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第一章 有理数压轴题考点训练
评卷人 得分
一、单选题
1．已知a，b，c为有理数，且 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B． 或 C．1或 D． 或3
【答案】A
【分析】先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a，b，c中应有奇数个
负数，进而可将a，b，c的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个
数的和为0，a，b，c的符号只能为1负2正，然后化简即得．
【详解】∵
∴a，b，c中应有奇数个负数
∴a，b，c的符号可以为：1负2正或3负
∵
∴a，b，c的符号为1负2正
令 ， ，
∴ ， ，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则，利用加法法则和乘法法则确定
数的符号是解题关键．
2．如图，在数轴上，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，若以下三个式子： ，
， 都成立，则原点在
A．点A的左侧 B．点A和点B之间 C．点B和点C之间 D．点C的左侧
【答案】C
【分析】根据数轴可以得到a、b、c的关系，然后根据题目中的条件，可以得到点原点在
什么位置，本题得以解决．
【详解】解：由数轴可得，
a＜b＜c，|b-a|＜|c-b|，
∵a+c＜0，
∴c＞0，a＜0且|a|＞|c|，
∵|b|＜|c|，a+b＜0，∴b＜0，
∴原点位于点B和点C之间，
故选C．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，判断出原点的位置．
3．2019减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，…以此类推，一直减到余下的
，则最后剩下的数是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意列出式子 ，先计算括号内的，
再计算乘法即可解答．
【详解】解：由题意得：
=
=
=1
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，并发现算
式的特征．
4．一跳蚤在一直线上从 点开始，第 次向右跳 个单位，紧接着第2次向左跳 个单位，
第 次向右跳 个单位，第 次向左跳 个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第 次
落下时，落点处离点 的距离是（ ）个单位.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可．
【详解】解：设向右为正，向左为负．则
1+（-2）+3+（-4）+．+（-100）=[1+（-2）]+[3+（-4）]+．+[99+（-100）]=-50．
∴落点处离O点的距离是50个单位．故答案为:B．
【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系
实际，不能死学．
5．a是不为2的有理数，我们把 称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是 ＝﹣2，﹣2的“哈利数”是 ，已知a＝3，a 是a 的“哈利数”，a 是a 的“哈
1 2 1 3 2
利数”，a 是a 的“哈利数”，…，依此类推，则a ＝（ ）
4 3 2019
A．3 B．﹣2 C． D．
【答案】C
【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．
【详解】∵a＝3，
1
∴a＝ ＝﹣2，
2
a＝ ，
3
a＝ ，
4
a＝ ，
5
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵2019÷4＝504…3，
∴a ＝a＝ ．
2019 3
故选：C．
【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并
应用规律解决问题是解题的关键．
6．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，试化简|a+b|﹣|b|+|b+c|+|c|的结果是（ ）
A．a+b B．a+b﹣2c C．﹣a﹣b﹣2c D．a+b+2c
【答案】C
【详解】试题分析：根据数轴上右边的数总是大于左边的数即可判断a、b、c的符号和大
小，根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，然后合并同类项即可．
解：根据数轴可得b＜c＜0＜a，且|a|＜|b|，
则a+b＜0，b+c＜0．
则原式=﹣（a+b）+b﹣（b+c）﹣c=﹣a﹣b+b﹣b﹣c﹣c=﹣a﹣b﹣2c．
故选C．
7．若|3m-5|+(n+3)2=0，则6m-(n+2)=（ ）
A．6 B．9 C．0 D．11
【答案】D【详解】根据非负数的性质和相反数的性质，可知3m-5=0，n+3=0，解得m= ，n=-3，因
此代入可得6m-（n+2）=10-（-1）=11.
故选D.
