4.1 整式
课标要点
1. 在现实情境中理解用字母表示数，能分析简单数量关系，列出单项式、多项式；
2. 理解整式、单项式、多项式定义，分清三者包含关系；
3. 掌握单项式系数、次数；多项式的项、常数项、次数，能正确判定；
4. 能区分整式与分式、根式代数式，辨别单项式、多项式；
5. 会根据实际问题列整式，并代入数值求整式的值。
学习重难点
重点：
1. 单项式定义，准确找出单项式的系数、次数；
2. 多项式定义，分清多项式的各项（带符号）、常数项、最高次数；
3. 区分单项式、多项式，掌握整式判断方法；
4. 根据题意列简单整式，并代入求值。
难点：
1. 含负号、分数、π 的单项式系数识别（π 是常数，不算字母）；
2. 拆分多项式各项时遗漏前面正负符号；
3. 区分 “单项次数” 与 “多项式次数”，常数项次数为 0 易忽略；
4. 快速排除分母含字母、根号带字母的非整式；
5. 从文字应用题中抽象数量关系，正确写出整式。
第四章
整式的加减
知识点
单项式
◆1、单项式的定义：
数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
◆、判断单项式的方法：
（1）单独一个数或一个字母也是单项式.
（2）不含加减运算，单项式只含有乘积运算.
（3）单项式数字因数与字母可能一个或多个.
（4）可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算．
◆3、单项式的系数、次数
（1）系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
（2）次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
（3）确定单项式的系数及次数时，应注意：
① 圆周率 π 是常数；
② 当一个单项式的系数是 1 或 －1 时，“1”通常省略不写；
③ 单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
④ 对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0.
随学随练
1．（25-26 六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（ ）
A．−15𝑎3 +𝑏
B．
3
𝑏
C．
2𝑥−𝑦
5
D．−𝑎
【答案】D
【分析】单项式的定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个
单项式的和为多项式，分母含有字母的代数式不是单项式．
【详解】解：A、−15𝑎3 +𝑏是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求；
B、
3
𝑏的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求；
C、
2𝑥−𝑦
5
=
2
5𝑥+ −
1
5 𝑦，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求；
D、−𝑎是−1与𝑎的积，符合单项式的定义，符合要求．
2．（25-26 七年级上·湖南·期末）下列说法错误的是（ ）
A．−
2
3𝑥2𝑦的系数是−
2
3
B．0是单项式
C．
2
3𝑥𝑦的次数是1
D．−𝑥是一次单项式
【答案】C
【分析】本题考查单项式的系数、次数和定义，关键是熟练利用知识点进行判断；单项式的系数是数字因
数，次数是所有字母的指数和，单独的数字和字母也是单项式.
【详解】解：∵ 单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，单独的数字和字母也是单项式，
∴
2
3𝑥𝑦中，𝑥的指数为1，𝑦的指数为1，次数为1 + 1 = 2，
∴ 选项C 错误，选项A、B、D 均正确.
故选：C．
3．（25-26 七年级上·福建泉州·期中）若(𝑚−2)𝑥3𝑦|𝑚|是关于x，y 的五次单项式，则m 的值为____．
【答案】−2
【分析】本题主要考查单项式的次数。根据五次单项式的定义，所有变量的指数之和为5，且系数不能为零，
由此建立方程求解．
【详解】解：由于该式是关于𝑥,𝑦的五次单项式，因此次数为𝑥的指数与𝑦的指数之和，即3 + |𝑚| = 5.
解方程得|𝑚| = 2，
所以𝑚= 2或𝑚= −2．
又因为单项式的系数不能为零，即𝑚−2 ≠0，
所以𝑚≠2，
因此，𝑚= −2．
故答案为：−2．
知识点
多项式
◆1、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.
◆2、多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数
项.
（1）单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a 个单项式，次数是b，那么这个多项式就
叫b 次a 项式．
（2）多项式的每一项包含它前面的符号．
◆3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数多项式中次数最高的项的次数叫做多
项式的次数．
（1）要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；
（2）一个多项式的最高次项可以不唯一.
（3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式.
随学随练
1．下列代数式
𝑚−𝑛
2 ，0，
1
3𝑎2 +2，
1
𝑥−1，𝑚2 + 𝑛2，𝜋−6，5𝑎2𝑏3𝑐中，多项式的个数有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】A
【分析】根据多项式是几个单项式的和逐个判断即可．
【详解】解：
𝑚−𝑛
2 、
1
3𝑎2 +2、𝑚2 + 𝑛2为多项式，
0、𝜋−6、5𝑎2𝑏3𝑐为单项式，
1
𝑥−1不是整式；
故选A．
【点睛】本题考查多项式的定义，要细致掌握概念并灵活运用是解题的关键，同时注意π 不是字母是数字，
是易错点．
2．多项式
1
3𝑥|𝑚|−(𝑚−5)𝑥2 +6是关于𝑥的五次三项式，则𝑚的值为（ ）
A．5
B．−5
C．5 或−5
D．3
【答案】B
【分析】根据多项式次数和项的定义进行求解即可．
【详解】解：∵多项式
1
3𝑥|𝑚|−(𝑚−5)𝑥2 +6是关于𝑥的五次三项式，
∴|𝑚| = 5，𝑚−5 ≠0，
∴𝑚= −5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，熟知相关定义是解题的关键：几个单项式的和的形式
叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做
多项式的次数．
知识点
整式
（1）单项式和多项式统称整式.
（2）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式一定是整式，整式一定是代数式，
但反过来不一定成立.
（3）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式.
随学随练
1．（25-26 七年级上·广东揭阳·期末）代数式
3
2𝑥，
4
𝑥−𝑦，𝑥+ 𝑦，
𝑥2+2
π ，
9
8中，是整式的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】本题主要考查了整式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也
是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案．
【详解】解：代数式
3
2𝑥，
4
𝑥−𝑦，𝑥+ 𝑦，
𝑥2+2
π ，
9
8中，整式有
3
2𝑥，𝑥+ 𝑦，
𝑥2+2
π ，
9
8，共4 个，
故选：D．
2．（25-26 七年级上·全国·课后作业）将式子
1
3,
1
𝑥+2,
𝑥
3−𝑦,π(𝑥2−𝑦2),
1
6𝑎2,7𝑥−1,𝑦2 +8𝑥,9𝑎2 +
1
𝑎−2填入相应的大
括号中．
单项式：{ …}；
多项式：{ …}；
整式：{ …}．
【答案】见解析
【分析】本题考查单项式与多项式的概念，熟练掌握多项式和单项式的概念，能进行正确的分类是解题的
关键．
由数与字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式是由若干个单项式
的和组成的代数式；单项式和多项式统称整式．
【详解】解：单项式：
1
3 ，
1
6 𝑎2 ；
多项式：
𝑥
3 −𝑦，π(𝑥2−𝑦2)，7𝑥−1，𝑦2 + 8𝑥；
整式：
1
3 ，
𝑥
3 −𝑦，π(𝑥2−𝑦2)，
1
6 𝑎2，7𝑥−1，𝑦2 + 8𝑥．
题型一 单项式的有关概念
▌例1 （25-26 七年级上·上海·期中）在整式5𝑥2𝑦，
𝑎−𝑏
2 ，−
𝑚𝑛
2 ，𝑎，𝑎2 +2中，单项式的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即
可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，
几个单项式的和为多项式．
【详解】解：∵5𝑥2𝑦是数与字母的乘积，是单项式
∵
𝑎−𝑏
2 =
1
2𝑎−
1
2𝑏，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式
∵−
𝑚𝑛
2 是数与字母的乘积，是单项式
∵𝑎是单独的一个字母，是单项式
∵𝑎2 +2是单项式𝑎2和单项式2的和，属于多项式，不是单项式
综上，单项式共有3个，因此选C．
▌对点练1-1 下列代数式中，不是单项式的是（ ）
A．𝑎3
B．3𝑎
C．
𝑎
3
D．𝑎+ 3
解题贴士
1、数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的次数只
与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
2、在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a 或﹣a 这样的式子的系数是1 或﹣1，
不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
【答案】D
【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的
数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式．
【详解】解：A.𝑎3是符合单项式定义，属于单项式；
B.3𝑎是数与字母的积，属于单项式；
C.
