专题01 有理数概念及其应用
（题型突破·举一反三）
▌题型01 具有相反意义的量
【典例1】
【答案】B
【分析】本题根据负数的定义，即小于0 的数是负数，逐个判断给出的数，统计负数的个数即可得到答案．
【详解】解：根据负数的定义：小于0 的数是负数.−3 < 0 是负数，0既不是正数也不是负数，−2.5 < 0 是
负数，
1
2 > 0 是正数，2 > 0 是正数．
∴ 负数共有2个．
因此答案选B．
【变式1-1】
【答案】B
【分析】本题考查负数的定义，小于0 的数是负数，据此求解即可．
【详解】解：在+6，−21，54，0，
22
7 ，−3.14，0.001，−999中，
负数为−21，−3.14，−999，共3 个．
故选：B．
【变式1-2】
【答案】
4
3
【分析】根据正负数的定义解答即可．
【详解】解：正数有：80%、0.7、+3.2、1，共4 个，
负数有：−4、−13.5、−
1
6，共3 个．
【变式1-3】
【答案】②③/③②
【分析】本题考查了正负数的意义，解决本题的关键是掌握正负数的相关概念．根据正负数的意义逐一判断
即可．
【详解】解：①0 既不是正数也不是负数，因此0 不是最小的正数，故①错误；
②任意一个正数，前面加一个“−”号，表示它的相反数，是负数，故②正确；
③大于0 的数是正数，这是正数的定义，故③正确；
④字母a 可以表示正数或负数，但不能同时既是正数又是负数，故④错误．
∴正确的说法有②③．
故答案为：②③．
▌题型02 正负数的实际意义
【典例1】
【答案】B
【分析】先根据(310 ± 5)克的质量标准算出合格质量的取值范围，再判断各选项是否符合．
【详解】解：合格质量最大值为310 + 5 = 315（克），
最小值为310−5 = 305（克），
即合格范围为305克≤净重≤315克．
A 选项301 < 305，C 选项318 > 315，D 选项320 > 315，均不符合标准；
B 选项305 < 309 < 315，符合标准．
【变式1-1】
【答案】
235
245
【详解】解：根据正负数的意义可得，240g ± 5g表示合格质量的最小值为240−5 = 235(g)，合格质量的最
大值为240 + 5 = 245(g)，因此这袋食用糖的质量合格范围是235g至245g．
【变式1-2】
【答案】−173
【分析】对照表格，从左到右，找到每个算筹对应的数，再注意个位数上的斜放的算筹即可．
【详解】
解：由“
”对照表格可得，从左到右，依次对应的数为1、7、3，
又∵个位数上斜放了一筹，表示负数，
∴“
”表示的数是−173．
【变式1-3】
【答案】
+23厘米
水位下降19厘米
【分析】正负数主要用来表示具有相反意义的两种量，如果规定其中一个为正，那么相反的量就用负数表示．
【详解】解：由题意可知，一个水库，如果水位下降5厘米记作−5厘米，
那么，+23厘米表示水位上升23厘米；
−19厘米表示水位下降19厘米．
▌题型03 有理数的定义
【典例1】
【答案】C
【分析】根据有理数的定义逐个判断六个数即可得到结果．
【详解】解：∵整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数，
逐个判断得：
−
22
7 是分数，是有理数；
𝜋是无限不循环小数，不是有理数；
0是整数，是有理数；
0.33是有限小数，是有理数；
45% = 0.45是有限小数，是有理数；
1.
⋅
6是无限循环小数，是有理数.