8．有下列说法：①两个有理数比较大小，绝对值大的反而小：②用一个平面去截正方体，
面的形状可能是五边形；③数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远；
④若a是3的相反数，则a的倒数是 ；⑤一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定
是负数．其中正确的说法有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【分析】根据有理数的概念，数轴的概念，正方体的知识，逐一判断即可．
【详解】两个负数比较大小，绝对值的的反而小，故①错误；
如下图所示，可以获得五边形，故②正确；
在数轴正半轴上，较大的数表示的点离原点较远，故③错误；
3的相反数为-3，-3的倒数为 ，故④正确；
0的相反数等于0，0的绝对值等于0，故⑤错误；
故选D．
【点睛】本题考查了有理数的基础知识，有理数的比较大小，求一个是的相反数、绝对值
等知识，是有理数部分的基础考题，要求学生熟练掌握本部分的知识点，并能够辨析．
评卷人 得分
二、填空题
9．一动点P从数轴上的原点出发，按下列规则运动：
（1）沿数轴的正方向先前进5个单位，然后后退3个单位，如此反复进行；
（2）已知点P每秒只能前进或后退1个单位．设X 表示第n秒点P在数轴上的位置所对应
n
的数，则X 为 ．
2018
【答案】506
【分析】本题应先解出点P每8秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导出答
案．
【详解】依题意得，点P每8秒完成一个前进和后退，即前8个对应的数是1、2、3、4、
5、4、3、2；9～16是3、4、5、6、7、6、5、4．
根据此规律可推导出，2018=8×252+2，故x =252×2+2=506．
2018
故答案为506．
【点睛】本题主要考查了数字变化的规律，解答此题的关键是找出循环的规律．
10．在数轴上，B点对应的点是10，若A点到原点O的距离是A点与B的距离的4倍，则
A点表示的数是 .
【答案】8或 ；
【详解】设点A所对应的数为 ，
（1）当点A在点B的右边时，由题意可得： ，解得 ；
（2）当点A在点B的左侧时，由题意可得： ，解得 ；
综上所述，点A表示的数是8或 .
点睛：（1）数轴上两点间的距离等于这两点所表示的两数中较大的减去较小的的差；
（2）本题要分点A在点B的右侧和左侧两种情况进行讨论.
11．如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分
点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示－1的点重合，再将
数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示－2的点重
合…），则数轴上表示－2018的点与圆周上表示数字 的点重合．
【答案】3
【分析】此题需要寻找规律：每4个数一组，分别与0、3、2、1重合，因此需要计算2018
4，看是第几组的第几个数.
【详解】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环.
∵2018 4=504...2，
∴数轴上表示-2018的点是第505个循环组的第2个数3重合.故答案为：3.
【点睛】本题考查了实数与数轴，解题的关键在于观察出图形中的规律，即每4个数为一
个循环组依次循环.
12．已知|a|=2，|b|=3，且ab＜0，则a+b的值为 ．
【答案】±1
【分析】根据绝对值的性质求出a=±2，b=±3，再根据异号得负判断出a、b异号，然后根
据有理数的加法运算法则进行计算可得：
【详解】解：∵|a|＝2，|b|＝3，
∴a＝±2，b＝±3，∵ab＜0，
∴a、b异号，
当a＝2时，b＝﹣3，a+b＝2+（﹣3）＝﹣1，
当a＝﹣2时，b＝3，a+b＝﹣2+3＝1，
综上所述，a+b的值为±1．
故答案为：±1．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题
的关键．
13．观察下列等式：
第1层1+2＝3
第2层4+5+6＝7+8
第3层9+10+11+12＝13+14+15
第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24
…
在上述的数字宝塔中，从上往下数，2020在第 层．
【答案】44．
【分析】根据题目中每层最大数字的特点，发现数字变化的特点，从而解答本题．
【详解】解：由题意可得，
第1层最大数是22-1，
第2层最大数是32-1，
第3层最大数是42-1，
第4层最大数是52-1，
……
∵442-1＜2020＜452-1，
∴2020在第44层，
故答案为：44．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特
点，求出相应的层数．
14．我们知道，|x+3|+|x-6|的最小值是 ．
【答案】9
【详解】试题解析：当x＞6时，
|x+3|+|x-6|
=x+3+x-6
=2x-3＞9，
当-3≤x≤6时，
|x+3|+|x-6|
=x+3+6-x=9，当x＜-3时，
|x+3|+|x-6|
=-x-3+6-x
=-2x+3＞9，
由上可得，|x+3|+|x-6|的最小值是9
点睛：要明确数轴的特点，可以将绝对值符号去掉，利用数形结合的思想即可求解.
