点C 表示数c，c 是最大的负整数，且a、b 满足
．
(1)
______，
______，
______．
(2)若将数轴折叠，使得点A 与点B 重合，则点C 与数______表示的点重合；
(3)点B，C 开始在数轴上运动，点B 与点C 分别以每秒2 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动，假设运动时
间为t 秒，点B 与点C 之间的距离表示为
，则当
时，求时间t 的值；
(4)在（3）的条件下，若点A 以每秒1 个单位长度的速度同时向左运动，点A 与点B 之间的距离表示为
，则
的值是否随着时间t 的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【变式3-1】如图，在数轴上点A 表示a，点B 表示b，点C 表示c，并且
，b 是数轴上最小的正
整数，
(1)由题意可得：
________，
________，
________．
(2)点A、B、C 在数轴上运动，若点A 以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B 和点C 分别以每秒2 个单
位长度和4 个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C 同时运动，运动时间为t 秒．在点A、B、C 同时运
动的过程中，
的值是否随着时间t 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出
的值．
【变式3-2】如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：
，
，且
，满足
，
点
，
分别为
，
中点．
(1)求线段
，
的长；
(2)线段
以每秒个单位长度向右运动，同时线段
以每秒
个单位长度也向右运动．若运动
秒后，
，
求此时线段
的长；
(3)若
，将线段
固定不动，线段
以每秒
个单位长度向左运动，在线段
向左运动的某一个时间段
内，是否存在
的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说
明理由．
【变式3-3】如图1，已知数轴上点A 表示的数为6，点B 在点A 左边，且
．动点P 从点A 出发，以每秒3
个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（
）秒．
(1)数轴上点B 表示的数是
，点P 表示的数是
（用含t 的式子表示）．
(2)动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q 同时出发，则点P 运动多少
秒时与点Q 相距4 个单位长度？并求出此时点P 表示的数．
(3)若点P，Q 以（2）中的速度同时分别从点A，B 向右运动，同时点R 从原点O 以每秒4 个单位长度的速度向右
运动，是否存在常数m，使得
为定值？若存在，请求出m 的值以及这个定值；若不存在，请说明理
由．
题型四、数轴双动点匀速运动问题
【例7】数轴上
三点对应的数为
，动点
从
出发，每秒向右移动
单位，同时动点
从
出发，
每秒向左移动单位．
(1)几秒后
相遇？
(2)相遇时
点对应的数是多少？
【例8】如图所示的数轴上，点O 为原点，点A 表示的数为
，点B 表示的数为b，且
、b 满足
(1)A、B 两点对应的数分别为
＝，b＝；
(2)若将数轴折叠，使点A 与点B 重合，则原点O 与表示数的点重合；
(3)若动点P 从点A 出发沿数轴正方向运动，动点Q 同时从点B 出发也沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒3 个
单位长度，点Q 的速度是每秒1 个单位长度，求运动几秒后，点P 可以追上点Q？
【变式4-1】如图，数轴上A 点表示的数是
，B 点表示的数是，C 点表示的数是
．
(1)若要使A、C 两点所表示的数是一对相反数，则“原点”表示的数是：____．
(2)若此时恰有一只老鼠在B 点，一只小猫在C 点，老鼠发现小猫后立即以每秒一个单位的速度向点A 方向逃跑，
小猫随即以每秒两个单位的速度追击．在小猫未抓住老鼠前，用时间t（秒）的代数式表示老鼠和小猫在移动过程
中分别与点A 之间的距离．
【变式4-2】已知直线上线段
，线段
（点
在点
的左侧，点
在点
的左侧，起始位置时点
与
点
重合），线段
从点
开始以1 个单位
的速度向左运动，同时点
从点
开始以2 个单位
的速度向左运
动，点
是线段
的中点，当
时，线段
运动时间是______ ．
【变式4-3】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2 个单位长度到达点
，再向右移动3 个单位长度到
达点
，然后再向右移动5 个单位长度到达点
．
（1）
两点间的距离
__________；
（2）若点
从点
出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点
从点
、点
从点
分别以每秒
2 个单位长度、每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右移动．设移动时间为秒
，则
__________．
题型五、数轴双动点变速运动问题
【例9】如图，在数轴上原点
表示数0，
点表示数是
，
点表示的数是
，且点
在原点右侧，点
在原点的
左侧，点
到原点距离24 个单位长度．
，
满足式子
．
(1)求m，n 的值；
(2)若动点
从点
出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左运动：同时动点
从点
出发以每秒3 个单位长度
的速度沿着数轴向右运动，求两点运动时间为何值时，线段
的长为14 个单位长度；
(3)若动点
从点
出发沿数轴向左运动，到达原点之前的速度为每秒1 个单位长度，到达原点之后的速度为每秒4
个单位长度；同时动点
从点
出发以每秒3 个单位长度的速度沿着数轴向右运动，求两点运动时间为何值时，、
两点到原点
的距离相等．
【例10】如图，将数轴在原点
与点
处各折一下得到“折线数轴”，点
表示
，点
表示24，点
表示16，
我们称点
与点
在“折线数轴”上相距24 长度单位．动点
从点
出发，以2 单位/秒速度沿“折线数轴”正向运动，
从点
运动到点
期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点
从点
出发，以1 单位/秒速度沿数
轴负向运动，从点
运动到点
期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设它们运动的时间为秒．
(1)直接写出点
与点