故有理数共5 个，故选C．
【变式1-1】
【答案】D
【详解】解：−4是整数，是有理数；
22
7 是分数，是有理数；
0是整数，是有理数；
𝜋
2中𝜋是无限不循环小数，因此
𝜋
2是无理数；
3.14159是有限小数，是有理数；
6% = 0.06，是有限小数，是有理数；
0.1010010001…（每相邻两个1 之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数。
综上，有理数共有5个．
【变式1-2】
【答案】B
【分析】根据整数、有理数、非负数的定义逐一判断各说法正误，统计正确结论个数即可．
【详解】解：①整数包含负整数、0、正整数，所有负整数都小于0，原说法错误；
②有理数分为正有理数、0、负有理数，原说法错误；
③非负数就是正数和0，原说法错误；
④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，正确．
综上，正确的结论共有1 个．
【变式1-3】
【答案】C
【详解】解：在π，−3，0.5，−
22
7 ，这几个数中，
有理数为：−3，0.5，−22
7 ，共有3 个．
▌题型04 有理数的分类
【典例1】
【答案】
见解析
【分析】根据整数，正分数，非负整数，有理数的定义进行分类，需注意
𝜋
2是无限不循环小数，不属于有理
数，解题时先化简各待分类的数，再根据定义分类．
【详解】解：先化简各数，可得 −|5| = −5，−(−7) = 7，80% =
4
5，
因此按定义分类如下：
负整数集合{−18，−|5|……}，
整数集合{−18，0，2024，−|5|，−(−7)……}，
正分数集合{3.14，80%……}，
非负整数集合{0，2024，−(−7)……}，
有理数集合{−18，3.14，0，2024，−
3
5，80%，−|5|，−(−7)……}．
【变式1-1】
【答案】
{25%,
1
9,3.14,
45
15,2017}
{−17,−4.7,−
4
3,−19}
{25%,−4.7,
1
9,3.14,−
4
3}
{−17,25%,−4.7,
1
9,3.14,0,−
4
3,
45
15,2017,−19}
【分析】根据正数、负数、分数、有理数的定义，对给出的数逐一分类即可.
【详解】解：大于0的数是正数，∴正数集为{25%,
1
9,3.14,
45
15,2017}；
小于0的数是负数，∴负数集为{−17,−4.7,−
4
3,−19}；
分数包括正分数和负分数，有限小数、无限循环小数和百分数都属于分数，∴分数集为{25%,−4.7,
1
9,3.14,−
4
3
}；
整数和分数统称为有理数，本题给出的所有数都为有理数，∴有理数集为{−17,25%,−4.7,
1
9,3.14,0,−
4
3,
45
15
,2017,−19}.
【变式1-2】
【答案】(1)①，④，⑦，⑨
(2)②，③，⑥
(3)①，③，⑤
【分析】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可．
【详解】（1）解：π 是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0 的有理数，
因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝.
（2）解：负有理数是小于0 的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝；
（3）解：整数包括正整数，0 和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝．
【变式1-3】
【答案】
数
正数
正整数
正分数
负数
负整数
负分数
有理数
66
√
√
√
4
3
√
√
√
−4.9
√
√
√
0
√
−12
√
√
√
▌题型05 有理数的大小比较
【典例1】
【答案】<
【分析】根据两个负数比较大小的规则，先计算两个数的绝对值，通分比较绝对值大小后即可得到原数的大
小关系．
【详解】解：∵|−
5
6| =
5
6 =
25
30，|−
4
5| =
4
5 =
24
30，
∴
25
30 >
24
30，即|−
5
6| > |−
4
5|，
∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∴−
5
6 < −
4
5．
【变式1-1】
【答案】
<
<
【分析】根据有理数大小比较法则，正数大于0，负数小于正数，据此比较即可．
【详解】解：比较0和0.01，
∵0.01是正有理数，正有理数都大于0，
∴0 < 0.01；
∵−
2
3是负有理数，
3
4是正有理数，负有理数小于一切正有理数，
∴−
2
3 <
3
4．
【变式1-2】
【答案】
14.2%
【分析】先将分数百分数统一转化为小数，再根据小数大小比较方法判断最小的数．
【详解】解：将三个数均化为小数：
1
7 = 1 ÷ 7 ≈0.14286，14.2% = 14.2 ÷ 100 = 0.142，0.14