𝑎
3是
1
3与𝑎的积，属于单项式；
D.𝑎+ 3是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式．
▌对点练1-2 （23-24 七年级上·上海·期中）下列各代数式中，是五次单项式的是（
）
A．5𝑎𝑏5
B．32𝑎2𝑏
C．−𝑎2𝑏3
D．4𝑎5−𝑏
【答案】C
【分析】单项式是数与字母的积组成的代数式，单项式的次数为所有字母的指数和，根据定义计算各选项
即可判断．
【详解】解：A、5𝑎𝑏5的次数为1 + 5 = 6 ，是六次单项式，不符合要求；
B、32𝑎2𝑏 的次数为2 + 1 = 3 ，是三次单项式，不符合要求；
C、−𝑎2𝑏3的次数为2 + 3 = 5 ，是五次单项式，符合要求；
D、4𝑎5−𝑏不是单项式，不符合要求．
▌对点练1-3 下列说法正确的是（ ）．
A．单项式x 的系数是0
B．单项式32𝑎𝑏𝑐的次数是5
C．单项式−
2
5π𝑥𝑦2的系数是−
2
5
D．单项式−52𝑎2𝑏的次数是3
【答案】D
【详解】解：单项式𝑥的系数是1，A 错误；
单项式32𝑎𝑏𝑐的次数是1 + 1 + 1 = 3，B 错误；
单项式−
2
5𝜋𝑥𝑦2的系数是−
2
5𝜋，C 错误；
单项式−52𝑎2𝑏的次数是2 + 1 = 3，D 正确．
题型二 利用单项式的相关概念求值
▌例2 若(𝑚+ 2)2𝑥2𝑦𝑛−2是关于x，y 的五次单项式，则常数m，n 满足的条件是（ ）
A．𝑛= 5，𝑚= −1
B．𝑛= 5，𝑚≠−2
C．𝑛= 3，𝑚≠−2
D．𝑛= 5，m 为任意数
【答案】B
【分析】此题考查了单项式的次数和系数．根据单项式系数不为0 和次数为5 得到𝑚+ 2 ≠0，
2 + 𝑛−2 = 5，即可求出答案．
【详解】解：∵(𝑚+ 2)2𝑥2𝑦𝑛−2是关于x，y 的五次单项式，
∴𝑚+ 2 ≠0，2 + 𝑛−2 = 5，
解得𝑛= 5，𝑚≠−2，
故选：B
▌对点练2-1 若﹣ax2yb+1 是关于x、y 的五次单项式，且系数为﹣
1
2，则a、b 的值分别是（ ）
A．
1
2，1
B．﹣
1
2，﹣1
C．﹣
1
2，2
D．
1
2，2
【答案】D
【分析】系数为该式子最前面的数，又是关于x、y 的五次单项式可得答案.
【详解】解：系数为-
1
2，所以a=
1
2，
又因为是关于x、y 的五次单项式，
则2+b+1=5，
所以b=2，
故选：D.
【点睛】本题考查了单项式的次数与系数，熟悉掌握概念是解决本题的关键.
▌对点练2-1 （25-26 七年级上·全国·课后作业）若单项式−
3
4𝜋𝑥𝑚𝑦𝑛𝑧3是关于𝑥,𝑦,𝑧的九次单项式，那么
𝑚+ 𝑛= ______．
【答案】6
【分析】本题考查了单项式的次数，根据单项式的次数的定义即可求解，掌握单项式的次数的定义是解题
的关键．
解题贴士
根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方
程，求出方程的解即可.
【详解】解：∵单项式−
3
4𝜋𝑥𝑚𝑦𝑛𝑧3是关于𝑥,𝑦,𝑧的九次单项式，
∴𝑚+ 𝑛+ 3 = 9，
∴𝑚+ 𝑛= 6，
故答案为：6．
▌对点练2-3 （24-25 七年级上·湖南衡阳·期中）已知𝑥2𝑦𝑎+ (𝑏+ 2)是关于𝑥、𝑦的五次单项式，求𝑎2 +3𝑎𝑏
的值．
【答案】−9
【分析】本题考查了单项式，代数式求值，根据题意可得2 + 𝑎= 5，𝑏+ 2 = 0，求出𝑎、𝑏的值，再代入代
数式计算即可求解，由单项式的有关概念求出𝑎、𝑏的值是解题的关键．
【详解】解：∵𝑥2𝑦𝑎+ (𝑏+ 2)是关于𝑥、𝑦的五次单项式，
∴2 + 𝑎= 5，𝑏+ 2 = 0，
∴𝑎= 3，𝑏= −2，
∴𝑎2 +3𝑎𝑏= 32 +3 × 3 × (−2) = −9．
题型三 多项式的判断
▌例3（25-26 七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（ ）
A．2𝑎2
B．
3
8𝑚2−5𝑛
C．𝑥𝑦𝑧
D．−
2
3𝑣𝑡
【答案】B
【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多
项式．
【详解】解：A：2𝑎2是数与字母的积，属于单项式；
B：
3
8𝑚2−5𝑛是两个单项式
3
8𝑚2与−5𝑛的和，属于多项式；
C：𝑥𝑦𝑧是数与字母的积，属于单项式；
D：−
2
3𝑣𝑡是数与字母的积，属于单项式；
故选：B．
▌对点练3-1 （25-26 七年级上·河北秦皇岛·期末）在代数式
1
3𝑥𝑦、
𝑥+3𝑦
2 、2𝑥𝑦2−𝑦+ 1、5、
1
𝑥、𝑥3−𝑥2−4中，
多项式有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题考查多项式的判断，根据多项式的定义，几个单项式的和的形式，进行判断即可．
【详解】解：在代数式
1
3𝑥𝑦、
𝑥+3𝑦
2 、2𝑥𝑦2−𝑦+ 1、5、
1
𝑥、𝑥3−𝑥2−4中，多项式有
𝑥+3𝑦
2 、2𝑥𝑦2−𝑦+ 1、𝑥3−𝑥2
−4，共3 个；
故选B．
▌对点练3-2
𝑧𝑥
3 ；3𝑎+ 2𝑏；
2𝑎
π ；−π𝑟2；
5
𝑥；
𝑥𝑦
2 −3；0；𝑥2−𝑏𝑥+ 1其中单项式有
个，多项式有___个．
【答案】
4
3
【分析】由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式
的和叫做多项式．
【详解】解：其中单项式有
𝑧𝑥
3 ，
2𝑎
π ，−π𝑟2，0，共4 个；
多项式有3𝑎+ 2𝑏，
𝑥𝑦
2 −3，𝑥2−𝑏𝑥+ 1，共3 个．
▌对点练3-3（25-26 七年级上·云南昭通·阶段检测）把下列各式填在相应的大括号里（填序号）：
①𝑥−7，②
1
3𝑥，③4𝑎𝑏，④5−
𝑥
3，⑤y，⑥
𝑥
7 +
𝑦
7，⑦𝑥2 +
𝑥
2 +1，⑧8𝑎3𝑥，⑨−1
单项式集合{ …}；
多项式集合{ …}．
【答案】②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦
