专题02 含有理数运算的数轴与绝对值问题
常考题型·精准突破
题型1 利用数轴判断式子的正误（重）
题型2 用数轴上的点表示有理数（高频）
题型3 数轴上的动点问题（高频）
题型4 数轴上的新定义型问题（难）
题型5 绝对值的非负性（高频）
题型6 利用数轴化简绝对值（高频）
题型7 分类讨论化简绝对值（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 利用数轴判断式子的正误
1．（2026·福建·中考真题）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
0
a
b
+
>
B．
0
a
b
-
<
C．
0
ab >
D．
0
a
b <
【答案】D
【分析】先利用数轴确定a、b 的取值范围，然后逐项判断即可．
【详解】解：由数轴可得：
1
0
1
b
a
< - <
<
< ，
∴
0
a
b
+
<
，
0
a
b
-
>
，
0
ab <
，
0
a
b <
，
∴选项A、B、C 说法错误；选项D 说法正确．
2．（25-26 七年级上·山东德州·期中）有理数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则（ ）
A．
0
a
b
-
<
B．
0
a
b
+
>
C．
0
a <
D．
0
b >
【答案】B
【分析】根据数轴确定a ，b 的取值范围及绝对值大小，利用有理数加减法法则判断．
【详解】解：由数轴可知1
0
b
- <
<
，
1
a > ，
∴
0
a >
，
0
b <
，且|
| |
|
a
b
>
∴
0
a
b
+
>
，故选项B 正确，
∵
0
a >
，
0
b <
，
∴
0
a
b
-
>
，故选项A 错误，
∵
0
a >
，
0
b <
，故选项C、D 错误．
3．（25-26 七年级上·广东东莞·期中）有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有
（ ）
①
0
a
b
-
>
；②b
a
>
；③
0
ab <
；④
1
>
a
b
．
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】根据数轴上点的位置确定a 、b 的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即
可．
【详解】解：由数轴可知：
0
b
a
<
<
，且b
a
>
，
∴
0
a
b
-
>
，故①正确；
b
a
>
，故②正确；
0
ab <
，故③正确；
0
1
a
b <
< ，故④错误．
综上所述，一定成立的有①②③，共3 个．
◆题型2 用数轴上的点表示有理数
4．（25-26 七年级上·河南开封·期中）在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列．
3
2 ，
2025
1
-
，
1
2
- -
，
2
2
-
，1
2.5
- -
．
【答案】图见解析，
2025
2
3
2
1
2.5
1
1
2
2
-
< - -
< -
<
< - -
【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，有理数的减法，有理数的乘方，掌握有理数的大小比较方法，
有理数的减法运算法则，有理数的乘方运算法则是解题的关键．
先根据有理数的乘方运算法则，有理数的减法法则进行计算，然后再把各数在数轴上表示出来，最后按从
小到大排列即可，
【详解】解：
2025
1
1
-
= - ，
- -
= +
=
1
2
1 2
3 ，
2
4
2
-
= - ，1 2.5
3.5
- -
= -
，
把各数在数轴上表示为：
按从小到大排列为：
2025
2
3
2
1
2.5
1
1
2
2
-
< - -
< -
<
< - -
．
5．（25-26 七年级上·广东深圳·阶段检测）已知一组数：3.5
-
，0，
5
- ，
21
-
，
4
- -
．
(1)把这些数在数轴上表示出来；
(2)请将这些数按顺序排列（用“ >”连接）．
【答案】(1)见解析
(2)
2
5
4
0
1
3.5
-
> - -
>
> -
> -
【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的乘方、化简多重符号，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
（1）先化简绝对值和多重符号、计算有理数的乘方，再将这些数在数轴上表示出来即可；
（2）根据数轴的性质比较有理数的大小即可得．
【详解】（1）解：
5
5
-
=
，
2
1
1
-
= - ，
4
4
- -
=
．
把这些数在数轴上表示出来如下：
．
（2）解：由数轴可知，
2
5
4
0
1
3.5
-
> - -
>
> -
> -
．
6．（25-26 七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上点A 表示的数是4
- ，点B 表示的数是3．
(1)在图中所示的数轴上标出原点O；
(2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“<”连接起来．
1
+ ，
3
- - ，
2
- +
，
2
2
-
，
1
2
-
．
【答案】(1)
如图所示，即为所求；
(2)
3
3
- - = - ，
2
2
- +
= - ，
2
2
4
-
=
，
数轴表示如下所示：
则
2
1
3
2
1
2
2
- -
< - +
< -
< + < -
．
【分析】（1）根据点A、B 表示的数找出原点即可；
（2）先化简，再把各数表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果．
本题考查了有理数大小比较，数轴，相反数，绝对值和乘方，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
【详解】（1）略
（2）略
◆题型3 数轴上的动点问题
7．（25-26 七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A 表示的有理数为5
- ，点B 表示的有理数为9，点P
从点B 出发，以每秒4 个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P 到达点A 后立即返回，再以每秒2 个
单位长度的速度向右运动，回到点B 后停止运动．设点P 运动的时间为
t s ．
(1)当点P 返回到点B 时，求t 的值；
(2)当
6
t =
时，求点P 表示的数；
(3)当点P 表示的数是3
- 时，求t 的值．
【答案】(1)
10.5
t =
(2)0
(3)t 的值为3 或9
2
【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键；
（1）先求出AB 之间的距离，再分别计算点P 到达A 点和返回时用的时间，相加即可；
（2）根据P 到达A 点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答；
（3）分两种情况计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，
9
5
14
AB =
- -
=
，
∵点P 从点B 出发，以每秒4 个单位长度的速度在数轴上向左运动，
∴14
7
4
2
=
（秒），故点P 到达A 点时用的时间为7
2 秒；
∵当点P 到达点A 后立即返回，再以每秒2 个单位长度的速度向右运动，
∴
7
14
10.5
2
2
t =
+
=
，
故当点P 返回到点B 时，
10.5
t =
；
（2）解：∵P 到达A 点时用的时间为14
7
4
2
=
（秒），
当
6
t =
时，
7
6
2.5
2
-
=
，即
2.5
t =
时，点P 从A 点返回；
2.5 2
5
´
=
；
∴当
6
t =
时，点P 表示的有理数是：5
5
0
- +
=
；
（3）解：当点P 第一次到达3
- 时，
9
3