˙
2 = 0.142222⋯⋯，
比较大小可得：14.2% < 0.14
˙
2 <
1
7，
因此最小的数是14.2%．
【变式1-3】
【答案】
<
>
【分析】（1）根据负数小于0的性质直接判断；
（2）先求两个负数的绝对值并通分比较大小，再根据绝对值大的负数反而小判断．
【详解】解：（1）∵负数都小于0，
∴−
2
5 < 0；
（2）∵|−
3
4| =
3
4，|−
4
5| =
4
5，
3
4 <
4
5，
∴−
3
4 > −
4
5．
▌题型06 有理数大小比较的实际应用
【典例1】
【答案】D
【分析】根据表格数据逐一判断各选项正误即可．
【详解】解：表格中步数单位为千步，淇淇单日最多步数是10.2千步，不是10.2步，
故A 错误；
逐天对比两人步数：6.1：3 < 8.1，6.2：4 < 8，6.3：5 < 7.5，6.4：5.1 < 6.4，6.5：5.5 > 4.5，6.6：
6.8 > 4.6，6.7：7.7 > 7.5，6.8：8 < 9，6.9：9.2 = 9.2，6.10：11 > 10.2，可得淇淇步数高于嘉嘉共5天，
不是7天，
故B 错误；
前10 天的统计结果无法确定6 月11 日两人的步数，
故C 错误；
由于6 月5 日嘉嘉步数为5.5千步，淇淇步数为4.5千步，4.5 < 5.5，
则淇淇的步数低于嘉嘉，
故D 正确．
【变式1-1】
【答案】D
【分析】由图可得，汽车的高度不能超过3.4m，逐项分析即可得出结果．
【详解】解：由图可得，汽车的高度不能超过3.4m，
A、汽车高度为2m，2 < 3.4，可以通过该路段，不符合题意；
B、汽车高度为2.5m，2.5 < 3.4，可以通过该路段，不符合题意；
C、汽车高度为3m，3 < 3.4，可以通过该路段，不符合题意；
D、汽车高度为3.5m，3.5 > 3.4，不可以通过该路段，符合题意．
【变式1-2】
【答案】B
【分析】根据标签得到合格温度的范围，判断各选项温度是否落在范围内即可．
【详解】解：据表可知，该药品的合格贮藏温度满足−5 ≤𝑡≤5，
A选项：−6 < −5，不满足范围，不符合要求；
B选项：−5 < −2 < 5，满足范围，符合要求；
C选项：5.5 > 5，不满足范围，不符合要求；
D选项：10 > 5，不满足范围，不符合要求．
【变式1-3】
【答案】C
【详解】解：由|–2| = 2，|−4| = 4，|1| = 1，|3| = 3，
∵1 < 2 < 3 < 4，
∴选项C符合题意．
▌题型07 相反数定义与应用
【典例1】
【答案】C
【分析】本题主要考查了相反数的定义，一元一次方程的应用，根据相反数的定义，两个式子的和为零，列
方程求解即可．
【详解】解：∵8𝑥−9与6−2𝑥互为相反数，
∴(8𝑥−9) + (6−2𝑥) = 0，
化简得6𝑥−3 = 0，
∴6𝑥= 3，
∴𝑥=
1
2，
故选：C．
【变式1-1】
【答案】−2
【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义．
根据相反数的定义，两个代数式的值互为相反数时，它们的和为零，由此列出方程并求解即可．
【详解】解：∵代数式5𝑥−7与代数式2𝑥+ 21的值互为相反数，
∴(5𝑥−7) + (2𝑥+ 21) = 0，
解得𝑥= −2．
故答案为：−2．
【变式1-2】
【答案】B
【分析】先根据去括号法则化简每组中的两个数，再根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，
逐一判断，统计符合条件的对数即可．
【详解】解：（1）−1与+1只有符号不同，互为相反数；
（2）+( + 1) = 1，∴1与−1互为相反数，即：+( + 1)与−1互为相反数；
（3）∵−(−3) = 3，+(−3) = −3，∴3与−3互为相反数，即：−(−3)与+ (−3)互为相反数；
（4）∵−−
1
3 =
1
3，+
+
1
3 =
1
3，两数相等，即：−(−
1
3)与+( +
1
3)不是互为相反数；
（5）∵+ −( +1) = −1，−+(−1) = 1，∴−1与1互为相反数，即：+ −( +1) 与−+(−1) 互为相反数；
（6）∵−( + 2) = −2，−(−2) = 2，∴−2与2互为相反数，即：−( + 2)与−(−2)互为相反数；
综上，共有5对互为相反数．
【变式1-3】
【答案】(1)16
(2)𝑎= −2
【分析】解题思路是根据 “友好数” 的定义，列出对应的等式，再通过解方程求出未知的 “友好数” 或字母
的值．本题考查有理数的加法与相反数的概念，涉及的知识点是新定义运算、一元一次方程的求解．解题中
用到的方法是定义转化法，将 “友好数” 的定义转化为等式，再解方程．解题关键是准确理解 “友好数” 的
定义，正确列出等式．易错点是处理相反数时符号错误，或解方程时移项符号出错．
【详解】（1）解：∵16 + (−6) = 10
∴−6的“友好数”为16．
（2）∵2 + 8 = 10
∴𝑎的相反数是2
∴𝑎= −2．
