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专题02 含有理数运算的数轴与绝对值问题
常考题型·精准突破
题型1 利用数轴判断式子的正误（重）
题型2 用数轴上的点表示有理数（高频）
题型3 数轴上的动点问题（高频）
题型4 数轴上的新定义型问题（难）
题型5 绝对值的非负性（高频）
题型6 利用数轴化简绝对值（高频）
题型7 分类讨论化简绝对值（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 利用数轴判断式子的正误
1．（2026·福建·中考真题）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
0
a
b
+
>
B．
0
a
b
-
<
C．
0
ab >
D．
0
a
b <
2．（25-26 七年级上·山东德州·期中）有理数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则（ ）
A．
0
a
b
-
<
B．
0
a
b
+
>
C．
0
a <
D．
0
b >
3．（25-26 七年级上·广东东莞·期中）有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有
（ ）
①
0
a
b
-
>
；②b
a
>
；③
0
ab <
；④
1
>
a
b
．
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
◆题型2 用数轴上的点表示有理数
4．（25-26 七年级上·河南开封·期中）在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列．
3
2 ，
2025
1
-
，
1
2
- -
，
2
2
-
，1
2.5
- -
．
5．（25-26 七年级上·广东深圳·阶段检测）已知一组数：3.5
-
，0，
5
- ，
21
-
，
4
- -
．
(1)把这些数在数轴上表示出来；
(2)请将这些数按顺序排列（用“ >”连接）．
6．（25-26 七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上点A 表示的数是4
- ，点B 表示的数是3．
(1)在图中所示的数轴上标出原点O；
(2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“<”连接起来．
1
+ ，
3
- - ，
2
- +
，
2
2
-
，
1
2
-
．
则
2
1
3
2
1
2
2
- -
< - +
< -
< + < -
．
◆题型3 数轴上的动点问题
7．（25-26 七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A 表示的有理数为5
- ，点B 表示的有理数为9，点P
从点B 出发，以每秒4 个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P 到达点A 后立即返回，再以每秒2 个
单位长度的速度向右运动，回到点B 后停止运动．设点P 运动的时间为
t s ．
(1)当点P 返回到点B 时，求t 的值；
(2)当
6
t =
时，求点P 表示的数；
(3)当点P 表示的数是3
- 时，求t 的值．
8．（25-26 七年级上·吉林四平·期中）阅读下面的材料：
在数轴上A 点表示的数为,a B 点表示的数为b ，则点A 到点B 的距离记为AB ．线段AB 的长可以用右边的
数减去左边的数表示，即AB
b
a
=
-
．请用这个知识解答下面的问题．
如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm 到达A 点，再向左移动3cm 到达B 点，然后向右移动9cm
到达C 点，用1 个单位长度表示1cm ．
(1)点A 表示的数为______，点B 表示的数为______，点C 表示的数为_______；
(2)若将点A 向右移动cm
x
，则移动后的点A 表示的数为_____（用含x 的代数式表示）；
(3)若数轴上有一点D ，且
5
AD =
，求点D 表示的数；
(4)若点B 以每秒2cm 的速度沿数轴向左运动，同时A 、C 两点分别以每秒1cm 、4cm 的速度沿数轴向右运
动．设运动时间为t 秒，试探索：AC
AB
-
的值是否会随着t 的变化而改变？请说明理由．
9．（25-26 七年级上·广东珠海·期中）【阅读理解】
数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要
的规律．数轴上点A 、B 分别表示数a 、b ，则A 、B 两点之间的距离为AB
a
b
=
-
，将数轴沿表示
2
a
b
+
的
点折叠，可使点A 、B 重合，例如：点M 表示的数是2 ，点N 表示的数是6 ，则M 、N 两点之间的距离
2
6
4
MN =
-
=
，将数轴沿表示2
6
2
+
的点折叠，可使点M 、N 重合．
【问题解决】