4
3
t
é
ù
=
- -
¸
=
ë
û
，
当点P 运动到点A，然后向右运动到3
- 时，
9
9
5
4
3
5
2
2
t
é
ù
é
ù
=
- -
¸
+ - - -
¸
=
ë
û
ë
û
，
综上所述，t 的值为3 或9
2 ．
8．（25-26 七年级上·吉林四平·期中）阅读下面的材料：
在数轴上A 点表示的数为,a B 点表示的数为b ，则点A 到点B 的距离记为AB ．线段AB 的长可以用右边的
数减去左边的数表示，即AB
b
a
=
-
．请用这个知识解答下面的问题．
如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm 到达A 点，再向左移动3cm 到达B 点，然后向右移动9cm
到达C 点，用1 个单位长度表示1cm ．
(1)点A 表示的数为______，点B 表示的数为______，点C 表示的数为_______；
(2)若将点A 向右移动cm
x
，则移动后的点A 表示的数为_____（用含x 的代数式表示）；
(3)若数轴上有一点D ，且
5
AD =
，求点D 表示的数；
(4)若点B 以每秒2cm 的速度沿数轴向左运动，同时A 、C 两点分别以每秒1cm 、4cm 的速度沿数轴向右运
动．设运动时间为t 秒，试探索：AC
AB
-
的值是否会随着t 的变化而改变？请说明理由．
【答案】(1) 2
- ；5
- ；4
(2) 2
x
- +
(3) 7
- 或3
(4) AC
AB
-
的值不会随着t 的变化而变化，
理由如下：
根据题意得：平移后，
(4
4 )
( 2
)
(6
3 )
AC
t
t
t
=
+
- - +
=
+
cm ，
( 2
)
( 5
2 )
(3
3 )cm
AB
t
t
t
= - +
- - -
=
+
，
\
(6
3 )
(3
3 )
3cm
AC
AB
t
t
-
=
+
-
+
=
，
\ AC
AB
-
的值恒为3，不会随着t 的变化而变化．
【分析】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离以及整式的加减运算，掌握数轴上两点之间的距离求解
方法是解决问题的关键．
（1）根据题意分别表示出距离求出坐标画出图形；
（2）将点A 向右移动cm
x
，则移动后的点表示的数为2
x
- +
；
（3）设D 表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果；
（4）表示出AC 和AB ，再相减即可得出结论．
【详解】（1）解：A：0
2
2
-
= - ，即
2
a = - ，A 表示2
- ，
B：2
3
5
- -
= - ，即
5
b = - ，B 表示5
- ，
C：5
9
4
- +
=
，即
4
c =
，C 表示4，
故答案为：2
- ；5
- ；4；
（2）解：将点A 向右移动cm
x
，则移动后的点表示的数为2
x
- +
；
故答案为：
2
x
- +
；
（3）解：设D 表示的数为d，
Q
5
AD =
，
\
2
5
d
- -
=
，
解得：
7
a = - 或
3
a =
，
\点D 表示的数为7
- 或3；
故答案为：7
- 或3；
（4）略
9．（25-26 七年级上·广东珠海·期中）【阅读理解】
数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要
的规律．数轴上点A 、B 分别表示数a 、b ，则A 、B 两点之间的距离为AB
a
b
=
-
，将数轴沿表示
2
a
b
+
的
点折叠，可使点A 、B 重合，例如：点M 表示的数是2 ，点N 表示的数是6 ，则M 、N 两点之间的距离
2
6
4
MN =
-
=
，将数轴沿表示2
6
2
+
的点折叠，可使点M 、N 重合．
【问题解决】
请你解决以下问题：
数轴上点A 、B 、C 分别表示数a 、b 、c ，在数轴上的位置如图所示，其中a
c
b
<
<
．
（1）若
1
a = - ，
5
b =
，则A ，B 两点之间的距离为_____________；
（2）在（1）的条件下，沿数轴上某点折叠，使点A 、点B 重合，则折痕处对应的点表示的数为_____________；
【拓展探究】
（3）若
2
a = - ，
6
b =
，
1
c = ，在数轴上点A 以每秒x 个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B 以每秒3
个单位长度的速度向右匀速运动，运动t 秒后，点B 表示的数为_____________（用含有t 的代数式表示），
若运动过程中，2
3
BC
AC
-
的值不变，求x 的值．
（4）在数轴上剪下10个单位长度（从2
- 到8 ）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某
处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1:1:3，则折痕处对应的点所表示的数是_____________．
【答案】【问题解决】（1）6；（2）2；
【拓展探究】（3）6
3t
+
；
2
x =
；（4）1 或3 或5
【分析】本题考查了数轴求解两点间距离，数轴表示有理数，解决本题的关键是会应用公式求解数轴上两
点间距离．
【问题解决】
（1）根据两点之间的距离公式求解即可；
（2）根据将数轴沿表示
2
a
b
+
的点折叠，求解即可；
【拓展探究】
（3）求解出点B 的运动路程，再根据
6
b =
求解即可；再根据两点之间的距离公式求解BC 与AC ，根据定
值不变求解即可．
（4）先根据整个线段长为10，再由长度之比为1:1:3，可得对应的线段长为2,2,6，再分类讨论
:
:
1:1:3
AB BC CD =
；
:
:
1:1:3
AB CD BC =
；
:
:
1:1:3
BC CD AB =
三种情况求解即可．
【详解】解：【问题解决】
（1）若
1
a = - ，
5
b =
，则A ，B 两点之间的距离为
5
1
6
- -
=
；
故答案为：6；
（2）沿数轴上某点折叠，使点A 、点B 重合，
则折痕处对应的点表示的数为1 5
2
2
- +
=
；
故答案为：2；
【拓展探究】
（3）∵点B 表示的点为6，
且点B 以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，
∴运动t 秒后，点B 表示的数为6
3t
+
；
∵点A 表示的点为2
- ，点C 表示的点为1，
又∵点A 以每秒x 个单位长度的速度向左匀速运动，
∴运动t 秒后，点A 表示的数为2
xt
- -
，
∴
6
3
1
5
3
5
3
BC
t
t
t
=
+
-
=
+
=
+
，
1
2
3
3
AC
xt
xt
xt
=
- - -
=
+
=
+
，
∴
2
3
2 5
3
3 3
10
6
9
3
1
6
3
BC
AC
t
xt
t
xt
x t
-
=
+
-
+
=
+
- -
= +
-
，
∵运动过程中，2
3
BC
AC
-
的值不变，
∴6
3
0
x
-
=
，解得
2
x =
，
∴在运动过程中，当
2
x =
时，2
3
BC
AC
-
的值不变．
故答案为：6
3t
+
．
（4）∵在数轴上剪下10个单位长度（从2
- 到8 ）的一条线段，
∴
8
2
10
AD =
- -
=
，
当
:
:
1:1:3
AB BC CD =
，
则可知
2,
2,
6
AB
BC
CD
=
=
=
，如图1，
∴点B 对应的点为0，点C 对应的点为2，
∴折痕处对应的点所表示的数为0
2
1
2
+
= ；
当
:
:
1:1:3
AB CD BC =
，
则可知
2,
6,
2
AB
BC
CD
=
=
=
，如图2，
∴点B 对应的点为0，点C 对应的点为6，
∴折痕处对应的点所表示的数为0
6
3
2
+
=
；
当
:
:
1:1:3
BC CD AB =
，
则可知
6,
2,
2
AB
BC
CD
=
=
=
，如图3，
∴点B 对应的点为4，点C 对应的点为6，
∴折痕处对应的点所表示的数为4
6
5
2
+
=
；
综上，折痕处对应的点所表示的数是1 或3 或5．
故答案为：1 或3 或5．