【分析】本题主要考查的是整式，掌握单项式、多项式的定义是解题的关键．
根据单项式、多项式的定义解答即可．
【详解】解：单项式有：
1
3𝑥，4𝑎𝑏，𝑦，8𝑎3𝑥，−1，
即单项式集合{②③⑤⑧⑨…}；
多项式有：𝑥−7，5−
𝑥
3，
𝑥
7 +
𝑦
7，𝑥2 +
𝑥
2 +1；
则多项式集合{①④⑥⑦…}．
解题贴士
多项式核心：多个单项式相加 / 相减，最少两项；单独一个单项式不是多项式。
故答案为：②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦．
题型四 多项式的项、次数、系数
▌例4（2026·浙江·模拟预测）对于多项式𝑎2𝑏+ 𝑎𝑏+ 3，这个多项式的次数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【详解】解：多项式𝑎2𝑏+ 𝑎𝑏+ 3中，最高次项为𝑎2𝑏，次数为2 + 1 = 3，
故这个多项式的次数是3.
▌对点练4-1 （23-24 七年级上·上海·期中）下列各多项式中，是四次三项式的是（
）
A．2𝑥2−3𝑥𝑦+ 𝑦2
B．𝑥2 +2𝑦+ 𝑧3 +1
C．−2𝑥+ 7𝑥2𝑦2
D．7𝑥3𝑦+ 4𝑥𝑦+ 6𝑥𝑦3
【答案】D
【分析】多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是多项式中单项式的个数，据此判断各选项
即可得到答案．
【详解】解：A、多项式2𝑥2−3𝑥𝑦+ 𝑦2有三项，且次数最高的项的次数为2，，是二次三项式，不符合题意；
B、多项式𝑥2 +2𝑦+ 𝑧3 +1有四项，且次数最高的项的次数为3，，是三次四项式，不符合题意；
C、多项式−2𝑥+ 7𝑥2𝑦2有两项，且次数最高的项的次数为4，是四次二项式，不符合题意；
D、多项式7𝑥3𝑦+ 4𝑥𝑦+ 6𝑥𝑦3有三项，且次数最高的项的次数为4，是四次三项式，符合题意；
▌对点练4-2 （2026·青海西宁·二模）下列说法中正确的是（ ）
A．单项式
1
3𝜋𝑥的次数为1，系数是
1
3
B．单项式2𝑚2𝑛和3𝑛𝑚2是同类项
解题贴士
1.找项：拆分每一项时必须带着前面的正负符号，不含字母的项叫常数项。
2 求系数：只看每一项字母前面的数字，正负号要一起带上。
3.要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；
C．多项式2𝑥2𝑦+ 3𝑥𝑦−4是二次三项式
D．多项式−𝑥2 +2𝑥−1的项是−𝑥2，2𝑥和1
【答案】B
【分析】根据单项式的系数、次数，同类项，多项式的项、次数的定义，逐一判断选项即可得到答案．
【详解】解：A，单项式
1
3π𝑥的系数为
1
3π，次数为1，选项说法错误；
B，2𝑚2𝑛和3𝑛𝑚2所含字母相同，且相同字母的指数也相同，符合同类项定义，二者是同类项，选项说法正
确；
C，多项式2𝑥2𝑦+ 3𝑥𝑦−4的最高次项次数为2 + 1 = 3，共3项，该多项式是三次三项式，选项说法错误；
D，多项式−𝑥2 +2𝑥−1 的项是−𝑥2，2𝑥和−1，选项说法错误．
▌对点练4-3（25-26 七年级上·河北保定·阶段检测）多项式−𝑎2 +2𝑎𝑏3−5𝑎4𝑏−1的次数是____________．
【答案】
5
【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据这些单项式中的最高次项的次数，就是这个多项式的次数求
解即可，熟练掌握多项式的相关概念是解题的关键．
【详解】解：多项式−𝑎2 +2𝑎𝑏3−5𝑎4𝑏−1的次数是4 + 1 = 5，
故答案为：5．
题型五 整式的判断
▌例5 2 代数式𝑎+
1
2𝑎，4𝑥𝑦，
𝑎+𝑏
3 ，𝑎，2009，
1
2𝑎2𝑏𝑐，−
3𝑚𝑛
4 中，整式的个数是（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【答案】D
【分析】根据整式的定义，判断各代数式分母是否含字母，统计符合条件的个数即可．
【详解】解：𝑎+
1
2𝑎的分母含字母𝑎，不是整式，4𝑥𝑦，𝑎，2009，
1
2𝑎2𝑏𝑐，−
3𝑚𝑛
4 是单项式，属于整式，
𝑎+𝑏
3
是多项式，属于整式，
综上所述，整式的个数共6 个．
▌对点练5-1 （25-26 七年级上·河南开封·期末）在代数式𝑥2 +5,−5𝑥2 +6,π,
2026
𝑥2+1,𝑎2 +
1
𝑎，7 × 109,3𝑎2𝑏中，
整式有（ ）
A．7 个
B．6 个
C．5 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根
据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统
计符合条件的个数即可．
【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母，
对各代数式判断如下：
𝑥2 +5是多项式，属于整式；
−5𝑥2 +6是多项式，属于整式；
𝜋是单独的常数，属于单项式，是整式；
2026
𝑥2+1分母含字母，不是整式；
𝑎2 +
1
𝑎中
1
𝑎分母含字母，不是整式；
7 × 109是单独的常数，属于单项式，是整式；
3𝑎2𝑏是单项式，属于整式；
综上，整式共有5 个．
故选：C．
▌对点练5-2 （25-26 七年级上·江苏扬州·期中）在式子2025，−4𝑥𝑦，𝑥+ 𝑦−2，
1
𝑥，
𝑥+1
3 中，整式的个数是
________个．
【答案】4
【分析】本题考查了整式的定义．
根据整式的定义，单项式和多项式统称为整式，分母中不含字母，对每个式子进行判断即可．
【详解】解：2025 是常数，为单项式，属于整式；
−4𝑥𝑦是单项式，属于整式；
𝑥+ 𝑦−2是多项式，属于整式；
解题贴士
单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整
式.
