专题02 数轴的综合应用
（题型突破·举一反三）
题型01 数轴上的点与有理数对应
题型02 数轴上点的平移与距离
题型03 利用数轴比较数的大小
题型04 数轴与相反数/绝对值的结合
题型05 数轴上的规律探究
题型06 两点间距离公式（中点公式）
题型07 数轴上的动点初步
题型08 数轴背景下的综合解答题
▌题型01 数轴上的点与有理数对应
1. 定义定理
规定原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。
任意有理数都能在数轴找到唯一对应点；数轴上的点不全是有理数（含无理数）。
原点右侧为正数，原点左侧为负数，原点表示 0。
2. 核心推论
点 𝑥 到原点的距离等于该数的绝对值：点 𝑥 到原点距离 = |𝑥|。
求两点之间整数：筛选介于两数之间的整数，不重复、不漏数。
3. 注意要点
数轴单位长度全程统一；描点画实心圆点，必须标注向右正方向箭头。
4. 易错点
① 误认为数轴上所有点都代表有理数
② 统计区间整数时漏数、重复计数
③ 混淆数轴左右数字大小关系（左小右大）
【典例1】
【答案】C
【详解】由题意可知：手掌遮挡住的点表示的数在−2与−1之间，
∵−2.5 < −2 < −1.5 < −1 < −0.5 < 0.5，
∴手掌遮挡住的点表示的数可能是−1.5．
【变式1-1】
【答案】C
【详解】解：数轴上点M 表示的数可能是1.5．
【变式1-2】
【答案】−10或0
【分析】先根据M 点的位置求出N 点表示的数，再分Q 在N 点左侧、Q 在N 点右侧两种情况计算Q 点表
示的数．
【详解】解：已知M 表示−2，N 在M 左面3 个单位长度，数轴上左边的数比右边小，因此N 表示的数为：
−2−3 = −5，
∵Q 距离N 为5 个单位长度，Q 的位置有两种可能，分情况计算：
当Q 在N 左侧时，Q 表示的数为：−5−5 = −10，
当Q 在N 右侧时，Q 表示的数为：−5 + 5 = 0，
因此Q 所表示的数是−10或0．
【变式1-3】
【答案】7
【分析】利用数轴确定整数的个数．
【详解】解：−1和−6之间的整数为−2,−3,−4,−5共4 个，
−1和3之间的整数为0,1,2共3 个，
∴被墨迹盖住部分的整数的个数为4 + 3 = 7（个）．
▌题型02 数轴上点的平移与距离
1. 平移定理
数轴上数字平移规则：右加左减
点 𝑥 向右移动 𝑎 个单位：𝑥+ 𝑎
点 𝑥 向左移动 𝑎 个单位：𝑥−𝑎
2. 两点距离公式
设点 𝐴 表示数 𝑎，点 𝐵 表示数 𝑏，两点间距离：
𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|
推论：若 𝑎> 𝑏，距离可简写为 𝑎−𝑏（大数减小数）。
3. 图形平移推论
图形沿数轴平移的距离 = 图形任意一组对应点的数轴数值差。
4. 注意要点
无指定平移方向时，必须分向左、向右两种情况分类讨论。
5. 易错点
① 平移法则记反，左加右减
② 计算距离省略绝对值，直接两数相减
③ 多段连续平移列式顺序混乱
【典例1】
【答案】−3或−4
【分析】先根据点B 到原点的距离确定点B 表示的数，再根据平移规律得到点A 表示的数，最后根据点C
到点A 和原点距离相等，确定点C 是点A 与原点所连线段的中点，计算即可得到结果．
【详解】解：∵点𝐵到原点的距离为1，
∴点𝐵表示的数为1或−1；
∵点𝐴沿数轴向右移动7个单位后到达点𝐵，
∴点𝐴表示的数为1−7 = −6或−1−7 = −8；
∵点𝐶到点𝐴和到原点的距离相等，
∴点𝐶是点A 与原点所连线段的中点，
当点𝐴表示的数为−6时，点𝐶表示的数为
0+(−6)
2
= −3，
当点𝐴表示的数为−8时，点𝐶表示的数为
0+(−8)
2
= −4．
综上所述，点C 表示的数为−3或−4．
【变式1-1】
【答案】1或7
【分析】根据点到原点的距离得到A、B 对应数的所有可能，再分同侧、异侧两种情况计算线段𝐴𝐵的长度．
【详解】解：∵ 𝐴点到原点的距离是3，𝐵点到原点的距离是4，
∴点𝐴表示的数为3或−3，点𝐵表示的数为4或−4，
当A、B 两点在原点同侧时：𝐴𝐵= |4−3| = 1，
当A、B 两点在原点异侧时：𝐴𝐵= 3 + 4 = 7，
∴线段𝐴𝐵的长为1或7．
【变式1-2】
【答案】−1或7
【分析】分点𝐴向右平移和向左平移两种情况，根据数轴平移“左减右加”的规律计算点𝐴表示的数．
【详解】解：设点𝐴表示的数为𝑥．
当点𝐴向右平移4个单位长度时，可得𝑥+ 4 = 3，
解得𝑥= 3−4 = −1．
当点𝐴向左平移4个单位长度时，可得𝑥−4 = 3，
解得𝑥= 3 + 4 = 7．
综上可知，点A 表示的数为−1或7．
【变式1-3】
【答案】3
【详解】解：∵长方形𝐴𝐵𝐶𝐷平移到长方形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′的位置，且对应点B 到𝐵′的距离为：0−(−3) = 0 + 3 = 3，
∴平移的距离是3．
【变式1-4】
【答案】(1)4
(2)64 岁
【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为15−3 = 12，则可以求出一个火车的长；
（2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车𝐴𝐵 ，类似奶奶和小如一样大时看作当𝐵