◆题型4 数轴上的新定义型问题
10．（25-26 七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P 相距
b 个单位长度(b 是正数) 的两点所表示的数分别记作m 和(
n 其中
)
m
n
<
，并把m、n 这两个数叫做“点P 关于
b 的对称数组”，记作
,
,
N P b
m n
=
．例如：原点O 表示数0，原点O 关于2 的对称数组是
,2
2,2
N O
= -
．
(1)如果点P 表示数2，那么点P 关于4 的对称数组是______；
(2)如果
,
3,4049
N P b =
，求出点P 表示的数以及b 的值；
(3)如果点P、Q 是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P 在数轴上以每秒3 个单位长度沿着数轴
正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知
,4
,
N P
m n
=
，
,3
,
N Q
p q
=
，
经过t 秒后，是否存在常数k，使得n
kq
-
为定值？若存在，请求出k 的值以及这个定值；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1) 2,6
-
(2)点P 表示的数是2026，b 的值是2023
(3)
3
4
k = -
，定值为25
4
【分析】（1）根据“对称数组”的定义，点P 表示数2，与P 相距4 个单位的两点m、(
)
n m
n
<
可通过
“
2
4
m =
-
，
2
4
n =
+
”计算；
（2）设点P 表示的数为x，根据对称数组的定义，m
x
b
=
-
，n
x
b
=
+
，因此
2
m
n
x
+
=
，
2
n
m
b
-
=
，代入
3
m =
，
4049
n =
即可求解；
（3）先根据点P、Q 的运动速度和时间t，表示出t 秒后P、Q 的位置，再结合“对称数组”的定义求出n 和
q，最后分析n
kq
-
为定值的条件．
【详解】（1）∵点P 表示数2，
∴
2
4
2
m =
-
= - ，
2
4
6
n =
+
=
，
\对称数组是2,6
-
；
（2）∵
,
3,4049
N P b =
，
∴点P 表示的数
3
4049
2026
2
x
+
=
=
，
∴
4049
3
2023
2
b
-
=
=
；
（3）t 秒后，点P 表示的数为3t ，
由
,4
,
N P
m n
=
，得
3
4
n
t
=
+
，
点Q 表示的数为4t
-
，由
,3
,
N Q
p q
=
，
得
4
3
q
t
= -
+
，
假设存在常数k，使得n
kq
-
为定值：
3
4
4
3
3
4
4
3
3
4
4
3
n
kq
t
k
t
t
kt
k
k t
k
-
=
+
-
-
+
=
+
+
-
=
+
+
-
，
要使n
kq
-
为定值，则t 的系数为0，即3
4
0
k
+
=
，
解得
3
4
k = -
，
此时定值为
3
9
25
4
3
4
4
4
4
æ
ö
- ´ -
=
+
=
ç
÷
è
ø
．
11．（25-26 七年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点A 表示的数是2
- ，点B 表示的数是3，阅读以下材
料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和等于n，则
称点P 为点A、B 的“n 格距点”．例如：在图1 中，点P 表示的数是1
- ，点P 到点A 的距离与点P 到点B
的距离之和为1
4
5
+
=
，则称点P 为点A、B 的“5 格距点”．
(1)若点P 表示的数是0，则n 的值为______；
(2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P 为点A、B 的“5 格距点”，则这样的整点P 有______个；
(3)若点P 为数轴上一点，且点P 到点B 的距离为2，求点P 表示的数及n 的值；
(4)若点P 在数轴上运动，满足点P 到点B 的距离等于点P 到点A 的距离的3 倍，且此时点P 为点A、B 的
“n 格距点”，求点P 表示的数及n 的值．
【答案】(1)5
(2)6
(3)①当点P 表示的数为1 时，
5
n =
；②当点P 表示的数为5 时，
9
n =
(4)点P 表示的数为：
3
4
-
，此时
5
n =
；点P 表示的数为：
9
2
-
，此时
10
n =
【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理
解题意，利用数形结合的思想是解题关键．
（1）由题意可求出点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和为5，即可求解；
（2）根据题意可得出，即说明点P 在线段AB 上，从而得出整点P 所表示的数是2
- ，1
- ，0 ，1，2 ，3；
（3）由题意可求出点P 表示的数为1或5 ，进而即可求出n 的值；
（4）分两种情况讨论，当P 在AB 之间时和当P 在点A 的左边时，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵点P 表示的数为0，
∴点P 到点A 距离与点P 到点B 的距离之和为4 1
5
+ =
，
∴点P 为点A、B 的“5 格距点”，
∴
5
n =
，
故答案为：5；
（2）解：∵整点P 为点A、B 的“5 格距点”，
∴
5
PA
PB
+
=
，即P 在线段AB 上，
∴整点P 所表示的数是2
- ，1
- ，0，1，2，3 共6 个，
故答案为：6；
（3）解：∵点P 到点B 的距离为2，
∴点P 表示的数为1 或5，
①当点P 表示的数为1 时，点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和为3
2
5
+
=
，
此时
5
n =
；
②当点P 表示的数为5 时，点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和为2
7
9
+
=
，
此时
9
n =
；
（4）解：①当P 在AB 之间时，
5
AB =
，
点P 表示的数为：
3
3
3
5
4
4
- ´
= -
，
此时
5
n =
；
②当P 在点A 左边时，
5
PA
AB
=
=
，
1
5
2
2
PA
AB
=
=
，
点P 表示的数为：
5
9
2
2
2
- -
= -
，
此时
2.5
7.5
10
n =
+
=
．
综上所述，点P 表示的数为：
3
4
-
，此时
5
n =
；点P 表示的数为：
9
2
-
，此时
10
n =
．
12．（25-26 七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点A 表示的数为1，点B 表示的数为3．对于数轴上的图
形M ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为线段AB 上任意一点，如果线段PQ 的长度有最小值，
那么称这个最小值为图形M 关于线段AB 的极小距离，记作
1d （M ，线段AB ）；如果线段PQ 的长度有最
大值，那么称这个最大值为图形M 关于线段AB 的极大距离，记作
2
d （M ，线段AB ）．
例如：点K 表示的数为4 ，则
1d （点K ，
AB
线段
）
1
= ，
2
d （点K ，线段AB ）
3
=
．
已知点O 为数轴原点，点C ，D 为数轴上的动点．
(1)
1d （点O ，线段AB ）________，
2
d （点O ，线段AB ）________；
(2)若点C ，D 表示数分别为m ，
2
m +
，
1d （线段CD ，线段AB ）
2
=
．求m 的值；
(3)点C 从原点出发，以每秒2 个单位长度沿x 轴正方向匀速运动；点D 从表示数2
- 的点出发，第1秒以每秒
2 个单位长度沿x 轴正方向匀速运动，第2 秒以每秒4 个单位长度沿x 轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6 个