请你解决以下问题：
数轴上点A 、B 、C 分别表示数a 、b 、c ，在数轴上的位置如图所示，其中a
c
b
<
<
．
（1）若
1
a = - ，
5
b =
，则A ，B 两点之间的距离为_____________；
（2）在（1）的条件下，沿数轴上某点折叠，使点A 、点B 重合，则折痕处对应的点表示的数为_____________；
【拓展探究】
（3）若
2
a = - ，
6
b =
，
1
c = ，在数轴上点A 以每秒x 个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B 以每秒3
个单位长度的速度向右匀速运动，运动t 秒后，点B 表示的数为_____________（用含有t 的代数式表示），
若运动过程中，2
3
BC
AC
-
的值不变，求x 的值．
（4）在数轴上剪下10个单位长度（从2
- 到8 ）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某
处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1:1:3，则折痕处对应的点所表示的数是_____________．
◆题型4 数轴上的新定义型问题
10．（25-26 七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P 相距
b 个单位长度(b 是正数) 的两点所表示的数分别记作m 和(
n 其中
)
m
n
<
，并把m、n 这两个数叫做“点P 关于
b 的对称数组”，记作
,
,
N P b
m n
=
．例如：原点O 表示数0，原点O 关于2 的对称数组是
,2
2,2
N O
= -
．
(1)如果点P 表示数2，那么点P 关于4 的对称数组是______；
(2)如果
,
3,4049
N P b =
，求出点P 表示的数以及b 的值；
(3)如果点P、Q 是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P 在数轴上以每秒3 个单位长度沿着数轴
正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知
,4
,
N P
m n
=
，
,3
,
N Q
p q
=
，
经过t 秒后，是否存在常数k，使得n
kq
-
为定值？若存在，请求出k 的值以及这个定值；若不存在，请说
明理由．
11．（25-26 七年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点A 表示的数是2
- ，点B 表示的数是3，阅读以下材
料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和等于n，则
称点P 为点A、B 的“n 格距点”．例如：在图1 中，点P 表示的数是1
- ，点P 到点A 的距离与点P 到点B
的距离之和为1
4
5
+
=
，则称点P 为点A、B 的“5 格距点”．
(1)若点P 表示的数是0，则n 的值为______；
(2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P 为点A、B 的“5 格距点”，则这样的整点P 有______个；
(3)若点P 为数轴上一点，且点P 到点B 的距离为2，求点P 表示的数及n 的值；
(4)若点P 在数轴上运动，满足点P 到点B 的距离等于点P 到点A 的距离的3 倍，且此时点P 为点A、B 的
“n 格距点”，求点P 表示的数及n 的值．
12．（25-26 七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点A 表示的数为1，点B 表示的数为3．对于数轴上的图
形M ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为线段AB 上任意一点，如果线段PQ 的长度有最小值，
那么称这个最小值为图形M 关于线段AB 的极小距离，记作
1d （M ，线段AB ）；如果线段PQ 的长度有最
大值，那么称这个最大值为图形M 关于线段AB 的极大距离，记作
2
d （M ，线段AB ）．
例如：点K 表示的数为4 ，则
1d （点K ，
AB
线段
）
1
= ，
2
d （点K ，线段AB ）
3
=
．
已知点O 为数轴原点，点C ，D 为数轴上的动点．
(1)
1d （点O ，线段AB ）________，
2
d （点O ，线段AB ）________；
(2)若点C ，D 表示数分别为m ，
2
m +
，
1d （线段CD ，线段AB ）
2
=
．求m 的值；
(3)点C 从原点出发，以每秒2 个单位长度沿x 轴正方向匀速运动；点D 从表示数2
- 的点出发，第1秒以每秒
2 个单位长度沿x 轴正方向匀速运动，第2 秒以每秒4 个单位长度沿x 轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6 个