点移动到𝐴点时，此时𝐴′点所对应的数为−40，小如和奶奶一样时看作当𝐴点移动到𝐵点时，此时𝐵′点所对应
的数为116，由此可知奶奶的年龄．
【详解】（1）解：如图1，
由题意可知，三个火车的长为15−3 = 12，
则一个火车的长为12 ÷ 3 = 4；
（2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为𝐴𝐵，
𝐴′表示的数为−40，𝐵′表示的数为116，
116−(−40) = 156，156 ÷ 3 = 52，则52 是奶奶和小如的年龄差，
∴116−52 = 64，
则奶奶现在的年龄是64 岁．
▌题型03 利用数轴比较数的大小
1. 数轴比较定理
数轴上右侧的数一定大于左侧的数：
点 𝑀 在点 𝑁 右侧⟺𝑚> 𝑛
2. 通用大小推论
正数 > 0 > 负数；正数大于全部负数；两个负数，绝对值大的数值更小。
作差判定大小：
𝑎−𝑏> 0⟺𝑎> 𝑏, 𝑎−𝑏= 0⟺𝑎= 𝑏, 𝑎−𝑏< 0⟺𝑎< 𝑏
3. 注意要点
化简多重符号、绝对值后再比较；比较前统一单位。
4. 易错点
① 两个负数比较，直接认为绝对值大数更大
② 数轴找点位置判断错误
③ 多重符号化简出现符号错误
【典例1】
【答案】C
【分析】根据作差法，即−𝑥+ 2−1 = 1−𝑥，根据数轴中x 的取值范围判断差的正负即可．
【详解】解：−𝑥+ 2−1 = 1−𝑥，
由𝑥> 1，得1−𝑥< 0，
∴−𝑥+ 2−1 < 0，
∴−𝑥+ 2 < 1．
【变式1-1】
【答案】C
【分析】首先根据数轴确定𝑎、𝑏 、𝑐 大小关系，再根据结论逐个判断对错即可．
【详解】解：由数轴可知𝑏< 𝑎< 0 < 𝑐 ，
① ∵𝑏< 𝑎< 0 < 𝑐 ，
∴ 𝑏< 𝑎< 𝑐，
∴① 结论错误，
②∵𝑎< 0 < 𝑐 ，
∴𝑎、𝑐 异号，
∴𝑎𝑐< 0，
∴② 结论正确，
③∵𝑎> 𝑏 ，
∴𝑎−𝑏> 0 ，
∴|𝑎−𝑏| = 𝑎−𝑏 ，
∴③ 结论正确，
④ ∵𝑏< 0 < 𝑐，
∴|𝑏| = −𝑏 ，|𝑐| = 𝑐，
∴|𝑏| + |𝑐| = −𝑏+ 𝑐 ，
∴④ 结论错误，
⑤ ∵𝑎< 0 ，
∴𝑎2 > 0 ，
∴𝑎2 +1 > 1，
∴𝑎2 +1值一定是正数，
∴⑤ 结论正确，
综上所述正确个数有3个．
【变式1-2】
【答案】C
【详解】解：根据数轴可得𝑎< 0 < 𝑏，且|𝑎| < |𝑏|
∴−𝑏< 0 < −𝑎．
【变式1-3】
【答案】(1)由题意，在数轴上标出表示其余各数的点，如图
(2)−( +4) < −3.75 < −2
1
2 < 0 < |−3.5| < −(−5)
【分析】（1）化简各数，再在数轴上标出各点即可；
（2）根据数轴各点所在的位置，比较各数大小即可．
【详解】（1）解：|−3.5| = 3.5，−( +4) = −4，−(−5) = 5；
（2）解：由数轴可知，
−(+4) < −3.75 < −2 1
2 < 0 < |−3.5| < −(−5)
【变式1-4】
【答案】
，−2 < −
1
2 < 0 < 1 < 2
1
2 < 3.5
【详解】解：用数轴表示如下：
∴各数从小到大顺序排列为：−2 < −
1
2 < 0 < 1 < 2
1
2 < 3.5．
▌题型04 数轴与相反数/绝对值的结合
1. 相反数几何定理
互为相反数的两点在数轴上关于原点对称，到原点距离相等：
𝑎、−𝑎 到原点距离相等⟺|𝑎| =|−𝑎|
代数性质：𝑎+ 𝑏= 0⟺𝑎、𝑏 互为相反数；0 的相反数是 0。
2. 绝对值化简定理
正数与 0 的绝对值为本身：𝑥≥0⟹|𝑥| = 𝑥
负数的绝对值为其相反数：𝑥< 0⟹|𝑥| = −𝑥
3. 数轴折叠推论
数轴折叠后重合两点的中点为折点，中点公式：
中点数值= 𝑚+ 𝑛
2
4. 注意要点
去绝对值前先根据数轴判断代数式正负；折叠问题优先求中点。
5. 易错点
① 化简绝对值不判断内部正负，直接去掉符号
② 折叠问题不会利用中点公式计算
③ 混淆相反数、绝对值几何含义
【典例1】
【答案】−2𝑏
【分析】先根据数轴判断𝑎、𝑏、𝑐大小及𝑎、𝑐绝对值大小，进而判断各代数式正负，再利用绝对值性质去绝
对值符号，最后合并同类项化简式子即可．
【详解】解：由图可知，𝑐< 𝑏< 𝑎，|𝑎| < |𝑐|，
∴𝑎−𝑏> 0，𝑎+ 𝑐< 0，𝑏−𝑐> 0，
∴|𝑎−𝑏| = 𝑎−𝑏，|𝑎+ 𝑐| = −(𝑎+ 𝑐) = −𝑎−𝑐，|𝑏−𝑐| = 𝑏−𝑐，
∴|𝑎−𝑏| + |𝑎+ 𝑐|−|𝑏−𝑐|
= (𝑎−𝑏) + (−𝑎−𝑐)−(𝑏−𝑐)
= 𝑎−𝑏−𝑎−𝑐−𝑏+ 𝑐
= −2𝑏．
【变式1-1】
【答案】2𝑎−2𝑏+ 2𝑐
【分析】先得出𝑏< 𝑐< 0 < 𝑎，|𝑎| > |𝑐|，则𝑏−𝑎< 0，𝑎+ 𝑐> 0，𝑐−𝑏> 0，再化简绝对值，计算整式的加
减即可．
【详解】解：由数轴可知，𝑏< 𝑐< 0 < 𝑎，|𝑎| > |𝑐|，
∴𝑏−𝑎< 0，𝑎+ 𝑐> 0，𝑐−𝑏> 0，
∴|𝑏−𝑎| + |𝑎+ 𝑐| + |𝑐−𝑏|
= −(𝑏−𝑎) + (𝑎+ 𝑐) + (𝑐−𝑏)
= −𝑏+ 𝑎+ 𝑎+ 𝑐+ 𝑐−𝑏
= 2𝑎−2𝑏+ 2𝑐．
【变式1-2】
【答案】B
【分析】由数轴可得𝑏< 𝑐< 0 < 𝑎，由点到原点的距离可得|𝑎| < |𝑐| < |𝑏|，再结合有理数的减法法则、绝对