1
𝑥分母含有字母，不是整式；
𝑥+1
3 是多项式，属于整式．
故整式个数为4．
故答案为：4．
▌对点练5-3（25-26 七年级上·全国·课后作业）（教材变式）下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项
式？哪些是整式？
𝑥+𝑦+𝑧
3
，4xy，
1
𝑎，
𝑚2𝑛
2 ，𝑥2 +𝑥+
1
𝑥，0，
1
𝑥2−2𝑥，m，−2.01 × 105．
整式：{ …}；
单项式：{ …}；
多项式：{ …}．
【答案】见解析
【分析】本题考查了单项式、多项式、整式，熟练掌握这些定义是解题的关键．
根据单项式、多项式、整式的定义判断即可．
【详解】解：整式：
𝑥+𝑦+𝑧
3
，4𝑥𝑦，
𝑚2𝑛
2 ，0，𝑚，−2.01 × 105；
单项式：4𝑥𝑦，
𝑚2𝑛
2 ，0，𝑚，−2.01 × 105；
多项式：
𝑥+𝑦+𝑧
3
．
故答案为：
𝑥+𝑦+𝑧
3
，4𝑥𝑦，
𝑚2𝑛
2 ，0，𝑚，−2.01 × 105；4𝑥𝑦，
𝑚2𝑛
2 ，0，𝑚，−2.01 × 105；
𝑥+𝑦+𝑧
3
．
题型六 利用多项式的相关概念求值
▌例6 如果𝑥|𝑚−1|𝑦2−(𝑚−3)𝑥𝑦+ 3𝑥是关于x，y 的四次三项式，那么𝑚= （ ）
A．−1
B．−1或3
C．3
D．−3
【答案】A
【详解】解：∵𝑥|𝑚−1|𝑦2−(𝑚−3)𝑥𝑦+ 3𝑥是关于𝑥，𝑦的四次三项式
∴|𝑚−1| +2 = 4，−(𝑚−3) ≠0，
解得𝑚= 3或𝑚= −1，𝑚≠3，
∴𝑚= −1．
▌对点练6-1 （25-26 七年级上·江西吉安·期末）多项式𝑥|𝑚|+1𝑦2−(𝑚−2)𝑥+ 5是关于𝑥，𝑦的五次三项式，
则𝑚的值是（ ）
A．−1
B．2
C．−2或−1
D．−2
【答案】D
【分析】本题考查了多项式的次数和项数．因为多项式为五次三项式，故需满足最高次项次数为5 且所有
三项系数均非零，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：∵多项式𝑥|𝑚|+1𝑦2−(𝑚−2)𝑥+ 5是关于𝑥,𝑦的五次三项式，
∴|𝑚| +1 + 2 = 5，且𝑚−2 ≠0，
∴|𝑚| = 2，且𝑚≠2，
∴𝑚= −2，
故选：D．
▌对点练6-2 （24-25 七年级上·湖南永州·阶段检测）已知关于x 的多项式(2𝑚+ 3)𝑥3 +𝑥−𝑥𝑛−5是二次三项
式，则𝑚𝑛= ______.
【答案】
9
4
【分析】本题考查多项式的次数问题，由多项式次数为2，为此知没有3次项，由此知2𝑚+ 3 = 0，这时最
高次项是−𝑥𝑛，可知𝑛的值问题得以解决．
【详解】解：∵关于𝑥的多项式(2𝑚+ 3)𝑥3 +𝑥−𝑥𝑛−5是二次多项式，
∴该多项式没有3次项，由此知2𝑚+ 3 = 0，𝑛= 2，
∴𝑚= −
3
2，
∴𝑚𝑛= −
3
2
2
=
9
4，
故答案为：
9
4．
▌对点练6-3 已知多项式−3𝑥3𝑦|𝑚+1| +𝑥𝑦3 + (𝑛−2)𝑥2𝑦2−4是六次三项式，求代数式(𝑚+ 1)2𝑛−3的值．
【答案】78
解题贴士
根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可.
【分析】首先根据多项式是六次三项式确定𝑚+ 1、𝑛的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵−3𝑥3𝑦|𝑚+1| +𝑥𝑦3 + (𝑛−2)𝑥2𝑦2−4是六次三项式，
∴|𝑚+ 1| = 3，且𝑛−2 = 0，
即𝑚+ 1 =± 3 ，且𝑛= 2，
当𝑚+ 1 = 3,𝑛= 2时，(𝑚+ 1)2𝑛−3 = 32×2−3 = 34−3 = 78；
当𝑚+ 1 = −3,𝑛= 2时，(𝑚+ 1)2𝑛−3 = (−3)2×2−3 = (−3)4−3 = 78；
综上，代数式(𝑚+ 1)2𝑛−3的值为78．
题型七 综合利用单项式、多项式的相关概念求值
▌例7（25-26 七年级上·陕西延安·阶段检测）已知关于m、n 的多项式−5𝑚2𝑛𝑥+1 +𝑚𝑛2−3𝑥𝑚3−𝑦的次数是
6，且与关于m、n 的单项式3𝑚2+𝑦𝑛5−𝑥的次数相同．
(1)求x、y 的值；
(2)求该多项式各项的系数之和．
【答案】(1)𝑥= 3；𝑦= 2
(2)−15
【分析】本题主要考查了单项式的次数和多项式的次数，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式次数的定
义．
（1）根据单项式的次数和多项式的次数的意义列方程可求x、y 的值；
（2）由（1）可得多项式−5𝑚2𝑛4 +𝑚𝑛2−9𝑚3−2，从而可得结论．
【详解】（1）解：根据题意可知，2 + 𝑥+ 1 = 6，
解得𝑥= 3．
由多项式与单项式的次数相同，可得2 + 𝑦+ 5−𝑥= 6，
解得𝑦= 2．
（2）解：由（1）可知，该多项式为−5𝑚2𝑛4 +𝑚𝑛2−9𝑚3−2，
所以该多项式各项的系数和为−5 + 1−9−2 = −15．
解题贴士
主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可．
▌对点练7-1 （25-26 七年级上·全国·期中）已知多项式−2𝑥2𝑦𝑚+1 +𝑥𝑦2−3𝑥3−6是六次四项式，单项式−𝑥2𝑛
𝑦5−𝑚与该多项式的次数相同，求m，n 的值．
【答案】𝑚= 3,𝑛= 2
【分析】本题考查多项式的次数，单项式的次数，根据单项式的次数为所有字母的指数和，多项式的次数
为次数最高项的次数进行求解即可．
【详解】解：∵多项式−2𝑥2𝑦𝑚+1 +𝑥𝑦2−3𝑥3−6是六次四项式，
∴2 + 𝑚+ 1 = 6，
∴𝑚= 3；
∵单项式−𝑥2𝑛𝑦5−𝑚与该多项式的次数相同，
∴2𝑛+ 5−𝑚= 6，即2𝑛+ 5−3 = 6，
∴𝑛= 2．
▌对点练7-2（24-25 七年级上·全国·课后作业）（1）如果(𝑘−5)𝑥|𝑘−2|𝑦3是关于x、y 的六次单项式，求k 的
值；
（2）若−2𝑎𝑥3𝑦|𝑏−3|是关于x、y 的单项式，且系数为8，次数为4，求a、b 的值．
【答案】（1）𝑘= −1；（2）𝑎= −4，𝑏= 2或𝑏= 4
【分析】本题主要考查了单项式、系数与次数，掌握与单项式有关的概念是关键．
（1）利用一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，利用六次单项式列方程求解即可；
（2）根据单项式的系数是数字因数，次数是字母指数和，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：（1）由题意，知|𝑘−2| + 3 = 6，且𝑘−5 ≠0，
所以𝑘= −1；
（2）由题意，知−2𝑎= 8，3 + |𝑏−3| = 4，