单位长度沿x 轴正方向匀速运动，第4 秒以每秒8 个单位长度沿x 轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，
C ，D 两点同时出发，设运动的时间为t 秒，若
2
d （线段CD ，线段AB ）
5
=
，求t 的值．
【答案】(1)1，3
(2)
3
m = - 或5
(3)
0
t =
或3
2 或7
3 或3秒．
【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关
键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论．
(1)根据定义求值即可；
(2)分线段CD 在线段AB 左侧和右侧两种情况求解；
(3)根据点D 的运动方向和速度分情况讨论．
【详解】（1）解：
1d （点O ，线段AB ）
1 0
1
= -
= ，
2
d （点O ，线段AB ）
3
0
3
=
-
=
，
故答案为：1，3；
（2）解：当线段CD 在线段AB 左侧时，
可得：
1d （线段CD ，线段AB ）
1
2
2
m
= -
+
=
，
解得：
3
m = - ；
当线段CD 在线段AB 右侧时，
可得：
1d （线段CD ，线段AB ）
3
2
m
=
-
=
，
解得：
5
m =
；
综上所述，
3
m = - 或5 ；
（3）解：当
0
t =
时，点C 表示的数为0 ，点D 表示的数为2
- ，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
3
2
5
=
- -
=
；
当0
1
t
< < 时，点C 表示的数为2t ，点D 表示的数为2
2t
- +
，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
3
2
2
5
2
5
t
t
=
- - +
=
-
=
，
解得：
0
t =
(不符合题意)；
当
1
t = 时，点C 表示的数是2 ，点D 表示的数为2
2
0
- +
=
，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
3
0
3
=
-
=
；
当1
2
t
< <
时，点C 表示的数为2t ，点D 表示的数为
0
4
4
1
4
4
t
t
t
-
= -
-
= -
+
，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
3
4
4
5
t
=
- -
+
=
，
解得：
3
2
t =
；
当
2
t =
时，点C 表示的数为4 ，点D 表示的数为
0
4
1
4
t
-
-
= - ，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
3
4
7
=
- -
=
；
当2
3
t
< <
时，点C 表示的数为2t ，点D 表示的数为
4
6
2
6
16
t
t
- +
-
=
-
，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
3
6
16
5
t
=
-
-
=
，
解得：
7
3
t =
；
当
3
t =
时，点C 表示的数为6 ，点D 表示的数为2 ，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
6 1
5
=
- =
；
当
3
t >
时，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
2
1
5
t
=
- >
；
综上所述，若
2
d （线段CD ，线段AB ）
5
=
，则有
0
t =
或3
2 或7
3 或3秒．
◆题型5 绝对值的非负性
13．（25-26 七年级上·贵州遵义·阶段检测）若
2
2
3
0
a
b
-
+
-
=
，则a
b
-
的值为_________．
【答案】
1
-
【分析】本题考查了非负性的性质，解决本题的关键是求解出a 与b 的值．
利用绝对值和平方的非负性，和为零则每个部分为零，求出a 和b 的值运算即可．
【详解】解：∵
2
2
3
0
a
b
-
+
-
=
，
∴
2
0
a -
=
且
2
3
0
b -
=
，
∴
2
0
a -
=
，
3
0
b -
=
，
解得
2
a =
，
3
b =
，
∴
2
3
1
a
b
-
=
-
= - ．
故答案为：1
- ．
14．（25-26 七年级上·福建龙岩·阶段检测）如果
2
2
3
0
x
y
-
+
+
=
，那么
xy 的值为____．
【答案】9
【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及代数式的求值，准确的计算是解决本题的关键．
根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零时，每个部分都为零，从而求出未知数的值，再代入代数式
计算即可．
【详解】解：∵
2
0
x -
³
，
2
3
0
y +
³
，且
2
2
3
0
x
y
-
+
+
=
，
∴
2
0
x -
=
且
2
3
0
y +
=
，
∴
2
0
3
0
x
y
-
=
+
=
，
，
∴
2
x =
，
3
y
-
=
．
则
2
3
9
xy = -
=
．
故答案为：9．
15．（25-26 七年级上·四川内江·阶段检测）若
2
2
3
0
x
y
+
+
-
= ，则
2025
x
y
+
的值为___________．
【答案】1
【分析】本题主要考查了非负数的性质，求代数式的值．根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它
们的和为零，则每项均为零，由此可求出x 和y 的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵
2
2
3
0
x
y
+
+
-
=
且
2
2
0,
3
0
x
y
+
³
-
³
，
∴
2
2
0,
3
0
x
y
+
=
-
=
，
∴
2
0,
3
0
x
y
+
=
-
=
，
解得
2,
3
x
y
= -
=
，
∴
2025
2025
2
3
1
x
y
+
= - +
= ．
故答案为：1．
◆题型6 利用数轴化简绝对值
16．（25-26 七年级上·重庆万州·期中）按下列要求解答：
(1)已知2
3
x
<
<
，化简：3
6
5
15
x
x
-
+
-
；
(2)若a 、b 、c 在数轴上对应位置如图所示，化简：
2
2
a
a
b
c
b
a
c
-
+
+
-
+
-
．
【答案】(1) 2
9
x
-
+
(2)3c
【分析】本题考查了有数轴判断式子的正负，化简绝对值，熟练掌握相关定义为解题关键．
（1）根据题意判断出3
6
0
x -
>
，5
15
0
x -
<
，再化简求值即可；
（2）先根据数轴上字母的位置判断出
0
a
b
c
<
<
<
，再得到
0
a
b
+
<
，
0
c
b
-
>
，
0
a
c
-
<
，从而化简求出结
果即可．
【详解】（1）解：
2
3
x
<
<
Q
，
3
6
0
x
\
-
>
，5
15
0
x -
<
，
3
6
5
15
3
6
5
15
2
9
x
x
x
x
x
\
-
+
-
=
-
-
-
= -
+ ；
（2）解：由数轴可知：
0
a
b
c
<
<
<
，
0
a
b
\ +
<
，
0
c
b
-
>
，
0
a
c
-
<
，
2
2
a
a
b
c
b
a
c
-
+
+
-
+
-
2
2
a
a
b
c
b
a
c
= - +
+
+
-
-
-
2
2
2
2
a
a
b
c
b
a
c
= - +
+
+
-
-
+
3c
=
．
17．在数轴上，a ，b ，c 对应的数如图所示，b
c
=
．
(1)确定符号：a ______0，b ______0，c ______0，b
c
+
______0，a
c
- ______0；（填“ > ”、“<”、“ = ”）
(2)化简：a
c
b
+
-
(3)化简：
2
a
a c
b
c
-
-
+
+
．
【答案】(1)<；<；>；= ；<