单位长度沿x 轴正方向匀速运动，第4 秒以每秒8 个单位长度沿x 轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，
C ，D 两点同时出发，设运动的时间为t 秒，若
2
d （线段CD ，线段AB ）
5
=
，求t 的值．
◆题型5 绝对值的非负性
13．（25-26 七年级上·贵州遵义·阶段检测）若
2
2
3
0
a
b
-
+
-
=
，则a
b
-
的值为_________．
14．（25-26 七年级上·福建龙岩·阶段检测）如果
2
2
3
0
x
y
-
+
+
=
，那么
xy 的值为____．
15．（25-26 七年级上·四川内江·阶段检测）若
2
2
3
0
x
y
+
+
-
= ，则
2025
x
y
+
的值为___________．
◆题型6 利用数轴化简绝对值
16．（25-26 七年级上·重庆万州·期中）按下列要求解答：
(1)已知2
3
x
<
<
，化简：3
6
5
15
x
x
-
+
-
；
(2)若a 、b 、c 在数轴上对应位置如图所示，化简：
2
2
a
a
b
c
b
a
c
-
+
+
-
+
-
．
17．在数轴上，a ，b ，c 对应的数如图所示，b
c
=
．
(1)确定符号：a ______0，b ______0，c ______0，b
c
+
______0，a
c
- ______0；（填“ > ”、“<”、“ = ”）
(2)化简：a
c
b
+
-
(3)化简：
2
a
a c
b
c
-
-
+
+
．
18．（25-26 七年级上·四川凉山·期末）已知有理数a，b，c，满足a，b 互为相反数，
0
ac >
，c
a
>
．
(1)若
2
a = - ，
5
c = - ，请画出数轴，并在数轴上表示出有理数a，b，c．
(2)若
0
a <
，用“ >”或“<”填空：c
b
+
______0；a
c
- ______0；a
b
-
______0．
(3)若
0
a <
，化简式子：a
b
c
b
a
c
-
+
+
-
-
．
◆题型7 利用数轴化简绝对值
19．（25-26 七年级上·重庆·阶段检测）已知a，b，c 在数轴上的位置如图，且a
c
<
．
(1) abc _____0，c
a
+
_____0，c
b
- _____0（请用“<”“ >”填空）；
(2)化简：
2
a
b
c
a
b
c
+
-
-
．
(3)化简：
b
a
c
b
c
a
a
b
b
c
c
a
-
-
+
+
-
-
-
+
的值．
20．（25-26 七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）我们知道在化简a 的时候，需要判断a 的正负，当
0
a ³
时，a
a
=
；当
0
a £
时，a
a
= - ．请回答下列问题．
(1)已知, ,
a b c 在数轴上的位置如图所示，则a
a =________，b
b = ________，化简：a
b
b
c
a
c
-
+
+
-
+
=
________．
(2)若
7,
3
a
b
=
=
，且a
b
b
a
-
=
-
，求
2
a
b
-
的值．
(3)若
0,
0
a
b
c
abc
+
+
=
>
，则
b
c
a
c
a
b
a
b
c
+
+
+
+
-
= _______．
21．（25-26 七年级上·广东茂名·期中）我们知道在化简a 的时候，需要判断a 的正负：当
0
a >
时，a
a
=
；
当
0
a <
时，a
a
= - ．
(1)已知a，b，c 三个数在数轴上的对应的点如图所示：
用“>”、“<”或“=”填空，
a
b
-
______0，b
c
+
______0，
+
a
c ______0，
(2)化简：a
b
b
c
a
c
-
+
+
-
+
．
(3)思维扩展：由“当
0
a >
时，a
a
=
；
0
a <
时，a
a
= - ”可以推出：
当
0
a >
时，
1
a
a
a
a
=
= ；当
0
a <
时，
1
a
a
a
a
-
=
= - ．
应用这个结论，解决下列问题：
已知x，y，z 是有理数，
0
x
y
z
+
+
=
，
0
xyz ¹
，化简：x
y
z
x
y
z
+
+
= ______．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．若
1
a - 与
2
b -
互为相反数，则a
b
+
的值为（ ）
A．3
B．3
-
C．0
D．3 或3
-
2．在数轴上，点P 表示的数是5
- ，到点P 距离4 个单位的点表示的数是（ ）
A．9
-
B．9
- 或1
-
C．9
D．1
-
3．实数a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
0
a b
+
<
B．
0
a
b
-
>
C．
0
a b
×
>
D．
0
a
b >
4．已知
0
a
b
c
+
+
=
，则
2
3
a
b
c
a
b
c
+
+
的最大值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
5．如图，已知A ，(