值的性质逐项分析即可得出结果．
【详解】解：由数轴可得𝑏< 𝑐< 0 < 𝑎，
由点到原点的距离可得|𝑎| < |𝑐| < |𝑏|，
∴𝑎+ 𝑏< 0，𝑏−𝑐< 0，𝑎−𝑐> 0，𝑎−𝑏> 𝑎−𝑐> 0，𝑎−𝑏−𝑐> 0，故②正确；
∴|𝑎−𝑏| > |𝑎−𝑐|，故①正确；
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏+
|𝑐|
𝑐=
𝑎
𝑎+
−𝑏
𝑏+
−𝑐
𝑐= 1 + (−1) + (−1) = −1，故③正确；
|𝑎+ 𝑏|−|𝑏−𝑐|−|𝑎−𝑐| = −𝑎−𝑏−(𝑐−𝑏)−(𝑎−𝑐) = −𝑎−𝑏−𝑐+ 𝑏−𝑎+ 𝑐= −2𝑎，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，共3个．
【变式1-3】
【答案】D
【分析】根据数轴得出𝑎,𝑏之间的关系．
【详解】解：由数轴可得，𝑎< 0 < 𝑏，且|𝑎| < |𝑏|，
∴−𝑏< −𝑎，−𝑎< 𝑏．
【变式1-4】
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可知点𝐶到点𝐴的距离等于点𝐶到点𝐵的距离，即点𝐶是线段𝐴𝐵的中点，利用中点公
式计算即可求解．
【详解】解：∵以点𝐶为折点将数轴向右对折，点𝐴的对应点𝐴′刚好与点𝐵重叠，
∴𝐶𝐴= 𝐶𝐵，即点𝐶是线段𝐴𝐵的中点，
∵点𝐴表示−6，点𝐵表示−2，
∴点𝐶表示的数为
−6−2
2
= −4．
▌题型05 数轴上的规律探究
1. 周期规律定理
数轴滚动、循环移动类问题，先计算循环周期长度，再用总长度 ÷ 周期，根据余数判断对应点。
2. 动点移动推论
成对往返移动：每两次移动的结果可合并简化计算；分段移动需分段列出对应点表达式。
3. 线段覆盖整数推论
长度为 𝐿 的线段：端点均为整数时覆盖 𝐿+ 1 个整数；端点非整数时覆盖 𝐿 个整数。
4. 注意要点
周期计算余数为 0 时，对应周期末尾点；动点需区分奇偶次移动。
5. 易错点
① 周期计算错误，余数对应顶点判断颠倒
② 线段覆盖整数个数规律记混
【典例1】
【答案】A
【分析】根据题意可知等边三角形边长为1，滚动一周距离为3，顶点落点呈周期性变化． 计算2026 与起
始点−5的距离，除以3 看余数即可确定对应顶点．
【详解】解：∵点𝐴表示的数为−5，点𝐵表示的数为−4，点𝐶表示的数为−3，
∴𝐴𝐵= −4−(−5) = 1，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐴𝐶= 1，
∴每滚动一周，△𝐴𝐵𝐶向右移动3 个单位长度，
∵2026−(−5) ÷ 3 = 677，
∴数轴上2026对应的点是𝐴点．
【变式1-1】
【答案】C
【分析】分别求出能与点𝐴,𝐵,𝐶,𝐷重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可．
【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字0,4,8,⋯,4𝑛（𝑛为自然数）所
对应的点重合的是点𝐴，
能与数轴上的数字3,7,11,⋯,4𝑛−1（𝑛为正整数）所对应的点重合的是点𝐵，
能与数轴上的数字2,6,10,⋯,4𝑛−2（𝑛为正整数）所对应的点重合的是点𝐶，
能与数轴上的数字1,5,9,⋯,4𝑛−3（𝑛为正整数）所对应的点重合的是点𝐷，
∵2026 = 4 × 507−2，
∴能与数轴上的数字2026 所对应的点重合的是点𝐶．
【变式1-2】
【答案】6𝑛−2/−2 + 6𝑛
【分析】本题考查了数字类规律，数轴上两点之间的距离等知识点，解题的关键是正确理解题意，找到规律．
先写出前几次𝑃𝑘的位置，然后求出前几次的|𝑃2𝑛−𝑃2𝑛−1|，找出规律即可求解．
【详解】解：由题意得，𝑃1 = 1，
𝑃2 = 1−4 = −3，
𝑃3 = −3 + 7 = 4，
𝑃4 = 4−10 = −6
𝑃5 = −6 + 13 = 7，
𝑃6 = 7−16 = −9，
𝑃7 = −9 + 19 = 10
𝑃8 = 10−22 = −12，
∴当𝑛= 1时，|𝑃2−𝑃1| = |−3−1| = 4 = 6 × 1−2；
当𝑛= 2时，|𝑃4−𝑃3| = |−6−4| = 10 = 6 × 2−2
当𝑛= 3时，|𝑃6−𝑃5| = |−9−7| = 16 = 6 × 3−2
当𝑛= 4时，|𝑃8−𝑃7| = |−12−10| = 22 = 6 × 4−2
⋯
∴|𝑃2𝑛−𝑃2𝑛−1| = 6𝑛−2，
故答案为：6𝑛−2．
【变式1-3】
【答案】(1)12
(2)𝑎+ 12𝑛
【分析】（1）根据题意，点𝐴第一次落回到数轴上时向右滚动的距离为长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长，则可得到𝑂𝐴1 = 12，
从而得到答案；
（2）长方形𝐴𝐵𝐶𝐷向右每滚动12 个单位长度，点A 就会回到数轴上，用点A 表示的数加上滚动的距离即可
得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，若点𝐴与原点重合，将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，