(2) a
c
b
- + +
(3)b
c
+
【分析】（1）观察数轴得：
0
a
b
c
<
<
<
，再由b
c
=
，可得
0
b
c
+
=
，
0
a
c
-
<
，即可；
（2）先根据绝对值的性质化简，再合并，即可；
（3）先根据绝对值的性质化简，再合并，即可．
【详解】（1）解：观察数轴得：
0
a
b
c
<
<
<
，
∵b
c
=
，
∴
0
b
c
+
=
，
0
a
c
-
<
，
故答案为：<；<；>；= ；<；
（2）解：a
c
b
+
-
a
c
b
= - + - -
a
c
b
= - + +
；
（3）解：∵
0
b
c
+
=
，
0
c >
，
∴
2
0
b
c
+
>
，
∴
2
a
a c
b
c
-
-
+
+
2
a
c
a
b
c
= - -
-
+
+
2
a
c
a
b
c
= - - +
+
+
b
c
=
+ ．
18．（25-26 七年级上·四川凉山·期末）已知有理数a，b，c，满足a，b 互为相反数，
0
ac >
，c
a
>
．
(1)若
2
a = - ，
5
c = - ，请画出数轴，并在数轴上表示出有理数a，b，c．
(2)若
0
a <
，用“ >”或“<”填空：c
b
+
______0；a
c
- ______0；a
b
-
______0．
(3)若
0
a <
，化简式子：a
b
c
b
a
c
-
+
+
-
-
．
【答案】(1)
如图，有理数a，b，c 在数轴上表示，
(2)＜，＞，＜；
(3) 2a
-
【分析】本题主要考查相反数的概念，数轴上点的大小关系，有理数的加减运算，绝对值的化简，利用已
知条件推导大小关系是解题的关键．
（1）先根据相反数求得b，进而画出数轴表示a，b，c 即可；
（2）根据有理数的加减及正负数判断即可求解；
（3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合（2）结论化简即可．
【详解】（1）解：∵
2
a = - ，
5
c = - ，a，b 互为相反数，
∴
2
b =
；
（2）解：∵a，b 互为相反数，
∴
0
a
b
+
=
，
∵
0
a <
，
∴
0
b >
，
∵
0
ac >
，c
a
>
，
0
a <
，
∴
0
c
a
<
<
，
∴
0
c
b
+
<
，
0
a
c
-
>
，
0
a
b
-
<
，
故答案为：<，>，<；
（3）解：若
0
a <
，由（2）得：
0
c
b
+
<
，
0
a
c
-
>
，
0
a
b
-
<
，
∴
2
a
b
c
b
a
c
a
b
c
b
a
c
a
b
c
b
a
c
a
-
+
+
-
-
= -
-
-
+
-
-
= - +
- -
-
+
= -
，
∴
2
a
b
c
b
a
c
a
-
+
+
-
-
= -
．
◆题型7 利用数轴化简绝对值
19．（25-26 七年级上·重庆·阶段检测）已知a，b，c 在数轴上的位置如图，且a
c
<
．
(1) abc _____0，c
a
+
_____0，c
b
- _____0（请用“<”“ >”填空）；
(2)化简：
2
a
b
c
a
b
c
+
-
-
．
(3)化简：
b
a
c
b
c
a
a
b
b
c
c
a
-
-
+
+
-
-
-
+
的值．
【答案】(1) >；<；<
(2)0
(3)1
【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负以及化简绝对值等知识．
（1）根据数轴可知
0
c
b
a
<
<
<
，b
a
c
<
<
，进而可判断式子的正负．
（2）根据数轴可知
0
c
b
a
<
<
<
，进而可化简绝对值．
（3）根据数轴可知
0
c
b
a
<
<
<
，b
a
c
<
<
，进而可化简绝对值．
【详解】（1）解：从数轴可知：
0
c
b
a
<
<
<
，b
a
c
<
<
，
∴
0
abc >
，
0
c
a
+
<
，
0
c
b
-
<
，
故答案为：>；<；<．
（2）解：∵
0
c
b
a
<
<
<
，
2
2
1 2 1
0
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
c
b
+
-
=
+
-
= -
+
-
-
=
-
（3）解：∵
0
c
b
a
<
<
<
，b
a
c
<
<
∴
0
b
a
-
<
，
0
b
c
-
>
，
0
c
a
+
<
，
b
a
c
b
c
a
a
b
b
c
c
a
-
-
+
+
-
-
-
+
a
b
b
c
c
a
c
b
c
a
a
b
-
+
=
-
+
-
-
- -
-
1
a
c
b
c
b
c
a
c
-
+
-
+
-
=
+
1 1 1
= - +
1
=
20．（25-26 七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）我们知道在化简a 的时候，需要判断a 的正负，当
0
a ³
时，a
a
=
；当
0
a £
时，a
a
= - ．请回答下列问题．
(1)已知, ,
a b c 在数轴上的位置如图所示，则a
a =________，b
b = ________，化简：a
b
b
c
a
c
-
+
+
-
+
=
________．
(2)若
7,
3
a
b
=
=
，且a
b
b
a
-
=
-
，求
2
a
b
-
的值．
(3)若
0,
0
a
b
c
abc
+
+
=
>
，则
b
c
a
c
a
b
a
b
c
+
+
+
+
-
= _______．
【答案】(1)1，1
- ，2
2
-
a
b
(2)46 或52
(3) 1
- 或3
【分析】本题主要考查了绝对值意义，数轴，代数式求值，熟练掌握绝对值意义，是解题的关键．
（1）根据, ,
a b c 在数轴上的位置得出
0
c
b
a
<
<
<
，c
a
b
>
>
，然后化简绝对值即可；
（2）根据
7,
3
a
b
=
=
，得出
7
a = ± ，
3
b = ± ，根据a
b
b
a
-
=
-
得出b
a
>
，即可得出
7
a = - ，
3
b = ± ，然
后代入求值即可；
（3）根据
0
a
b
c
+
+
=
，得出b
c
a
+
= - ，a
c
b
+
= - ，a
b
c
+
= - ，根据
0
abc >
得出a 、b、c 中有2 个负数，
然后分类讨论，求出结果即可．
【详解】（1）解：根据数轴可知：
0
c
b
a
<
<
<
，c
a
b
>
>
，
∴
0
a
b
-
>
，
0
b
c
+
<
，
0
a
c
+
<
，
1
a
a
a
a
=
= ，
1
b
b
b
b
-
=
= - ，
∴a
b
b
c
a
c
-
+
+
-
+
a
b
b
c
a
c
=
-
-
+
+
+
a
b
b
c
a
c
=
-
-
- +
+
2
2
a
b
=
-
；
（2）解：∵
7,
3
a
b
=
=
，
∴
7
a = ± ，
3
b = ± ，
∵a
b
b
a
-
=
-
，
∴b
a
>
，
∴
7
a = - ，
3
b = ± ，
∴当
7
a = - ，
3
b =
时，
2
2
7
3
46
a
b
-
= -
-
=
；
当
7
a = - ，
3
b = - 时，
2
2
7
3
52
a
b
-
= -
- -
=
；
（3）解：∵
0
a
b
c
+
+
=
，
∴b
c
a
+
= - ，a
c
b
+
= - ，a
b
c
+
= - ，
∵
0
abc >
，
∴a 、b、c 中有2 个负数，
当a、b 为负数，c 为正数时：
3
b
c
a
c
a
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
+
-
-
-
+
-
=
+
-
=
-
-
；
当a、c 为负数，b 为正数时：
1
b
c
a
c
a
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
+
-
-
-
+
-
=
+
-
= -
-
-
；
当b、c 为负数，a 为正数时：
1
b
c
a
c
a
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
+
-
-
-
+
-
=
+