B B 在A 的左侧) 是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且
18
AB =
，动点P 从点A 出发，
以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M ，N 始终为AP ，BP 的中点，设运
动时间为(
0)
t t >
秒，则下列结论中正确的有( )
①B 对应的数是6
- ；
②点P 到达点B 时，
9
t =
；
③
2
BP =
时，
6
t =
；
④在点P 的运动过程中，线段MN 的长度会发生变化．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题
6．当x = 时，
2
2024
x
-
-
+
的值最大．
7．如图，数轴上点A，B 表示的数分别是15
-
，10，C 是线段AB 上的一个动点，以C 为圆心，CA 为半径
画弧交数轴于点D．若
3
BD =
，则点C 表示的数是
．
8．已知有理数a 、b 满足
0
ab ¹
，则a
b
a
b
+
=
．
9．点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b ，对于以下结论：①
0
b
a
-
<
；
②
0
a
b
+
>
；③a
b
>
；④
1
b
a < - ．其中正确的是
（填序号）
10．如图，已知数轴上A，B 两点表示的数分别是4
- ，8．若点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度
向右运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t 秒，当点Q 遇到
点P 时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P 到达点A 时，两点同时停止运动．当t =
秒时，
2
BP
BQ
=
．
三、解答题
11．在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列．
100
2
1
1.5
1
1
2
2
1
2 2
- -
- -
-
- -
．
，
，
，
，
．
12．已知有理数a，b，c 在数轴上对应位置如图所示：
(1)用“ >”，“<”填空：a
b
- _____0 ；a
c
+ ______0 ；b
c
- _____0 ；
(2)化简：a
c
a
b
c
b
c
+
-
-
-
-
-
．
13．根据
0
a ³
这一性质，解答下列问题：
(1)当a = 时，|
4 |
a -
有最小值，此时最小值为 ；
(2)当a 取何值时，|
|1
3
a -
+ 有最小值？这个最小值是多少？
(3)当a 取何值时，4
a
-
有最大值？这个最大值是多少？
14．（25-26 七年级上·河南周口·阶段检测）定义：已知点M ，N ，Q 为数轴上三点，我们规定：点Q 到点M
的距离是点Q 到点N 的距离的K 倍，则称Q 是
,
M N 的“ K 倍点”，记作：
,
Q M N
K
=
．例如：若点Q 表
示的数为0 ，点M 表示的数为2
- ，点N 表示的数为1，则Q 是
,
M N 的“ 2 倍点”，记作：
,
2
Q M N =
．
应用：
如图有一条数轴，A 、B 、P 为数轴上三点，分别对应1
- ，5 ，3
- ．
(1)①P 、B 两点之间的距离是__________；
②求
,
P B A 的值；
(2)若点C 在数轴上且
,
1
C A B = ，求点C 表示的数；
(3)若点D 是数轴上一点，且
,
2
D A B =
，直接写出点D 表示的数．
15．如图，点M
N
、
均在数轴上，点M 所对应的数是3
- ，点N 在点M 的右边，且距M 点4 个单位长度，
点P
Q
、
是数轴上的两个动点．
(1)求出点N 所对应的数；
(2)当点P 到点M
N
、
的距离之和是5 个单位长度时，求出此时点P 所对应的数；
(3)若点P
Q
、
分别从点M
N
、
出发，均沿数轴向左运动，点P 每秒运动2 个单位长度，点Q 每秒运动3个单
位长度．若点P 先出发5 秒后点Q 出发，当P
Q
、
两点相距2 个单位长度时，直接写出此时点P
Q
、
分别对应
的数．
16．在解决问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的思想解决问题的过程，
请仔细阅读并填空，根据要求解决下列问题．
【提出问题】若非零有理数a ，b 同号，求a
a
b
b
+
的值．
【解决问题】解：由a ，b 同号可知，a ，b 有两种可能．
（1）若
0
a >
，
0
b >
，有a
a
=
，b
b
=
，所以a
b
a
b
a
b
a
b
+
=
+
= __________；
（2）若a _____0，
0
b <
，有a
a
= - ，b = _____，所以a
b
a
b
+
= _____
2
= - ．
综上所述，a
a
b
b
+
的值为2 或2
- ．
【拓展探究】若三个有理数a ，b ，c 满足
0
abc >
，求
a
c
b
a
b
c
+
+
的值．