点𝐴第一次落回到数轴上时，𝑂𝐴1 = 2 × (2 + 4) = 12，即点𝐴1表示的数为12；
（2）解：由题意可得，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷向右每滚动12 个单位长度，点A 就会回到数轴上，
∴若点𝐴表示的数为𝑎，点𝐴𝑛表示的数为𝑎+ 12𝑛．
【变式1-4】
【答案】(1)𝑎= −5，𝑏= −2；
(2)3；
(3)−
1
2或−
11
4 ；
(4)−1018．
【分析】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，根据题意分类讨论思想的运用是解题的关键．
（1）根据绝对值的定义结合由数轴得出𝑎、𝑏的符号即可得；
（2）根据数轴上两点间的距离公式即可得𝐴𝐵；
（3）设点𝐶表示的数为𝑥，则𝐶𝐵= |𝑥−(−2)| = |𝑥+ 2|，𝐶𝐴= |𝑥−(−5)| = |𝑥+ 5|，根据题意得|𝑥+ 2| =
1
3
|𝑥+ 5|，然后求出𝑥的值即可；
（4）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵|𝑎| = 5，|𝑏| = 2，且由数轴可知𝑎< 0，𝑏< 0，
∴𝑎= −5，𝑏= −2；
（2）解：|−2−(−5)|＝3，
∴𝐴，𝐵两点相距3个单位长度；
（3）解：设点𝐶表示的数为𝑥，
∴𝐶𝐵= |𝑥−(−2)| = |𝑥+ 2|，𝐶𝐴= |𝑥−(−5)| = |𝑥+ 5|，
∵点𝐶到点𝐵的距离是点𝐶到点𝐴的距离的
1
3，
∴|𝑥+ 2| =
1
3|𝑥+ 5|，
∴𝑥+ 2 =
1
3(𝑥+ 5)或𝑥+ 2 = −
1
3(𝑥+ 5)，
解得：𝑥= −
1
2或𝑥= −
11
4 ，
∴点𝐶表示的数为−
1
2或−
11
4 ；
（4）解：
−5−1 + 2−3 + 4−5 + 6−7 + ⋯−2017 + 2018−2019 + 2020−2021 + 2022−2023 + 2024−2025
= −5 + −1＋2 + (−3 + 4) + ⋯+ (−2017 + 2018) + (−2019 + 2020) + (−2021 + 2022)
+ (−2023 + 2024)−2025
= −5 + 1012−2025
＝−1018，
所以操作2025次后，点𝑃表示的数为−1018．
▌题型06 两点间距离公式（中点公式）
1. 距离通用公式
数轴两点 𝑎、𝑏 距离：𝐴𝐵=|𝑎−𝑏|
2. 中点核心公式
A(𝑎)、B(𝑏) 中点表示的数：
𝑀= 𝑎+ 𝑏
2
3. 最值推论
|𝑥−𝑚| +|𝑥−𝑛| 最小值为 |𝑚−𝑛|，当 𝑥 在 𝑚、𝑛 之间（含端点）时取得最小值。
4. 注意要点
距离永远非负；折叠、中点、对称类题目优先使用中点公式。
5. 易错点
① 求中点时分母 2 遗漏
② 绝对值求和最小值判断错误
【典例1】
【答案】−5
【分析】先计算出𝑂𝐶的长，再根据数轴写出对应的数．
【详解】解：∵点𝐴表示的数为10，
∴𝑂𝐴= 10，
∵𝑂𝐴= 𝑂𝐵，
∴𝑂𝐵= 10，
∵点𝐶为𝑂𝐵的中点，
∴𝑂𝐶=
1
2𝑂𝐵= 5，
∵点𝐶在原点的左侧，
∴点𝐶表示的数为−5．
【变式1-1】
【答案】10
【分析】先将|2𝑥−6| + |2𝑥+ 4|转化为2 |𝑥−3|+|𝑥−(−2)| ，根据题中对绝对值的定义结合当𝑥在点3与−2之
间时取得最小值来求解．
【详解】解：|2𝑥−6| + |2𝑥+ 4| = 2|𝑥−3| +2|𝑥−(−2)| = 2 |𝑥−3|+|𝑥−(−2)| ，
由题知，|𝑥−3|表示𝑥与3之间的距离，|𝑥−(−2)|表示𝑥与−2之间的距离，
当𝑥在−2和3之间时（含端点），|𝑥−3|与|𝑥−(−2)|的和最小，最小值为3−(−2) = 5，
∴|2𝑥−6| + |2𝑥+ 4|的最小值2 × |𝑥−3|+|𝑥+ 2| = 2 × 5 = 10．
【变式1-2】
【答案】1或7
【分析】根据题意，得到方程组
|𝑎|−|𝑏|=1
3|𝑎|=4|𝑏|
，解得
|𝑎|= 4
|𝑏|= 3
，从而得到𝑎，𝑏的值，即可求解．
【详解】解：由题意得
|𝑎|−|𝑏|=1
3|𝑎|=4|𝑏|
，解得
|𝑎|= 4
|𝑏|= 3
，
∴𝑎=± 4，𝑏=± 3，
∴当𝑎= 4，𝑏= 3或𝑎= −4，𝑏= −3时，|𝑎−𝑏| = 1；
当𝑎= 4，𝑏= −3或𝑎= −4，𝑏= 3时，|𝑎−𝑏| = 7，
综上可知，𝑎，𝑏两数对应点的距离为1或7．
【变式1-3】
【答案】0或3或6
【分析】先计算数轴上𝐴、𝐵两点的距离. 再分三种情况讨论𝑥的位置：𝑥在𝐴点左侧，𝑥在𝐴、𝐵两点之间，𝑥在
𝐵点右侧，分别计算得到𝑥的值．
【详解】解：数轴上𝐴对应数2，𝐵对应数4，两点间的距离为：4−2 = 2，
当𝑥在𝐴点左侧时，由相邻两点距离相等，得2−𝑥= 2，解得𝑥= 0；
当𝑥在𝐴，𝐵两点之间时，由相邻两点距离相等，得𝑥−2 = 4−𝑥，解得𝑥= 3；
当𝑥在𝐵点右侧时，由相邻两点距离相等，得𝑥−4 = 2，解得𝑥= 6；
综上所述，𝑥= 0或3或6．
【变式1-4】
【答案】(1)24；
(2)−8.5；
(3)
3
2或
5
2．
【分析】(1)根据数轴上两点间的距离公式即可求解；
(2)根据题意列出算式−10 + 15−12−1.5，然后通过有理数运算法则即可求解；