评卷人 得分
三、解答题
15．数学课上李老师和同学们玩一个找原点的游戏．
(1)如图1，在数轴上标有A，B两点，已知A，B两点所表示的数互为相反数．
①如果点A所表示的数是 ，那么点B所表示的数是______________；
②请在图1中标出原点O的位置；
(2)图2是小敏所画的数轴，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等．请你帮她标
出隐藏的原点O的位置，并写出此时点C所表示的数是____________；
(3)如图3，数轴上标出若干个点，其中点A，B，C所表示的数分别为a，b，c．若数轴上
标出的若干个点中每相邻两点相距1个单位（如 ），且 ．
①试求a的值；
②若点D也在这条数轴上，且 ，设D点所表示的数为d，求d的值．
【答案】(1)①5；②见解析
(2)画图见解析，4
(3)① ；②1或7
【分析】（1）①根据相反数的定义可得点 表示的数，②根据 、 的位置可得原点的位
置；
（2）根据 、 所表示的数可得单位长度表示3，进而可得原点的位置和点 表示的数；
（3）①由数轴可得 ，再结合 可得 的值；②根据 的值可得 ，根据
可得 或 ，即可求出答案．【详解】（1）解：①点 所表示的数是 ，点 、点 所表示的数互为相反数，
所以点 所表示的数是5，
故答案为：5；
②在图1中表示原点 的位置如图所示：
（2）原点 的位置如图所示，
点 所表示的数是4．
故答案为：4；
（3）①由题意得： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
②设 表示的数为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查数轴与有理数，熟练掌握数轴的特点和两点间的距离公式是解题关键．
16．对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满
足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数 ，0，4，6所对应的点分别C ，C
1 2
，C ，C ，其中是点A,B的“联盟点”的是 ；
3 4
（2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数 .
【答案】（1） ， ；（2）①－50或 或 ；②50或70或110.
【分析】（1）题目给定的规律，联盟点必须满足其中一个点与其它两个点的距离恰好满足
2倍的数量关系，根据规律找出即可（2）已知点A的大小，点B的大小，根据不同的位置
分别找出点P的坐标即可.
【详解】解：（1） ， ；
（2）① 设点P表示的数为x，
如图，当点 在点A左侧时， ，
则 30－x＝2（－10－x），
解得 x＝－50.
所以点 表示的数为－50；
如图，当点 在线段AB上且 时，
则 30－x＝2（x＋10），
解得 x＝ .
所以点 表示的数为 ；
如图，当点 在线段AB上且 时，
则 x＋10＝2（30－x），
解得 x＝ .
所以点 表示的数为 .
综上所述，当点P在点B的左侧时，点P表示的数为－50或 或 .
② 50或70或110.
【点睛】此题重点考查学生对坐标轴上的点的大小的理解，理解数轴上的点的大小是解题
的关键.
17．计算（1）（﹣2）3﹣22﹣|﹣ |×（﹣10）2
（2）4﹣（﹣2）﹣2﹣32÷（3.14﹣π）0．
【答案】（1）-37（2）﹣5
【详解】试题分析：（1）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘法运算，最后算加减运
算即可得到结果；
（2）原式先利用乘方、零指数幂、负整数指数幂法则计算，再计算除法运算，最后算加减
运算即可得到结果．
试题解析：（1）原式=﹣8﹣4﹣ ×100=﹣8﹣4﹣25=﹣37；
（2）原式=4﹣ ﹣9÷1=4﹣ ﹣9=﹣5 ．
18．观察下列等式
_________
将以上三个等式两边分别相加得：
.
（1）猜想并写出： ；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① ；
② ；
（3）探究并计算： ．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
【分析】（1）观察所给算式，根据观察到的规律写出即可；
（2）①、②都是根据得出的规律展开，再合并，最后求出结果即可；
（3）根据观察到的规律展开，然后合并，即可求出结果.
【详解】解：（1）
故答案为 ；（2）①原式= +…+ =1- ；
②原式= +…+ =1- ，
故答案为 ， ；
（3）
所以：原式= ×
= × = .
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，能根据已知算式得出 这一规律
是解题的关键.
19．．如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且a、b满足
．
(1)则a= ，b= ；
(2)动点P从A点出发，以每秒10个单位的速度沿数轴向右运动，到达B点停留片刻后立
即以每秒6个单位的速度沿数轴返回到A点，共用了6秒；其中从C到B，返回时从B到
C(包括在B点停留的时间)共用了2秒．
①求C点表示的数c；
②设运动时间为t秒，求t为何值时，点P到A、B、C三点的距离之和为23个单位？
【答案】（1）a=－8，b=12；（2）7；（3）1.2；1.8；3；4.
【详解】试题分析：（1）根据偶次方以及绝对值的非负性即可求出a、b的值；
（2）设AC=x，根据在AC上往返运动用时为6-2=4秒列方程求解即可；
（3）分4种情况进行分类讨论即可得解.
试题解析：（1）∵
∴a+8=0，b-12=0，
解得：a=-8，b=12；
（2）设AC=x，根据题意得：
，
解得x=15，c=—8+15=7；
（3）①当P从A到B在AC上运动时，设t秒时，点P到A、B、C三点的距离之和为23
个单位，根据题意得：
-8+10t+7-10+12-10t=23
解得：t=1.2
②当P从A到B在CB上运动时，设t秒时，点P到A、B、C三点的距离之和为23个单位，
根据题意得：
10t+10t-7+12-10t=23
解得：t=1.8
同理可得：t=3或t=4.