在“折线数轴”上相距的长度单位数；
(2)当
两点在点
相遇时，点
所对应的数是多少？
(3)当
两点相距3 个单位长度时，直接写出的值．
【变式5-1】“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良
好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返1 次．将这条
直线看成数轴，起点记为
，折返点记为
，主席台记为
，两位同学分别记为点
，
，若动点
，
从
同
时出发向
点运动，到达
点后折返到
点．已知：数轴上点
、对应的数为
、，且满足
，
点
对应的数为
的相反数等于本身．
(1)直接写出
、
、
的值；
(2)设点
在数轴上对应的数为
，那么当
为多少时能使得
？
(3)已知点
的速度为3 个单位长度/秒，点
的速度为2 个单位长度/秒，当动点
到达点
后，点
开始改变速度，
以
个单位长度/秒继续折返跑，4 秒后，
，
两点相距2 个单位长度，求
的值．
【变式5-2】
，如图1，点
与点
到原点的距离相等，
、
、分别表示
、
、
三点在数
轴上对应的数，如图2，我们将数轴在点
和点
处各弯折一次，使
与
处于水平位置、动点
从点
出发到
点
停止，以每秒2 个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，之后恢复原来的速度，动点
从点
处出发到点
停止，以每秒1 个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，之后恢复
为原来的速度，若
、
同时出发，设运动时间为．
(1)
_____，
_____，
_____；
(2)当
、
两点相遇时，求运动时间的值；
(3)在运动过程中，是否存在，使动点
、
两点在数轴上相距的长度是
、
两点在数轴上相距的长度的
倍，
若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由．
【变式5-3】已知点
、
、
、
在数轴上，它们表示的数分别为
，且
满足
，点
在点
的右侧且到点
的距离12 个单位长度，点
表示的数是14．
(1)
_______，
________，
_______；
(2)动点
从点
出发以4 个单位/秒的速度向右运动，同时点
从点
出发，以
个单位/秒速度向左运动．
①当
点到达
点后停留6 秒后再以原来的速度向左运动，假设运动时间为秒．当
、
两点相距8 个单位时，
求的值；
②我们规定
、
两点之间为“变速区”，规则为动点从点
运动到点
期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原
速，动点从点
运动到点
期间速度变为原来的3 倍，之后也立刻恢复原速，当点
到达
点时停止运动，点
也
随之停止运动，当为何值时，
、
两点的距离是24？
题型六、数轴动点背景下的新定义题型
【例11】设m 为有理数，数轴上点A 表示有理数a，给出以下两个定义：定义
为点A 向右移动m 个单位长
度后得到的点；定义
为数轴上的一点从原点出发向右移动
个单位长度后得到的点．（说明：向右移动负
数个单位长度表示向左移动正数个单位长度．例如，向右移动
个单位长度表示向左移动2 个单位长度）
(1)①若点
表示有理数
，则
表示的有理数是__________；
②若点A，B 分别表示有理数
，
，则
与
之间的距离为_________；
(2)如图，点A，B 分别表示有理数
，2，试说明
与
之间的距离为定值，并求出这一定值．
【例12】【概念理解】定义：在数轴上，我们称数轴上某点
到定点
（点
表示的数为6）的距离为该点的“绝对
坐标”，记作
（其中
是点
表示的数）．如：数轴上有一点
表示的数为8，则
【问题情境】如图，数轴上点
表示的数是
，点
表示的数是6，点
表示的数是16，动点
从点
出发，以
每秒3 个单位长度的速度向点
运动，到达点
后立即以同样的速度向点
运动；动点
从点
出发，以每秒2 个
单位长度的速度向点
运动．
，
两点同时出发，设运动的时间为秒，当点
到点
时停止运动，点
也随之
停止．
【初步探究】（1）根据定义，
_____，
_____．
【深入思考】（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使得
？若存在，求出的值；若不存在，请说
明理由．
【综合探究】
（3）我们发现，在
，两点运动的过程中的某个阶段，
的值是个定值，则定值为_____．
【变式6-1】【定义新知】
数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2 倍的数量关系，则称该点是其它两
个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C 所表示的数依次为1，3，4，此时点
是点A，C 的“关联点”．
【尝试应用】
（1）若数轴上点
表示的数为
，点
表示的数为1，点
表示的数为4，请判断点
是否为
，
的“关联点”，
并说明理由．
【拓展探索】
（2）已知数轴上点
表示的数为
，点
表示的数为2，P 为数轴上一个动点：
①若点
在点
的左侧，且点
是点A，B 的“关联点”，求此时点
所表示的数；
②若点
在点
的右侧，点P，A，B 中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点
所表示的数．
【变式6-2】阅读理解，完成下则各题
定义：已知
为数轴上任意三点，若点
到点
的距离是它到点
的距离的倍，则称点
是
的倍
点．例如：如图，点
是
的倍点，点
不是
的倍点，但点
是
的倍点，根据这个定义解决
下面问题：
(1)在图中，点
______
的倍点（填写“是”或“不是”）；
的倍点是点______（填写
或
或
或
）；
(2)如图
，
为数轴上两点，点
表示的数是
，点
表示的数是，若点
是
的倍点，则点
表
示的数是______；
(3)若
为数轴上两点，点
在点
的左侧，
，一动点
从点
出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴
向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点
恰好是
和
两点的倍点？（用含
的代数式表示）．
【变式6-3】如图，在数轴上，点
和点
表示的数分别为
和2，点
为数轴上一点，定义点
关于AB 的特征值
为
．
(1)当点
表示的数为3 时，
__________；
(2)若
，求点
表示的数；
(3)M、N 为数轴上两个动点，点
表示的数为
，点
表示的数为
．点
为线段
上一点，当点
在线段
上运动时，
的最大值记为
．直接写出运动过程中
的最小值以及此时
的值．