(3)分点𝐴在点𝐵左侧时和点𝐴在点𝐵右侧时两种情况求解即可．
【详解】（1）解：因为𝐴表示的数为−10，𝐵表示的数为14，
所以𝐴、𝐵两点间的距离是|14−(−10)| = 24，
故答案为：24；
（2）解：因为把点𝐴先向右移动15个单位，再向左移动12个单位，然后又向左移动1.5个单位，
所以此时点𝐴表示的数是−10 + 15−12−1.5 = −8.5，
故答案为：−8.5；
（3）解：①当点𝐴在点𝐵左侧时，则对折后点𝐴表示为14−1 = 13，
所以折点𝐶表示的数为
−10+13
2
=
3
2，
②当点𝐴在点𝐵右侧时，则对折后点𝐴表示为14 + 1 = 15，
所以折点𝐶表示的数为
−10+15
2
=
5
2，
故答案为：
3
2或
5
2．
▌题型07 数轴上的动点初步
1. 动点表达式定理
设起点表示数 𝑥0，运动速度 𝑣，运动时间 𝑡：
向右运动：𝑥= 𝑥0 + 𝑣𝑡 向左运动：𝑥= 𝑥0−𝑣𝑡
2. 中点判定推论
若 𝑀 是 𝐴、𝐵 中点，则 2𝑥𝑀= 𝑥𝐴+ 𝑥𝐵；分三点轮换讨论中点可能性。
3. 距离方程推论
两点距离为定值 𝑘，列方程：|𝑥1(𝑡)−𝑥2(𝑡)| = 𝑘，分两种情况解方程。
4. 注意要点
动点问题必须设时间 𝑡 表示各点数值；有"中点"条件时分三类讨论。
5. 易错点
① 动点左右移动符号写反
② 中点问题漏一种分类情况
③ 绝对值方程只解一个结果，遗漏另一解
【典例1】
【答案】A
【分析】设P，Q 运动𝑡秒，写出P，Q 点表示的数，计算𝑃𝑄，𝑂𝑄比较即可选出答案．
【详解】解：设P，Q 运动𝑡秒，
则𝑃点表示的数为：−6 + 3𝑡，
𝑄点表示的数为：−2 + 𝑡，
∴𝑃𝑄= |(−6 + 3𝑡)−(−2 + 𝑡)| = |−6 + 3𝑡+ 2−𝑡| = |2𝑡−4| = 2|𝑡−2|，
∴𝑂𝑄= |−2 + 𝑡| = |𝑡−2|，
∴𝑃𝑄= 2𝑂𝑄．
【变式1-1】
【答案】(1)28；3
(2)8−5𝑡
(3)2或16
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出𝐴，𝐵两点间的距离和𝐵，𝐷两点的中点所对应的数；
（2）根据题意，可以用含𝑡的代数式表示𝑡秒时，点𝐵走到的位置所对应的数；
（3）根据题意，可知存在两种情况，然后列出相应的方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵点𝐴对应的数为−20，点𝐵对应的数为8，点𝐷对应的数为−2，
∴𝐴，𝐵两点间的距离是：8−(−20) = 8 + 20 = 28，
𝐵，𝐷两点的中点所对应的数是(−2 + 8) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3．
（2）解：∵点𝐵对应的数为8，点𝐵以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向运动，
∴𝑡秒时，点𝐵走到的位置所对应的数是8−5𝑡；
（3）解：由题意可得：𝑡秒时，点𝐴所对应的数是−20 + 3𝑡，点𝐵所对应的数是8 + 3𝑡，
当点𝐶为点𝐴和点𝐵的中点时，(−20 + 3𝑡) + (8 + 3𝑡) = 0 × 2 ，
解得：𝑡= 2；
当点𝐴为点𝐶和点𝐵的中点时，0 + (8 + 3𝑡) = (−20 + 3𝑡) × 2 ，
解得：𝑡= 16；
点𝐵不可能是点𝐴和点𝐶的中点，因为点𝐴和点𝐵的速度一样，点𝐵始终在最右边；
由上可得，𝑡的值为2或16．
【变式1-2】
【答案】(1)4
(2)老鼠在移动过程中与点A 之间的距离为：7−𝑡，小猫在移动过程中与点A 之间的距离为：12−2𝑡．
【分析】
（1）根据相反数的意义：互为相反数的两个点到原点的距离相等，先求出“原点”到两点的距离，再利用
该距离求得“原点”的位置即可；
（2）根据两点的距离直接表示即可．
【详解】（1）
解：根据相反数的意义，可知“原点”到A、C 两点的距离相等，即为：10−(−2) ÷ 2 = 6，
∴“原点”表示的数为：−2 + 6 = 4，
（2）
解：老鼠在移动过程中与点A 之间的距离为：5−(−2)−𝑡= 7−𝑡，
小猫在移动过程中与点A 之间的距离为：10−(−2)−2𝑡= 12−2𝑡．
【变式1-3】
【答案】(1)12；1
(2)①1−4𝑡；②
3
2或
24
7 ；③𝑚= 2，定值为18
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b 的值，再根据两点间的距离公式和中点公式求解即可；
（2）①根据题意，表示出𝑡秒后点𝑃、𝑄表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可；②根据线段中点计
算公式分三种情况解答即可求解；③根据两点之间的距离公式求出𝑃𝑄、𝐴𝑀，得到𝐴𝑀−𝑚𝑃𝑄= (4−2𝑚)
𝑡+ 12𝑚−6，当4−2𝑚= 0时，即可求出常数𝑚的值，进而求出定值．
【详解】（1）解：∵(𝑎+ 5)2 + |𝑏−7| = 0，且(𝑎+ 5)2 ≥0，|𝑏−7| ≥0，
∴(𝑎+ 5)2 = |𝑏−7| = 0，
∴𝑎+ 5 = 0，𝑏−7 = 0，
∴𝑎= −5，𝑏= 7，
∴𝐴𝐵= |−5−7| = 12，线段𝐴𝐵的中点表示的数为
−5+7
2
= 1；