所以𝑎= −4，𝑏= 2或𝑏= 4．
▌对点练7-3 （23-24 七年级上·山西临汾·期中）已知多项式2𝑥3−𝑥𝑦4−𝑥2𝑦2 +3𝑥𝑦−5．
(1)写出该多项式的第2 项的系数和第4 项的次数．
(2)求这个多项式中各项系数之和．
(3)若这个多项式的次数和单项式9𝑥𝑘𝑦𝑘+1的次数相同，求k 的值．
【答案】(1)第2 项的系数为−1，第4 项的次数为2
(2)−2
(3)𝑘= 2
【分析】（1）根据多项式的系数及某一项的次数的定义即可求解．
（2）先找出各项的系数，再相加即可求解．
（3）根据多项式的次数与单项式的次数相等得：𝑘+ 𝑘+ 1 = 5，进而可求解．
【详解】（1）解：第2 项的系数为−1，第4 项的次数为2．
（2）根据题意得：
2 + (−1) + (−1) +3 + (−5) = −2．
（3）多项式的次数为5，
所以𝑘+ 𝑘+ 1 = 5，
解得：𝑘= 2．
【点睛】本题考查了多项式的系数、次数及单项式的次数，熟练掌握基础知识是解题的关键．
题型八 多项式中结论开放性问题
▌例8 （25-26 七年级上·全国·课后作业）开放题：至少写出两个只含有字母x，y 的多项式，且满足下列条
件的多项式为：____________.
（1）是五次三项式；
（2）每一项的系数均为1 或−1；
（3）每一项必须同时含有字母x，y，但不能含有其他字母．
（4）不含常数项．
【答案】𝑥4𝑦−𝑥3𝑦2 +𝑥𝑦4或−𝑥4𝑦+ 𝑥3𝑦2−𝑥2𝑦3（答案不唯一）
【分析】本题考查了多项式的项、项数与次数．多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，满足条件
（1），即最高项的次数为5，满足条件（2），多项式的系数是1或−1，满足条件（3），即多项式中每项
都含𝑥𝑦，不能有其他字母，满足条件（4），即多项式没有常数项．
【详解】解：此题答案不唯一，如𝑥4𝑦−𝑥3𝑦2 +𝑥𝑦4，−𝑥4𝑦+ 𝑥3𝑦2−𝑥2𝑦3．
故答案为：𝑥4𝑦−𝑥3𝑦2 +𝑥𝑦4，−𝑥4𝑦+ 𝑥3𝑦2−𝑥2𝑦3．
▌对点练8-1 有一个关于x，y 的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为：__．
【答案】𝑥3 + 𝑦3（答案不唯一）
【分析】根据多项式的项，组成多项式项的次数的概念即可求解．
解题贴士
本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键．
【详解】解：多项式𝑥3 + 𝑦3中𝑥3的次数为3，𝑦3的次数为3；
故答案为：𝑥3 + 𝑦3
【点睛】本题考查多项式中每项的次数，解题的关键是掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念．
▌对点练8-2 （25-26 七年级上·全国·单元复习）有一个关于x，y 的多项式，每项的次数都是3．
（1）这个多项式最多有________项．
（2）在（1）的条件下，若此时这个多项式各项系数和为0，则这个多项式可能为________________（写出
一个即可）．
【答案】(1)四
(2)𝑥3 + 𝑥2𝑦−𝑥𝑦2−𝑦3（答案不唯一）
【分析】本题考查了多项式，解题的关键是理解多项式的定义．
（1）根据多项式的定义分析即可得；
（2）根据多项式的系数、次数的定义即可得．
【详解】（1）解：因为这个多项式含有𝑥，𝑦，每项的次数都是3，且3 = 3 + 0 = 2 + 1 = 1 + 2 = 0 + 3
所以当它同时含有𝑥3，𝑦3，𝑥2𝑦，𝑥𝑦2时，它的项数最多，
即这个多项式最多有四项；
（2）满足要求的多项式为：𝑥3 + 𝑥2𝑦−𝑥𝑦2−𝑦3（答案不唯一）．
▌对点练8-3（26-27 七年级上·全国·课前预习）写出同时满足下列4个条件的一个多项式：
①该多项式含有字母𝑥和𝑦；
②该多项式第一项是常数项；
③该多项式是三次四项式；
④该多项式各项系数和为零．
【答案】3−𝑥+ 2𝑦−4𝑥𝑦2（答案不唯一）
【分析】本题考查了多项式的相关知识，根据题意正确写出符合要求的多项式是解题的关键．
根据题目的要求可直接写出符合条件的多项式，本题为开放题，答案不唯一．
【详解】解：写出同时满足所给4个条件的一个多项式如下：
3−𝑥+ 2𝑦−4𝑥𝑦2（答案不唯一）．
题型九 单项式中的规律探究问题
▌例9 观察下列关于𝑎 的单项式，探究其规律：𝑎,3𝑎2,5𝑎3,7𝑎4,9𝑎5,⋯，按照上述规律，第2024 个单项式是
（ ）
A．2024𝑎2024
B．4047𝑎2024
C．4048𝑎2023
D．4049𝑎2024
【答案】B
【分析】本题分别找出单项式系数和次数的规律，得到第n 个单项式的表达式，代入𝑛= 2024即可求解．
【详解】解：∵第1 个单项式为𝑎= (2 × 1−1)𝑎1，
第2 个单项式为3𝑎2 = (2 × 2−1)𝑎2，
第3 个单项式为5𝑎3 = (2 × 3−1)𝑎3，
……
∴第𝑛 个单项式为(2𝑛−1)𝑎𝑛，
当𝑛= 2024时，系数为2 × 2024−1 = 4047，次数为2024，
因此第2024个单项式是4047𝑎2024．
▌对点练9-1 9．（2026·云南昆明·模拟预测）一列代数式按以下规律排列：𝑥3，−2𝑥5，4𝑥7，−8𝑥9，16
𝑥11，…，第n 个代数式是（ ）
A．(−2)𝑛𝑥2𝑛−1
B．(−2)𝑛𝑥2𝑛+1
C．(−2)𝑛−1𝑥2𝑛+1
D．(−2)𝑛−1𝑥2𝑛−1
【答案】C
【分析】分别从系数、𝑥的次数两个部分分析规律，整合后即可得到第𝑛个代数式．
【详解】解：由题可知，系数分别是1，−2，4，−8，16，⋯，
即第1 项系数为1，第2 项系数为−2 = 1 × (−2) = (−2)1，第3 项系数为4 = −2 × (−2) = (−2)2，第4 项
系数为−8 = 4 × (−2) = (−2)3，第5 项系数为16 = −8 × (−2) = (−2)4，⋯
则系数规律为(−2)𝑛−1；
𝑥的次数分别是3，5，7，9，11，⋯，
即第1 项次数为3 = 2 × 1 + 1，第2 项次数为5 = 2 × 2 + 1，第3 项次数为7 = 2 × 3 + 1，第4 项次数为
9 = 2 × 4 + 1，第5 项次数为11 = 2 × 5 + 1，⋯
则𝑥的次数规律为2𝑛+ 1；
∴第𝑛个代数式为(−2)𝑛−1𝑥2𝑛+1．
▌对点练9-2 （2026·河南南阳·二模）一组按规律排列的代数式为：𝑎2，
𝑎4
3 ，
𝑎6
5 ，
𝑎8
7 ，
𝑎10
9 ，⋯，第𝑛个代数
解题贴士
对于与单项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化
规律，利用找到的规律解决此类问题.