20．我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数
运算．
定义：如果ab=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作logN=b．
a
例如：因为53=125，所以log 125=3；因为112=121，所以log 121=2．
5 11
（1）填空：log 6= ，log 81= ．
6 3
（2）如果log （m﹣2）=3，求m的值．
2
（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“logMN=logM•logN（a＞0，a≠1，M＞0，N
a a a
＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加
以改正．
【答案】（1）1、4；（2）m=10；（3）不正确，理由见解析.
【分析】（1）根据题目中所给对数的定义分别进行计算即可得解；（2）根据题目中所给
对数的定义可得m﹣2=23，然后求解即可；（3）不正确，设ax=M，ay=N，根据对数的定
义可得logM=x，logN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），又因ax•ay=ax+y，可得
a a
ax+y=M•N，所以logMN=x+y，即logMN=logM+logN．
a a a a
【详解】（1）∵61=6，34=81，
∴log 6=1，log 81=4，
6 3
故答案为1、4；
（2）∵log （m﹣2）=3，
2
∴m﹣2=23，解得：m=10；
（3）不正确，
设ax=M，ay=N，
则logM=x，logN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
a a
∵ax•ay=ax+y，
∴ax+y=M•N，
∴logMN=x+y，
a
即logMN=logM+logN．
a a a
【点睛】本题是阅读理解题，读懂题目信息，理解对数的定义是解题的关键．21．计算：
（1） ÷7；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
【答案】（1）－2 ；（2） ；（3） ；（4）-1；（5） ．
【分析】（1）利用有理数的混合运算法则和乘法分配律、结合律计算即可完成；
（2）根据有理数混合运算法则，结合乘法分配律计算即可得答案；
（3）根据有理数混合运算法则计算即可得答案；
（4）根据有理数混合运算法则计算即可得答案；
（5）先根据有理数混合运算法则，结合乘法分配率求出第一个加数的值，进而根据第二个
加数是第一个加数的倒数即可求出第二个加数的值，最后计算加法即可得答案．
【详解】（1）(－28 ＋14 )÷7
＝（－28－ ＋14+ )×
＝－4－ ＋2+
＝－2 ．
（2）(－13 )÷5－1 ÷5＋13×
＝(－13 )× －1 × ＋13×
＝(－13－ －1－ ＋13)×
＝－2×＝－ ．
（3）1 ×[3×(－ )－1]－ ×(－8)－8
＝ ×(－2－1)＋ －8
＝－ ＋ －8
＝－ ．
（4）－|－ |－|－ × |－| － |
＝－ － －( － )
＝－ － － ＋
＝－1．
（5）(2 －3 ＋ )÷(－1 )＋(－1 )÷(2 －3 ＋ )
∵(2 －3 ＋ )÷(－1 )
＝( － ＋ )×(－ )
＝ ×(－ )－ ×(－ )＋ ×(－ )＝－2＋3－ ＝ ，
∴(－1 )÷(2 －3 ＋ )= ，∴原式= + = ．
【点睛】本题考查有理数的混合运算和运算律的运用，熟练掌握有理数的运算法则以及运
算律是解题关键．
22．阅读理解：对于有理数a、b， 的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；
的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如： 的几何
意义即数轴表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：
(1) 的几何意义：_____________；若 ，那么x的值是_________．
(2) 的几何意义：________________； 的最小值是______________
(3) 的最小值是多少？【答案】(1)数轴上表示x的点与表示 的点之间的距离， 或
(2)数轴上表示x的点与表示 的点之间的距离与数轴上表示 的点与表示 的点之间的距
离之和，
(3)
【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解；
（2）根据绝对值的几何意义即可求解；
（3）根据绝对值的几何意义即可求解．
【详解】（1） 的几何意义：数轴上表示x的点与表示 的点之间的距离，
若 ，即 或 ，
解得 或 ，则x的值是 或 ，
故答案为：数轴上表示x的点与表示 的点之间的距离， 或
（2） 的几何意义：数轴上表示x的点与表示 的点之间的距离与数轴上表示
的点与表示 的点之间的距离之和，
当 时， 的最小值是为
故答案为：数轴上表示x的点与表示 的点之间的距离与数轴上表示 的点与表示 的点
之间的距离之和，
（3）解：∵ 表示 到 的点的距离的
和，
∴当 时， 最小，
最小值为
．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，有理数的混合运算，绝对值方程，掌握绝对值的
几何意义是解题的关键．