-
= -
-
-
；
综上分析可知：
3
b
c
a
c
a
b
a
b
c
+
+
+
+
-
= 或1
- ．
21．（25-26 七年级上·广东茂名·期中）我们知道在化简a 的时候，需要判断a 的正负：当
0
a >
时，a
a
=
；
当
0
a <
时，a
a
= - ．
(1)已知a，b，c 三个数在数轴上的对应的点如图所示：
用“>”、“<”或“=”填空，
a
b
-
______0，b
c
+
______0，
+
a
c ______0，
(2)化简：a
b
b
c
a
c
-
+
+
-
+
．
(3)思维扩展：由“当
0
a >
时，a
a
=
；
0
a <
时，a
a
= - ”可以推出：
当
0
a >
时，
1
a
a
a
a
=
= ；当
0
a <
时，
1
a
a
a
a
-
=
= - ．
应用这个结论，解决下列问题：
已知x，y，z 是有理数，
0
x
y
z
+
+
=
，
0
xyz ¹
，化简：x
y
z
x
y
z
+
+
= ______．
【答案】(1)>，<，<
(2) 2
2
-
a
b
(3) 1
±
【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，数轴与有理数，解题的关键是熟练掌握绝对值的化
简．
（1）根据数轴可得
0
c
b
a
<
<
<
且|
| |
| |
|
<
<
b
a
c ，即可判断所求式子的正负；
（2）根据绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可；
（3）根据
0
x
y
z
+
+
=
，
0
xyz ¹
，可知x ，y ，z 中一正两负或两正一负，据此化简即可．
【详解】（1）解：由数轴知：
0
c
b
a
<
<
<
且|
| |
| |
|
<
<
b
a
c ，
0
a
b
\ -
>
，
0
b
c
+
<
，
0
a
c
+
<
，
故答案为：>，<，<；
（2）解：
0
a
b
-
>
Q
，
0
b
c
+
<
，
0
a
c
+
<
，
|
|
|
|
|
|
a
b
b
c
a
c
\
-
+
+
-
+
a
b
b
c
a
c
=
-
-
- +
+
2
2
a
b
=
-
；
（3）解：
0
x
y
z
+
+
=
Q
，
0
xyz ¹
，
\当x ，y ，z 中一正两负时，
|
|
|
|
|
|
1 1 1
1
x
y
z
x
y
z
+
+
= - - = - ；
当x ，y ，z 中两正一负时，
|
|
|
|
|
|
1 1 1 1
x
y
z
x
y
z
+
+
= + - = ，
综上所述，
1
x
y
z
x
y
z
+
+
= ± ．
故答案为：1
± ．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．若
1
a - 与
2
b -
互为相反数，则a
b
+
的值为（ ）
A．3
B．3
-
C．0
D．3 或3
-
【答案】A
【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等
于0”是解题关键．根据相反数的定义可得
1
2
0
a
b
-
+
-
=
，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数
都等于0”，计算出a 和b 的值，即可得出结果．
【详解】解：∵
1
a - 与
2
b -
互为相反数，
∴
1
2
0
a
b
-
+
-
=
，
1
0
2
0
a
b
\ - =
-
=
，
，
1
2
a
b
\
=
=
，
，
∴
1
2
3
a
b
+
= +
=
，
故选：A．
2．在数轴上，点P 表示的数是5
- ，到点P 距离4 个单位的点表示的数是（ ）
A．9
-
B．9
- 或1
-
C．9
D．1
-
【答案】B
【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况
5
4
- +
或5
4
- -
，即可求解，掌握相关知
识是解题的关键．
【详解】解：∵点P 表示的数是5
- ，
∴到点P 距离4 个单位的点表示的数是：5
4
1
- +
= - 或5
4
9
- -
= - ，
∴到点P 距离4 个单位的点表示的数是1
- 或9
- ，
故选：B．
3．实数a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
0
a b
+
<
B．
0
a
b
-
>
C．
0
a b
×
>
D．
0
a
b >
【答案】B
【分析】此题考查了数轴与绝对值，有理数的运算，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．根据数轴上点
的位置判断
0
b
a
<
<
，且b
a
<
，再进一步分析即可．
【详解】解：由数轴上的点位置得：
0
b
a
<
<
，且b
a
<
，
∴
0
a
b
+
>
，
0
a
b
-
>
，
0
ab <
，
0
a
b <
，
故选：B．
4．已知
0
a
b
c
+
+
=
，则
2
3
a
b
c
a
b
c
+
+
的最大值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【分析】本题考查有理数的运算，根据
0
a
b
c
+
+
=
，得到, ,
a b c 的符号为2 正1 负，或者2 负1 正，根据绝
对值的意义，以及式子的特点得到
0
a <
，
0,
0
b
c
>
>
时，式子的值最大，进行求解即可．
【详解】解：∵
0
a
b
c
+
+
=
，
∴, ,
a b c 的符号为2 正1 负，或者2 负1 正，
∴a
a
，b
b ，c
c 为2 个1，1 个1
- 或1 个1，2 个1
-
∵
2
3
2
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+
最大，
∴
0
a <
，
0,
0
b
c
>
>
，
∴
2
3
a
b
c
a
b
c
+
+
的最大值为1
2
3
4
- +
+
=
；
故选C．
5．如图，已知A ，(
B B 在A 的左侧) 是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且
18
AB =
，动点P 从点A 出发，
以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M ，N 始终为AP ，BP 的中点，设运
动时间为(
0)
t t >
秒，则下列结论中正确的有( )
①B 对应的数是6
- ；
②点P 到达点B 时，
9
t =
；
③
2
BP =
时，
6
t =
；
④在点P 的运动过程中，线段MN 的长度会发生变化．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解．
【详解】解：Q已知A ，
(
B B 在A 的左侧) 是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且
18
AB =
，
B
\
对应的数为：12 18
6
-
= - ；故①是正确的；
18
2
9
¸
=
Q
，故②是正确的；
Q当
2
BP =
时，
16
AP =
，
16
2
8
t =
¸
=
，故③是错误的；
Q在点P 的运动过程中，
9
MN =
，故④是错误的；
故选：B．
二、填空题
6．当x = 时，
2
2024
x
-
-
+
的值最大．
【答案】2
【分析】本题考查了绝对值的意义，根据
2
0
x
-
-
£
，若使
2
2024
x
-
-
+
有最大值，则
2
x -
应为0 即可．
【详解】解：
2
0
x
-
-
£
Q
，
\要使得
2
2024
x
-
-
+
的值最大，则需满足
2
0
x
-
-
=
，即
2
x =
．
故答案为：2 ．
7．如图，数轴上点A，B 表示的数分别是15
-
，10，C 是线段AB 上的一个动点，以C 为圆心，CA 为半径
画弧交数轴于点D．若
3
BD =
，则点C 表示的数是
．
【答案】1
- 或4
-