式为
．
【答案】
𝑎2𝑛
2𝑛−1
【分析】分别观察已知代数式中分母和字母次数的变化规律，归纳得到一般结论
【详解】解：观察已知代数式可得：
第1个代数式为𝑎2 =
𝑎2×1
2×1−1，
第2个代数式为
𝑎4
3 =
𝑎2×2
2×2−1，
第3个代数式为
𝑎6
5 =
𝑎2×3
2×3−1，
...
由此归纳可得，第𝑛个代数式中，𝑎的次数为2𝑛，分母为2𝑛−1，
因此第𝑛个代数式为
𝑎2𝑛
2𝑛−1
▌对点练9-3（25-26 七年级上·全国·课后作业）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式：
−2𝑥，4𝑥2，
，16𝑥4，−32𝑥5，64𝑥6，…
(1)第3 个单项式应该是
．
(2)按此规律排列，次数是7 的单项式的系数应该是
．
(3)第n 个单项式应该是
．
【答案】(1)−8𝑥3
(2)−128
(3)(−2)𝑛𝑥𝑛
【分析】本题主要考查了单项式,确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的
积，是找准单项式的系数和次数的关键，解决本题的关键是要分别找出单项式的系数和次数的规律．
（1）通过观察可得到答案；
（2）根据题意得，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数，系数为(−2)𝑛，字母为𝑥𝑛，
得出第n 个单项式为(−2)𝑛𝑥𝑛，然后将𝑛= 7代入计算即可；
（3）根据题意即可求解．
【详解】（1）解：依题意得，故第3 个单项式的系数为(−2)3 = −8，第3 个单项式的字母为𝑥3，
∴第3 个单项式为−8𝑥3；
故答案为：−8𝑥3；
（2）解：根据题意得：各单项式系数均为偶数，依次为−2 = (−2)1，4 = (−2)2，……，16 = (−2)4，
−32 = (−2)5，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数，
第n 个单项式的系数为(−2)𝑛，第n 个单项式的字母为𝑥𝑛，
∴第n 个单项式为(−2)𝑛𝑥𝑛，
∴当𝑛= 7时，(−2)7 = −128，
故答案为：−128；
（3）由（2）得第n 个单项式应该是(−2)𝑛𝑥𝑛，
故答案为：(−2)𝑛𝑥𝑛．
题型十 多项式中的规律探究问题
▌例10 有一组多项式：𝑎−𝑏2，𝑎3 + 𝑏4，𝑎5−𝑏6，𝑎7 + 𝑏8，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的
规律写出第𝑛个多项式为________．
【答案】𝑎2𝑛−1 + (−1)𝑛𝑏2𝑛
【分析】观察已知多项式，得出一般性规律，确定出第n 个多项式即可．
【详解】解：根据题意，
∵𝑎−𝑏2，𝑎3 + 𝑏4，𝑎5−𝑏6，𝑎7 + 𝑏8，．．．，
∴第n 个多项式为：𝑎2𝑛−1 + (−1)𝑛𝑏2𝑛；
故答案为：𝑎2𝑛−1 + (−1)𝑛𝑏2𝑛．
【点睛】此题考查了多项式，找出正确的规律是解本题的关键．
▌对点练10-1 有一组多项式：a－b2，a3＋b4，a5－b6，a7＋b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规
律写出第10 个多项式为________，第n 个多项式为________．
【答案】
a19＋b20
a2n－1＋(－1)nb2n
【详解】分析：首先观察归纳，可得规律：第n 个多项式为：a2n－1＋(－1)nb2n，然后将n=10 代入，即可求
得答案.
解题贴士
对于与多项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化
规律，利用找到的规律解决此类问题.
详解：由题意可知，第10 个多项式为：a19＋b20；第n 个多项式为：a2n－1＋(－1)nb2n.
故答案为a19＋b20；a2n－1＋(－1)nb2n.
点睛：此题属于一道规律性题目.此题难度系数并不大，注意找到第n 个多项式为：a2n－1＋(－1)nb2n 是解答
此题的关键.
▌对点练10-2 有一个多项式为a10－a9b＋a8b2－a7b3＋…，按这种规律写下去．
（1）写出它的第六项和最后一项；
（2）这个多项式是几次几项式？
【答案】（1）𝑎5𝑏5，𝑏10 ；（2）10 次11 项式．
【详解】试题分析：（1）根据多项式的项可以得到奇数项是正，偶数项是负，b 的指数是项的序号减去1，
而每项的指数都是10，据此即可判断．
（2）根据（1）的规律应该有11 项，每项的次数都是10．
试题解析：(1)第六项：−a5b5，最后一项：b10；
(2)十次十一项式.
点睛：本题考查了多项式的有关概念，解题的关键是要理解多项式的项、次数、项数等概念的意义.