（2）解：①由题意得，运动t 秒时，点P 表示的数为−5−3𝑡，点Q 表示的数为7−5𝑡，
∵点𝑀是线段𝑃𝑄的中点，
∴点M 表示的数为
−5−3𝑡+7−5𝑡
2
= 1−4𝑡；
②由题意得，运动t 秒时，点P 表示的数为−5−3𝑡，点Q 表示的数为7−5𝑡，
当点A 是𝑃𝑄的中点时，则
−5−3𝑡+7−5𝑡
2
= −5，
解得𝑡=
3
2；
当点P 是𝐴𝑄的中点时，则
−5+7−5𝑡
2
= −5−3𝑡，
解得𝑡= −12（舍去）；
当点Q 是𝐴𝑃的中点时，则
−5−3𝑡−5
2
= 7−5𝑡，
解得𝑡=
24
7 ；
综上所述，t 的值为
3
2或
24
7 ；
③当点𝑄与点𝑃重合时，−5−3𝑡= 7−5𝑡，解得𝑡= 2
当点𝑄在点𝑃左侧时，𝑃𝑄= −5−3𝑡−(7−5𝑡) = 2𝑡−12，𝐴𝑀= −5−(1−4𝑡) = 4𝑡−6，
∴𝐴𝑀−𝑚𝑃𝑄= 4𝑡−6−𝑚(2𝑡−12) = (4−2𝑚)𝑡+ 12𝑚−6，
∵𝐴𝑀−𝑚𝑃𝑄为定值，
∴4−2𝑚= 0时，
∴𝑚= 2，
此时，𝐴𝑀−𝑚𝑃𝑄= 12 × 2−6 = 18．
【变式1-4】
【答案】(1)𝑚= −20，𝑛= 40，𝑘= 0
(2)𝑥= −5
(3)𝑎=
3
2或𝑎=
5
2或𝑎=
15
2 或𝑎=
17
2
【分析】（1）根据非负数的性质求出𝑚、𝑛的值，根据相反数等于本身的数是0 求出k 的值即可；
（2）根据𝑃𝑂+ 𝑃𝑁= 50结合两点间距离公式得出|𝑥| + |𝑥−40| = 50，分情况讨论，求出结果即可；
（3）分四种情况讨论：当点𝑄向点𝑁运动时，点𝑃在点𝑄右侧；当点𝑄向点𝑁运动时，点𝑃在点𝑄左侧；当点𝑄
到达点𝑁后，向点𝑀运动时，点𝑃在点𝑄左侧；当点𝑄到达点𝑁后，向点𝑀运动时，点𝑃在点𝑄右侧，分别列出
方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵|𝑚+ 20| + (𝑛−40)2 = 0，
∴𝑚+ 20 = 0，𝑛−40 = 0，
解得：𝑚= −20，𝑛= 40，
∵k 的相反数等于本身，
∴𝑘= 0；
（2）解：∵𝑃𝑂+ 𝑃𝑁= 50，
∴|𝑥| + |𝑥−40| = 50，
当𝑥< 0时，−𝑥+ 40−𝑥= 50，
解得：𝑥= −5；
当0 ≤𝑥≤40时，𝑥+ 40−𝑥= 50，此方程无解；
当𝑥> 40时，动点𝑃在𝑁点右侧，不成立；
∴当𝑥为−5时能使得𝑃𝑂+ 𝑃𝑁= 50；
（3）解：当点𝑃到达点𝑁时，需要的时间为：40−(−20) ÷ 3 = 20（秒），
∴此时点𝑄到达−20 + 2 × 20 = 20，与点𝑁的距离为40−20 = 20，
∴4 秒后，点P 的位置为40−3 × 4 = 28，
当点𝑄向点𝑁运动时，点𝑃在点𝑄右侧：
28−(20 + 4𝑎) = 2，
解得：𝑎=
3
2；
当点𝑄向点𝑁运动时，点𝑃在点𝑄左侧：
20 + 4𝑎−28 = 2，
解得：𝑎=
5
2；
当点𝑄到达点𝑁后，向点𝑀运动时，点𝑃在点𝑄左侧：
40−𝑎4−
20
𝑎−28 = 2，
解得：𝑎=
15
2 ；
当点𝑄到达点𝑁后，向点𝑀运动时，点𝑃在点𝑄右侧：
28−40−𝑎4−
20
𝑎
= 2，
解得：𝑎=
17
2 ，
综上所述，当𝑎的值为
3
2或
5
2或
15
2 或
17
2 时，4 秒后，𝑃、𝑄两点相距2 个单位长度．
▌题型08 数轴背景下的综合解答题
1. 数形结合核心定理
所有绝对值、相反数、距离问题均可转化为数轴上点的位置关系求解。
2. 折叠通用推论
若两点折叠重合，则两点到折中点距离相等，折中点为两点中点。
3. 往返运动推论
往返行程分段表示对应数值，分段临界点为到达端点的时间。
4. 注意要点
多小问综合题分步列式；含绝对值方程必须分类去绝对值。
5. 易错点
① 折叠问题不会利用中点建立等量关系
② 往返动点不分段直接列式
③ 多绝对值求和漏区间分类讨论
【典例1】
【答案】(1)1966
(2)1966 或1967
【分析】本题考查了数轴、图形的变化规律，得到每跳动 2 次相对于原数的规律是解题的关键．
（1）根据题意易得每跳动 2 次，向右平移 1 个单位，跳动100 次，相当于在原数的基础上加了50 ，据
此求解即可．
（2）根据数轴的特征分情况求解即可．
【详解】（1）解：设𝐾0点所对应的数为𝑥，
由题意得，每跳动2 次，向右平移1 个单位，跳动100 次，相当于在原数的基础上加了 50，
则𝑥+ 50 = 2016，
解得：𝑥= 1966，
即电子跳蚤的初始位置𝐾0点所表示的数为1966．
（2）解：在数轴上，某条线段的长度为𝐾0所表示的数1966，
当线段的两个端点均为整数时（例如线段为0~1966），覆盖的整数有1966 + 1 = 1967个；
当线段的端点不都为整数时（例如线段为0.5~1966.5），覆盖的整数有1966 个．
【变式1-1】
【答案】(1)①−1②−2或4
(2)①
1
2②E 点表示的数为−1001，F 点表示的数为999③点G 表示的数为−1013.5或1011.5
(3)𝑛−
𝑚
2，𝑛+
𝑚
2
【分析】（1）①求出折痕表示的数即可解答；
②根据数轴上的两点距离可进行求解；
（2）①由点A 与点C 重合可知折叠点表示的数为−1，然后由此可求解问题；
②由①可知折叠点表示的数为−1，则可知−1到E、F 的距离都为1000，进而问题可求解；
③根据𝐺𝐸+ 𝐺𝐹= 2025列出方程，求解方程可得出x 的值．