【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴表示有理数，根据题意得到AB ，以及CD
CA
=
，再结合
3
BD =
分两种情况①当点D 在点B 左侧时，②当点D 在点B 右侧时，讨论求解，即可解题．
【详解】解：Q数轴上点A，B 表示的数分别是15
-
，10，
10
15
25
AB
\
=
- -
=
，
由题可知CD
CA
=
，
Q
3
BD =
，
①当点D 在点B 左侧时，
25
3
22
AD
AB
BD
=
-
=
-
=
，
22
11
2
CA
CD
\
=
=
=
，
15 11
4
-
+
= -
Q
，
则点C 表示的数是4
- ，
②当点D 在点B 右侧时，
25
3
28
AD
AB
BD
=
+
=
+
=
，
28
14
2
CA
CD
\
=
=
=
，
15 14
1
-
+
= -
Q
，
则点C 表示的数是1
- ，
综上所述，点C 表示的数是1
- 或4
- ；
故答案为：1
- 或4
- ．
8．已知有理数a 、b 满足
0
ab ¹
，则a
b
a
b
+
=
．
【答案】2 或2
- 或0
【分析】本题主要考查了有理数的绝对值和有理数的加法运算，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方
法是解题关键．
分a、b 同号与a、b 异号两种情况，根据绝对值的意义和有理数的加法法则解答即可．
【详解】解：∵
0
ab ¹
，
∴
0
a ¹
，
0
b ¹
，
若a、b 同号，
当
0
a >
，
0
b >
时，|
|
|
|
1 1
2
a
b
a
b
+
= + =
；
当
0
a <
，
0
b <
时，
1
1
2
a
b
a
b
+
= - + -
= - ；
若a、b 异号，
当
0
a >
，
0
b <
时，
1
1
0
a
b
a
b
+
= + -
=
；
当
0
a <
，
0
b >
时，|
|
|
|
1 1
0
a
b
a
b
+
= - + = ；
综上分析可知，|
|
|
|
a
b
a
b
+
的值为2，2
- ，0．
故答案为2 或2
- 或0．
9．点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b ，对于以下结论：①
0
b
a
-
<
；
②
0
a
b
+
>
；③a
b
>
；④
1
b
a < - ．其中正确的是
（填序号）
【答案】②④/④②
【分析】本题考查了绝对值的意义，比较两个数大小的方法，有理数的运算．由数轴得，3
0
3
a
b
- <
<
<
<
，
然后绝对值意义，用理数的加法、除法法则判断两数的和、差、商的符号即可．
【详解】解：①由数轴得，3
0
3
a
b
- <
<
<
<
，
∴
0
b
a
-
>
，故①错误，不符合题意；
②由数轴得，3
0
3
a
b
- <
<
<
<
，
∴
0
a
b
+
>
，故②正确，符合题意；
③由数轴得，3
0
3
a
b
- <
<
<
<
，
∴a
b
<
，故③不符合题意；
④由数轴得，3
0
3
a
b
- <
<
<
<
，
∴
1
b
a < - ，故④正确，符合题意．
故答案为：②④．
10．如图，已知数轴上A，B 两点表示的数分别是4
- ，8．若点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度
向右运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t 秒，当点Q 遇到
点P 时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P 到达点A 时，两点同时停止运动．当t =
秒时，
2
BP
BQ
=
．
【答案】3 或5
【分析】本题主要考查了数轴上的动点．熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，是解题的关键．
相遇前点P 表示的数4
2t
- +
，点Q 表示的数8
t
- ，
12
2
BP
t
=
-
，BQ
t
= ，根据
2
BP
BQ
=
，解得
3
t =
；相
遇后，点P 表示的数12
2t
-
，点Q 表示的数t，
2
4
BP
t
=
-
，
8
BQ
t
=
- ，得
5
t =
．
【详解】解：∵A，B 两点表示的数分别是4
- ，8，
∴点P 表示的数为：4
2t
- +
，点Q 表示的数为8
t
- ，
∴
8
4
2
12
2
BP
t
t
=
- - +
=
-
，BQ
t
= ，
∵
2
BP
BQ
=
，
∴12
2
2
t
t
-
=
，
解得
3
t =
；
相遇时间是
12
2 1
4
¸
+
=
，
相遇点表示的数为：8
4
4
-
=
，
相遇后，点P 表示的数为：
4
2
4
12
2
t
t
-
-
=
-
，点Q 表示的数为
4
4
t
t
+
-
= ，
∴
8
12
2
2
4
BP
t
t
=
-
-
=
-
，
8
BQ
t
=
- ，
∴
2
4
2 8
t
t
-
=
-
，
解得
5
t =
．
∴
3
t =
或
5
t =
．
故答案为：3 或5．
三、解答题
11．在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列．
100
2
1
1.5
1
1
2
2
1
2 2
- -
- -
-
- -
．
，
，
，
，
．
【答案】数轴见解析，
100
2
1
2
1 2
1
1.5
1
2
2
-
< -
< - -
<
< - -
【分析】本题考查了相反数和绝对值的性质，用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，注
意，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
先将各数能化简的化简，再在数轴上表示出来，根据数轴上右边的数总大于左边的数，进行排列即可作答．
【详解】1.5，
100
1
1
- -
= - ，
1
2 =3
- -
，
2
4
2
-
= - ，
1
1
1 2
3
2
2
- -
= -
，
在数轴上表示为：
100
2
1
2
1
2
1
1.5
1
2
2
-
< - -
< - -
<
< - -
．
12．已知有理数a，b，c 在数轴上对应位置如图所示：
(1)用“ >”，“<”填空：a
b
- _____0 ；a
c
+ ______0 ；b
c
- _____0 ；
(2)化简：a
c
a
b
c
b
c
+
-
-
-
-
-
．
【答案】(1) >，<，>
(2) 2a
c
-
+
【分析】（1）观察数轴判断a ，b ，c 的正负和绝对值的大小关系，然后再根据有理数的加减法则进行判断
即可；
（2）根据有理数的加减法则判断a
c
+ ，a
b
c
-
- 和b
c
- 的正负，然后根据绝对值的性质进行化简即可．
本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握绝对值的性质．
【详解】（1）解：（1）观察数轴可知：
0
c
b
a
<
<
<
，c
b
a
>
>
，
∴
0
a
b
-
>
，
0
a
c
+
<
，
0
b
c
-
>
，
故答案为：>，<，>；
（2）∵观察数轴可知：
0
c
b
a
<
<
<
，c
b
a
>
>
，
∴
0
a
c
+
<
，
0
a
b
c
-
-
>
，
0
b
c
-
>
，
a
c
a
b
c
b
c
+
-
-
-
-
-
a
c
a
b
c
b
c
= - - -
-
-
-
-
a
c
a
b
c
b
c
= - - -
+
+ -
+
a
a
b
b
c
c
c
= - -
+
-
+ + -
2a
c
= -
+ ．
13．根据
0
a ³
这一性质，解答下列问题：
(1)当a = 时，|
4 |
a -
有最小值，此时最小值为 ；
(2)当a 取何值时，|
|1
3
a -
+ 有最小值？这个最小值是多少？
(3)当a 取何值时，4
a
-
有最大值？这个最大值是多少？
【答案】(1)4，0
(2)
1
a = ，3
(3)
0
a =
，4
【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键．