▌对点练10-3（2024 七年级上·全国·专题练习）观察多项式𝑥−3𝑥2 +5𝑥3−7𝑥4 +…的构成规律，并回答下列
问题：
(1)它的第100 项是什么？
(2)它的第𝑛(𝑛为正整数)项是什么？
(3)当𝑥= 1时，求前2014 项的和．
【答案】(1)−199𝑥100
(2)(−1)𝑛+1(2𝑛−1)𝑥𝑛
(3)−2014
【分析】此题考查了多项式规律探究， 弄清题中规律是解本题的关键 ．
（1） 根据多项式得出规律， 确定出第 100 项即可；
（2） 写出得出的规律即可；
（3） 把𝑥= 1代入多项式计算即可求出 ．
【详解】（1）解：根据题意得： 第 100 项为−199𝑥100；
（2）解：根据题意得： 第𝑛项为(−1)𝑛+1(2𝑛−1)𝑥𝑛；
（3）解：把𝑥= 1代入得：1−3 + 5−7 + … + 4025−4027 = −2−2…−2(1007个−2相加) = −2014．
基础通关
1．（2024·广东湛江·模拟预测）单项式−4𝑎2𝑏3的次数是（ ）
A．2
B．5
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据单项式次数的定义，计算单项式中所有字母的指数和即可得到答案．
【详解】解：根据定义，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，
∵单项式−4𝑎2𝑏3中，字母𝑎的指数为2，字母𝑏的指数为3，
∴该单项式的次数为2 + 3 = 5．
2．（25-26 七年级上·福建宁德·期中）下列代数式中，属于多项式的是（ ）
A．−5
B．𝑎5𝑏
C．𝑎−5𝑏
D．−5𝑏
【答案】C
【分析】本题主要考查了多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．注意不要与单项式的定义相混淆．
根据多项式的定义判定即可．
【详解】解：∵几个单项式的和叫做多项式，
故选项C 中𝑎−5𝑏是单项式a 和−5𝑏的和，符合定义，
故选：C．
3．下列说法错误的是（ ）
A．3𝑥2−4𝑥𝑦+ 1是二次三项式
B．−𝑥+ 1是多项式
C．−
2
3π𝑥𝑦2的系数是−
2
3π
D．−22𝑥𝑎𝑏2的次数是6
【答案】D
【分析】本题考查多项式与单项式的基本概念，包括多项式的次数，项数定义，单项式的系数，次数定义，
根据概念逐一判断各选项即可．
【详解】解：A、多项式3𝑥2−4𝑥𝑦+ 1的最高次项次数为2，共3 项，是二次三项式，说法正确，故此选项
不符合题意；
B、−𝑥+ 1是单项式−𝑥与1的和，是多项式，说法正确，故此选项不符合题意；
C、单项式−
2
3𝜋𝑥𝑦2的数字因数为−
2
3𝜋，因此系数是−
2
3𝜋，说法正确，故此选项不符合题意；
D、∵单项式−22𝑥𝑎𝑏2中，只有字母的指数计入单项式次数，所有字母的指数和为1 + 1 + 2 = 4，∴该单项
式的次数是4，不是6，原说法错误，符合题意．
4．下列说法错误的是（ ）
A．由数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式．
B．几个单项式的和叫做多项式．
C．单项式与多项式统称整式．
D．一个数字不是一个单项式，它的次数是0．
【答案】D
【分析】根据单项式、多项式、整式的定义辨析各选项的正误．
【详解】A．由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，因为单独一个数或一个字母可以看作数与字母乘
积的特殊形式（如5 = 5𝑥0，𝑎= 1 ⋅𝑎= 1），故该选项不符合题意；
B．几个单项式的和叫做多项式，该说法符合定义，不符合题意；
C．单项式与多项式统称整式，该说法符合定义，不符合题意；
D．单独的一个数字是单项式，它的次数是0，故本选项说说法错误，符合题意．
5．（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列代数式：（1）−
1
2𝑚𝑛，（2）𝑚，（3）
1
2，（4）
𝑏
𝑎，（5）
2𝑚+ 1，（6）
𝑥−𝑦
5 ，（7）
2𝑥+𝑦
𝑥−𝑦，（8）𝑥2 +2𝑥+
2
3，（9）𝑦3−5𝑦+
3
𝑦中，则其中单项式有___________个
【答案】3
【分析】本题考查单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项
式．由单项式的概念，即可判断．
【详解】解：代数式（1）是数字与字母的积，是单项式；
（2）是单独字母，是单项式；
（3）是单独数字，是单项式；
（4）分母有字母，是分式；
（5）是多项式；
（6）是多项式；
（7）分母有字母，是分式；
（8）是多项式；
（9）分母有字母，是分式；
故单项式有3 个；
故答案为：3．
6．（25-26 七年级上·四川成都·期末）单项式−
7𝑥2𝑦
5 的系数是______ ，次数是______ ．
【答案】
−
7
5
3
【分析】根据单项式系数与次数的定义求解，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中，所
有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【详解】解：单项式−
7
5𝑥2𝑦的数字因数是−
7
5，因此它的系数是−
7
5，
单项式中字母𝑥的指数为2，字母𝑦的指数为1，所有字母的指数和为2 + 1 = 3，因此它的次数是3．
7．（25-26 七年级上·湖北荆门·期中）式子
2𝑥+1
2 ，𝑎𝑥3，
1
𝑥+3，𝑥+ 4，
π
𝑎+𝑏，𝑥2 +2𝑥+ 1中，多项式有___个．
【答案】3
【分析】本题考查了多项式的定义，根据多项式的定义，分母中不含变量且变量指数为非负整数的代数式
为多项式，逐个判断给定式子即可，熟练掌握多项式的定义是解此题的关键．
【详解】解：式子
2𝑥+1
2 可化为𝑥+
1
2，分母为常数，故为多项式；
𝑎𝑥3中系数𝑎为字母，非常数，为单项式，故不是多项式；
1
𝑥+3分母含变量，故不是多项式；
𝑥+ 4为多项式；
π
𝑎+𝑏分母含变量，故不是多项式；
𝑥2 +2𝑥+ 1为多项式，
因此多项式有
2𝑥+1
2 ，𝑥+ 4，𝑥2 +2𝑥+ 1，共3 个，
故答案为：3．
8．多项式𝑎2−2𝑎𝑏2−3的项是________，次数是________．
【答案】
𝑎2，−2𝑎𝑏2，−3
3
【分析】多项式中每个单项式都是该多项式的项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可
得答案．
【详解】解：多项式𝑎2−2𝑎𝑏2−3的项是𝑎2，−2𝑎𝑏2，−3；
𝑎2的次数是2，
−2𝑎𝑏2的次数是1 + 2 = 3，
−3是常数项，次数为0，
∴该多项式的次数为3．
素养提升