（3）由题意可知表示数n 的点到P、Q 两点的距离都为
𝑚
2，然后问题即可求解．
【详解】（1）解：∵表示数2 的点与表示数−2的点重合，
∴折痕点表示的数为
−2+2
2
= 0；
∵点𝐴表示的数为1，
∴点𝐴与表示数−1的点重合；
②这个数为1−3 = −2或1 + 3 = 4；
（2）解：①由题意可得：折叠点对应的数为：
−3+1
2
= −1，
∴与B 点重合的点表示的数是：−1 + −1−(−2.5) =
1
2；
②由①得折叠点对应的数为：−1，
∴E 点表示的数为：−1−
2000
2
= −1001，F 点表示的数为：−1 +
2000
2
= 999．
③∵𝐺𝐸+ 𝐺𝐹= 2025，设点G 表示的数为x，
∴|𝑥+ 1001| + |𝑥−999| = 2025，
当−1001 ≤𝑥≤999时，𝑥+ 1001−𝑥+ 999 = 2000 ≠2025，不符合题意；
当𝑥< −1001时，−𝑥−1001−𝑥+ 999 = 2025，
解得𝑥= −1013.5；
当𝑥> 999时，𝑥+ 1001 + 𝑥−999 = 2025，
解得𝑥= 1011.5，
综上所述，点G 表示的数为−1013.5或1011.5．
（3）解：由题意可得：表示数n 的点到P，Q 两点的距离都为
𝑚
2，
∴点P 表示的数为𝑛−
𝑚
2，点Q 表示的数为𝑛+
𝑚
2．
【变式1-2】
【答案】(1)−3；5；−1
(2)3
(3)①t 的值为4 或8；②t 的值为
6
5或3．
【分析】（1）根据c 为最大的负整数可得出c 的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、b 的值；
（2）根据折叠的性质结合a、b、c 的值，即可找出与点C 重合的数；
（3）①根据运动的方向和速度结合b、c 的值，即可找出t 秒后点𝑃、𝑄分别表示的数，由𝑃𝑄= 2得到关于t
的绝对值方程，解方程即可；
②分三种情况讨论，分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵𝑐是最大的负整数，且a、b 满足|𝑎+ 3| + (𝑏−5)2 = 0，
∴𝑐= −1，𝑎+ 3 = 0，𝑏−5 = 0，
∴𝑎= −3，𝑏= 5，
故答案为：−3；5；−1；
（2）解：
𝑎+𝑏
2 −𝑐+
𝑎+𝑏
2 = 𝑎+ 𝑏−𝑐= −3 + 5−(−1) = 3；
（3）解：①𝑡秒钟过后，点𝑃表示的数为5 + 2𝑡，点𝑄表示的数为−1 + 3𝑡，
∵𝑃𝑄= 2，
∴|5 + 2𝑡−(−1 + 3𝑡)| = 2，
解得𝑡= 4或𝑡= 8，
∴时间t 的值为4 或8；
②𝑡秒钟过后，点𝑃表示的数为5 + 2𝑡，点𝑄表示的数为−1 + 3𝑡，
当点B 为中点时，由题意得5 + 2𝑡−5 = 5−(3𝑡−1)，
解得𝑡=
6
5；
当点𝑄为中点时，由题意得5 + 2𝑡−(3𝑡−1) = (3𝑡−1)−5，
解得𝑡= 3；
当点𝑃为中点时，由题意得3𝑡−1−(5 + 2𝑡) = (5 + 2𝑡)−5，
解得𝑡= −6（舍去）；
综上，t 的值为
6
5或3．
【变式1-3】
【答案】(1)①5；②2；③−6，8
(2)①2；②6 或8
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上的两点间的距离，折叠的特点，数轴上表示数，一元一次方
程的应用，熟练掌握折叠的两个数到折痕点数的距离相等，数轴上两点间的距离是解题的关键，
（1）①根据折叠后数2对应的点与数−2对应的点重合，得到折痕点表示的数是0，根据折叠数到折痕点数的
距离相等，符号相反，计算即可；
②根据折叠后数−4对应的点与数6 对应的点重合，得到折痕点表示的数为
−4+6
2
= 1，由此得到
0+𝑥
2 = 1，得
到𝑥= 2，计算即可；
③根据折叠后数−4对应的点与数6 对应的点重合，得到折痕点表示的数为
−4+6
2
= 1，设点A 表示的数是𝑥𝐴，
点B 表示的数是𝑥𝐵，根据折叠的性质，得到1−𝑥𝐴= 𝑥𝐵−1 =
14
2 = 7，计算即可；
（2）根据题意，得𝑥𝐴= −6,𝑥𝐵= 8，根据动点𝑃从𝐵点出发，以每秒2 个单位长度的速度在数轴上匀速运动，
设运动时间为𝑡秒(𝑡> 0)，得到𝑃𝐵= 2𝑡．
①根据题意，得𝐴𝐵+ 𝑃𝐵= 18,列式计算即可；
②根据题意，得到点P 表示的数为8−2𝑡，结合𝑃，𝐴两点之间的距离为2 个单位长度，得到|8−2𝑡−(−6)|
= 2，计算即可．
【详解】（1）解：①根据折叠后数2对应的点与数−2对应的点重合，得到折痕点表示的数是0，根据折叠数
到折痕点数的距离相等，符号相反，
∴数−5对应的点与数5对应的点重合，
故答案为：5；
②根据折叠后数−4对应的点与数6 对应的点重合，
∴折痕点表示的数为
−4+6
2
= 1，
设折叠后与0 重合的数为x，
由此得到
0+𝑥
2 = 1，
解得𝑥= 2，
故答案为：2；
③根据折叠后数−4对应的点与数6 对应的点重合，
∴折痕点表示的数为
−4+6
2
= 1，
设点A 表示的数是𝑥𝐴，点B 表示的数是𝑥𝐵，
根据折叠的性质，得1−𝑥𝐴= 𝑥𝐵−1 =
14
2 = 7，
解得𝑥𝐴= −6,𝑥𝐵= 8，
故答案为：−6,8；
（2）解：根据题意，得𝑥𝐴= −6,𝑥𝐵= 8，
根据动点𝑃从𝐵点出发，以每秒2 个单位长度的速度在数轴上匀速运动，