（1）根据绝对值的性质，可知0 的绝对值最小，为0，则可得
4
0
a -
= 时，|
4 |
a -
有最小值，由此即可求解；
（2）要使|
|1
3
a -
+ 有最小值，则|
1|
a -
要取最小，即
1
0
a - =
，由此即可求解；
（3）要使4
a
-
有最大值，则a 取最小值，结合
0
a ³
即可求解．
【详解】（1）因为|
4 | 0
a -
³
，所以当
4
a =
时，|
4 |
a -
有最小值，这个最小值是0．
故答案为：4，0
（2）因为|
1| 0
a -
³
，所以当
1
a = 时，|
|1
3
a -
+ 有最小值，这个最小值是3．
（3）因为
0
a ³
，所以
0
a
-
£
，所以当
0
a =
时，4
a
-
有最大值，这个最大值是4．
14．（25-26 七年级上·河南周口·阶段检测）定义：已知点M ，N ，Q 为数轴上三点，我们规定：点Q 到点M
的距离是点Q 到点N 的距离的K 倍，则称Q 是
,
M N 的“ K 倍点”，记作：
,
Q M N
K
=
．例如：若点Q 表
示的数为0 ，点M 表示的数为2
- ，点N 表示的数为1，则Q 是
,
M N 的“ 2 倍点”，记作：
,
2
Q M N =
．
应用：
如图有一条数轴，A 、B 、P 为数轴上三点，分别对应1
- ，5 ，3
- ．
(1)①P 、B 两点之间的距离是__________；
②求
,
P B A 的值；
(2)若点C 在数轴上且
,
1
C A B = ，求点C 表示的数；
(3)若点D 是数轴上一点，且
,
2
D A B =
，直接写出点D 表示的数．
【答案】(1)①8；②4；
(2)2
(3)3 或11
【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键．
（1）①根据两点之间的距离即可求解；②根据新定义，求得PA
PB
、
即可求解；
（2）根据新定义得到点C 为AB 的中点，进而求解即可；
（3）根据新定义分两种情况：点D 在线段AB 上和点D 在线段AB 的延长线上，分别求解即可．
【详解】（1）解：①∵A 、B 、P 为数轴上三点，分别对应1
- ，5 ，3
- ．
∴P 、B 两点之间的距离是
5
3
8
PB =
- -
=
，
故答案为：8；
②由数轴知，
1
3
2
PA = - - -
= ，
∴
4
PB
PA
=
，则
,
4
P B A =
；
（2）解：∵点C 在数轴上且
,
1
C A B = ，
∴CA
CB
=
，则点C 为AB 的中点，
∴点C 表示的数为1 5
2
2
- +
=
；
（3）解：因为D 是数轴上一点，且
,
2
D A B =
，所以
2
DA
DB
=
．
因为点A 表示的数为1
- ，点B 表示的数为5，所以
5
1
6
AB =
- -
=
．
当点D 在点A，B 之间时，点D 表示的数为
2
1
6
3
3
- +
´
= ；
当点D 在点B 的右边时，点D 表示的数为1
2 6
11
- + ´
=
．
所以点D 表示的数为3 或11．
15．如图，点M
N
、
均在数轴上，点M 所对应的数是3
- ，点N 在点M 的右边，且距M 点4 个单位长度，
点P
Q
、
是数轴上的两个动点．
(1)求出点N 所对应的数；
(2)当点P 到点M
N
、
的距离之和是5 个单位长度时，求出此时点P 所对应的数；
(3)若点P
Q
、
分别从点M
N
、
出发，均沿数轴向左运动，点P 每秒运动2 个单位长度，点Q 每秒运动3个单
位长度．若点P 先出发5 秒后点Q 出发，当P
Q
、
两点相距2 个单位长度时，直接写出此时点P
Q
、
分别对应
的数．
【答案】(1)1；
(2) 3.5
-
或1.5；
(3)点P 对应的数是37
-
，点Q 对应的数是35
-
或点P 对应的数是45
-
，点Q 对应的数是47
-
．
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2 ）分两种情况：①点P 在点M 的左边，；②点P 在点N 的右边，进行讨论即可求解；
（3）分两种情况：①点P 在点Q 的左边，②点P 在点Q 的右边，进行讨论即可求解；
本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想．
【详解】（1）3
4
1
- +
= ，故点N 所对应的数是1；
（2）
5
4
2
0.5
-
¸
=
，
①点P 在点M 的左边，
3
0.5
3.5
- -
= -
，
②点P 在点N 的右边，
1 0.5
1.5
+
=
，
故点P 所对应的数是3.5
-
或1.5；
（3）①点P 在点Q 的左边，
4
2 5
2
3
2
12 1
12
+ ´ -
¸
-
=
¸ =
（秒），
点P 对应的数是3
5 2 12 2
37
- - ´ -
´
= -
，点Q 对应的数是37
2
35
-
+
= -
；
②点P 在点Q 的右边，
4
2 5
2
3
2
16 1
16
+ ´ +
¸
-
=
¸ =
（秒），
点P 对应的数是3
5 2 16 2
45
- - ´ -
´
= -
，点Q 对应的数是45
2
47
-
-
= -
，
综上可知：点P 对应的数是37
-
，点Q 对应的数是35
-
或点P 对应的数是45
-
，点Q 对应的数是47
-
．
16．在解决问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的思想解决问题的过程，
请仔细阅读并填空，根据要求解决下列问题．
【提出问题】若非零有理数a ，b 同号，求a
a
b
b
+
的值．
【解决问题】解：由a ，b 同号可知，a ，b 有两种可能．
（1）若
0
a >
，
0
b >
，有a
a
=
，b
b
=
，所以a
b
a
b
a
b
a
b
+
=
+
= __________；
（2）若a _____0，
0
b <
，有a
a
= - ，b = _____，所以a
b
a
b
+
= _____
2
= - ．
综上所述，a
a
b
b
+
的值为2 或2
- ．
【拓展探究】若三个有理数a ，b ，c 满足
0
abc >
，求
a
c
b
a
b
c
+
+
的值．
【答案】（1）2；（2）
a
b
b a
b
-
-
< -
+
，，
；3 或1
-
【分析】本题考查了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想
是解题的关键．
解决问题：（1）当a、b 都正数；（2）当a、b 都是负数分别求解即可；
拓展探究：由题意得：a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，分情况讨论：①
当a，b，c 都是正数，即
0
0
0
a
b
c
>
>
>
，
，
时，②当a，b，c 有一个为正数，另两个为负数时，设
0
0
0
a
b
c
>
<
<
，
，
，代入计算即可．
【详解】解：（1）若
0
a >
，
0
b >
，有a
a
=
，b
b
=
，所以
1 1
2
a
a
b
b
b
a
a
b
+
+
=
= + =
，
（2）若
0
a <
，
0
b <
，有a
a
= - ，b
b
= - ，所以
2
a
b
a
b
a
b
a
b
-
-
+
=
+
= - ，
故答案为：（1）2；（2）
a
b
b a
b
-
-
< -
+
，，
；
拓展探究：由
0
abc >
，可得a，b，c 三个有理数都为正数或一正两负，分情况讨论如下：
①当a，b，c 都是正数，即
0
0
0
a
b
c
>
>
>
，
，
时，
则
1 1 1
3
a
c
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+
= + + =
，
②当a，b，c 一正两负时：设
0
0
0
a
b
c
>
<
<
，
，
，
则
1 1 1
1
a
c
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
-
+
+
=
+
+
= - - = -
-
，
a
c
b
a
b
c
\
+
+
的值为3 或1
- ．