设运动时间为𝑡秒(𝑡> 0)，得到𝑃𝐵= 2𝑡．
①根据题意，得𝐴𝐵+ 𝑃𝐵= 18
∴14 + 2𝑡= 18，
解得𝑡= 2；
②根据题意，得到点P 表示的数为8−2𝑡，根据𝑃，𝐴两点之间的距离为2 个单位长度，
得|8−2𝑡−(−6)| = 2，
解得𝑡= 6或𝑡= 8．
【变式1-4】
【答案】(1)8，6
(2)选择任务Ⅰ①𝑎；②
𝑎
2；③𝑝=
𝑡，
0 ≤𝑡≤𝑎
3𝑎−2𝑡，
𝑎< 𝑡≤1.5𝑎
𝑡−1.5𝑎，
1.5𝑎< 𝑡≤2.5𝑎
6𝑎−2𝑡，
2.5𝑎< 𝑡≤3𝑎
；
我选择任务Ⅱ．
①24；
②10；
③解：对于任意正整数𝑚，𝑚⊕8的结果能被12整除，理由如下：
∵𝑚⊕8 = 𝑚× 8 +
8
2 = 12𝑚，
∴12𝑚÷ 12 = 𝑚，
∴𝑚⊕8能被12整除．
【分析】（1）第1空：已知𝑎= 8，小车从原点到点𝐴的速度为1单位/秒，根据时间= 路程÷ 速度直接计
算．第2空：先计算小车从原点到𝐴用时8秒，再计算从𝐴返回原点的速度为2单位/秒，用𝑡= 9减去去程时间，
得到返程时间，再计算返程路程，从而确定位置．
（2）选择任务Ⅰ①根据时间= 路程÷ 速度，路程为𝑎，速度为1，直接表示时间．②根据时间= 路程÷ 速
度，路程为𝑎，速度为2，直接表示时间．③分四段讨论0 ≤𝑡≤3𝑎内的运动，第一段：0 ≤𝑡≤𝑎，从原点向
𝐴匀速运动；第二段：𝑎< 𝑡≤1.5𝑎，从𝐴返回原点；第三段：1.5𝑎< 𝑡≤2.5𝑎，第四段：2.5𝑎< 𝑡≤3𝑎，从
原点再次向𝐴运动．
选择任务Ⅱ①先明确2 ⊕8表示目标点为8时，第2次回到原点的总时间．去程时间为8秒，返程时间为4秒，
一个往返为12秒，第2次回到原点即2个往返．②先表示出3 ⊕𝑎的总时间，再列方程求解𝑎．③先表示出𝑚⊕8
的总时间，再分析其整除性．
【详解】（1）解：∵路程= 8，速度= 1，
∴𝑡=
8
1 = 8，
∵去程用时= 8秒，𝑡= 9，
∴返程时间= 9−8 = 1秒，
∵返程速度= 2，返程路程= 2 × 1 = 2，
∴点P表示的数= 8−2 = 6，
故答案为8，6；
（2）解：选择任务Ⅰ①∵路程= 𝑎，速度= 1，
∴𝑡=
𝑎
1 = 𝑎，
故答案为：𝑎；
②∵路程= 𝑎，速度= 2
∴时间=
𝑎
2，
故答案为：
𝑎
2；
③当0 ≤𝑡≤𝑎时，∵速度= 1，方向向东，
∴𝑝= 𝑡，
当𝑎< 𝑡≤1.5𝑎时，
∵去程用时= 𝑎，返程速度= 2
∴返程路程= 2(𝑡−𝑎)，
∴𝑝= 𝑎−2(𝑡−𝑎) = −2𝑡+ 3𝑎，
当1.5𝑎< 𝑡≤2.5𝑎时，
∵往返一次用时= 𝑎+
𝑎
2 = 1.5𝑎，再次出发速度= 1，
∴再次出发时间= 𝑡−1.5𝑎，
∴𝑝= 𝑡−1.5𝑎，
当2.5𝑎< 𝑡≤3𝑎时，
∵往返一次用时及第二次去程用时=
3𝑎
2 +𝑎= 2.5𝑎，再次返程速度= 2，
∴再次返程路程= 2(𝑡−2.5𝑎)，
∴𝑝= 𝑎−2(𝑡−2.5𝑎) = −2𝑡+ 6𝑎，
综上，𝑝=
𝑡，
0 ≤𝑡≤𝑎
3𝑎−2𝑡，
𝑎< 𝑡≤1.5𝑎
𝑡−1.5𝑎，
1.5𝑎< 𝑡≤2.5𝑎
6𝑎−2𝑡，
2.5𝑎< 𝑡≤3𝑎
；
选择任务Ⅱ①∵去程时间= 8，返程时间=
8
2 = 4，
∴一个往返时间= 8 + 4 = 12，
∴2 ⊕8 = 2 × 12 = 24，
故答案为：24；
②∵去程时间= a，返程时间=
𝑎
2，
∴一个往返时间= 𝑎+
𝑎
2 =
3𝑎
2
∴3 ⊕𝑎= 3 ×
3𝑎
2 =
9𝑎
2 ；
∵
9𝑎
2 = 45；
∴𝑎= 10，
故答案为：10；
③略
【点睛】本题主要考查了代数式表示、有理数的混合运算、数轴上的动点问题、一元一次方程的应用以及规
律探究，熟练掌握行程问题的基本公式（时间=路程÷速度）和分段讨论的思想是解题的关键．
【变式1-5】
【答案】(1)2
(2)4 或−
1
2
(3)4 或1
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，解题的关键是掌握“𝑚级幸运点”的概念和运算法则，
找出题中的等量关系，列出方程并解答是关键．
（1）依据题意，根据“𝑚级幸运点”的概念解答；
（2）依据题意，设𝑃表示的数是𝑥，从而结合题意，列出关于𝑥的方程|𝑥+ 5| = 3|𝑥−1|计算进而可以得解；
（3）依据题意，设经过𝑡秒后𝑃为点𝐴,𝐵的“6 级幸运点”，然后表示出𝐴,𝐵后再列方程计算即可得解．
【详解】（1）解：∵ A 表示的数为−5,𝐵表示的数为1 ，点𝑃在数轴上表示的数为−1，
∴𝐴𝑃= −1−(−5) = 4,𝐵𝑃= 1−(−1) = 2，
∴𝑚= 𝐴𝑃:𝐵𝑃= 4:2 = 2，
故答案为：2；
（2）解：由题意，设𝑃表示的数是𝑥，
∴𝑃𝐴= |𝑥+ 5|,𝑃𝐵= |𝑥−1|，
又点𝑃是数轴上点𝐴,𝐵的“3 级幸运点”，
∴𝑃𝐴= 3𝑃𝐵，
∴|𝑥+ 5| = 3|𝑥−1|，
当𝑥+ 5 = 3(𝑥−1)时，𝑥= 4；
当𝑥+ 5 = −3(𝑥−1)时，𝑥= −
1
2；
综上，点 P 表示的数是4 或−
1
2；
（3）解：由题意，设经过𝑡秒后𝑃为点𝐴,𝐵的“6 级幸运点”，
此时𝐴对应的数为−5−2𝑡,𝐵对应的数为1−𝑡，
∴𝑃𝐴= −1−(−5−2𝑡) = 4 + 2𝑡,𝑃𝐵= |−1−(1−𝑡)| = |𝑡−2|，
又𝑃为点𝐴,𝐵的“6 级幸运点”，
∴4 + 2𝑡= 6|𝑡−2|，
∴𝑡= 4或1．