9．（24-25 七年级上·吉林·期末）若关于x 的多项式(𝑎−3)𝑥3 +4𝑥2 + (4−𝑏)𝑥+ 3中不含三次项和一次项，
则𝑎𝑏= （ ）
A．7
B．12
C．64
D．81
【答案】D
【分析】本题主要考查了多项式的项与系数的概念，熟练掌握“多项式不含某次项时，该项的系数为0”是解
题的关键．根据多项式不含某次项则对应项系数为0，求出a、b 的值，再计算𝑎𝑏．
【详解】解：∵多项式不含三次项，
∴𝑎−3 = 0，
∴𝑎= 3．
∵多项式不含一次项，
∴4−𝑏= 0，
∴𝑏= 4．
∴𝑎𝑏= 34 = 81．
故选：D．
10．（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：3𝑎2，5𝑎3，7𝑎4，9𝑎5，11𝑎6，…，第2026个
代数式为（ ）
A．4051𝑎2026
B．4051𝑎2027
C．4053𝑎2026
D．4053𝑎2027
【答案】D
【分析】分别归纳系数和𝑎的指数与项数𝑛的关系，得到第𝑛个代数式的通式，再代入𝑛= 2026计算即可得到
结果．
【详解】解：∵ 第1 个系数为3 = 2 × 1 + 1，
第2 个系数为5 = 2 × 2 + 1，
第3 个系数为7 = 2 × 3 + 1，
∴第𝑛个代数式的系数为2𝑛+ 1，
又∵第1 个中𝑎的指数为2 = 1 + 1，
第2 个中𝑎的指数为3 = 2 + 1，
第3 个中𝑎的指数为4 = 3 + 1，
∴可得第𝑛个代数式中𝑎的指数为𝑛+ 1，
∴第𝑛个代数式为(2𝑛+ 1)𝑎𝑛+1，
将𝑛= 2026代入得：系数为2 × 2026 + 1 = 4053，𝑎的指数为2026 + 1 = 2027，
因此第2026 个代数式为4053𝑎2027．
11．（24-25 七年级上·江西赣州·期中）若多项式(𝑚+ 2)𝑥2𝑦|𝑚| + 𝑥2𝑦−𝑦+ 3是一个关于x，y 的三次三项式，
则m 的值为
．
【答案】± 1或−2
【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫
几次多项式是解题的关键．
根据题意得到|𝑚| = 1，或𝑚+ 2 = 0，求出𝑚=± 1或𝑚= −2，即可得到答案．
【详解】解：∵多项式(𝑚+ 2)𝑥2𝑦|𝑚| + 𝑥2𝑦−𝑦+ 3是一个关于x，y 的三次三项式，
∴ |𝑚| = 1，或𝑚+ 2 = 0，
∴𝑚=± 1或𝑚= −2，
故答案为：± 1或−2．
12．（25-26 七年级上·陕西榆林·期中）写出一个关于字母𝑎、𝑏的多项式，使其次数是3，项数是2：
__________．（写出一个即可）
【答案】𝑎3 + 𝑏2（答案不唯一）
【分析】本题考查了多项式，多项式的次数和多项式的项，掌握相关概念是解题的关键．根据多项式次数
和项数的定义，构造一个含有字母𝑎和𝑏的多项式，项数为2，且最高次数为3即可．
【详解】解：由于多项式含有字母𝑎、𝑏，次数是3，即最高项次数为3，项数是2，
∴该多项式可以为𝑎3 + 𝑏2．
故答案为：𝑎3 + 𝑏2（答案不唯一）．
13．（24-25 七年级上·全国·单元复习）已知关于x，y 的多项式𝑥2𝑦𝑚+1 +1 + 𝑥𝑦2−2𝑥3−5是六次四项式，
单项式3𝑥2𝑛𝑦5−𝑚的次数与这个多项式的次数相同，则𝑚−𝑛= ________．
【答案】1
【分析】根据多项式𝑥2𝑦𝑚+1 +1 + 𝑥𝑦2−2𝑥3−5是六次四项式，可得2 + 𝑚+ 1 = 6，根据单项式3𝑥2𝑛𝑦5−𝑚的
次数与这个多项式的次数相同，可得2𝑛+ 5−𝑚= 6，两式联立即可得到m、n 的值，代入计算即可求解．此
题考查了解一元一次方程及单项式与多项式的定义和性质．解题的关键是掌握单项式和多项式的相关定义，
多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
【详解】解：由题意，得2 + 𝑚+ 1 = 6，
解得𝑚= 3．
因为单项式3𝑥2𝑛𝑦5−𝑚的次数与多项式的次数相同，
所以2𝑛+ 5−𝑚= 6，即2𝑛+ 5−3 = 6，
解得𝑛= 2．
所以𝑚−𝑛= 1，
故答案为：1．
迁移创新
14．（25-26 七年级上·河北邯郸·期中）代数式：①−𝑥；②𝑥2 +𝑥−1；③
𝑛
𝑚；④
𝑚
2 +1；⑤−
1
2；⑥−2π𝑚3𝑦；
⑦
𝑚+𝑛
2 ．
(1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内：
(2)其中次数最高的多项式是______次多项式；
(3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______．
【答案】(1)见解析
(2)二
(3)4，−2π
【分析】此题主要考查了多项式以及单项式的相关定义，正确把握相关定义是解题关键．
（1）直接利用多项式以及单项式定义分析即可；
（2）直接利用多项式的次数的定义分析得出答案；
（3）直接利用单项式的次数与系数的定义分析即可．
【详解】（1）解：根据多项式以及单项式定义可得：
（2）解：多项式𝑥2 +𝑥−1的次数为：2，
多项式
𝑚
2 +1的次数为：1，
多项式
𝑚+𝑛
2 的次数为：1，
故次数最高的多项式是二次多项式；
（3）解：单项式−𝑥的次数为1 次，系数为−1，
单项式−
1
2的次数为0 次，系数为−
1
2，
单项式−2π𝑚3𝑦的次数为4 次，系数为−2π，
故次数最高的单项式的次数是4，系数为−2π．
15．（25-26 七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：𝑚☆𝑛= 3𝑚−4𝑛．例如：
1☆2 = 3 × 1−4 × 2 = −5．
(1)求(−4)☆7的值；
(2)已知x 是绝对值为1 的负整数，y 是单项式−6𝑎𝑏2的次数，求(−2)☆(𝑥☆𝑦)的值．
【答案】(1)−40；
(2)54．
【分析】本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据新运算法则，进行计算即可；
（2）由题意可知𝑥= −1，𝑦= 3，根据新运算法则，先求(𝑥☆𝑦)，再计算(−2)☆(𝑥☆𝑦)即可．
【详解】（1）解：(−4)☆7 = 3 × (−4)−4 × 7 = −12−28 = −40；
（2）根据题意可知，𝑥= −1，𝑦= 3，
∴𝑥☆𝑦= (−1)☆3 = 3 × (−1)−4 × 3 = −3−12 = −15，
∴(−2)☆(𝑥☆𝑦) = (−2)☆(−15) = 3 × (−2)−4 × (−15) = −6 + 60 = 54．
16．已知式子(𝑎−1)𝑥3−2𝑥−(𝑎+ 3)．
(1)若它是关于x 的一次式，求a 的值并写出常数项；
(2)若它是关于x 的三次二项式，求a 的值并写出次数最高的项．
【答案】(1)𝑎= 1，常数项为−4
(2)𝑎= −3，最高次项为−4𝑥3
【分析】此题主要考查了多项式的定义．
（1）直接利用多项式的次数与项数的确定方法进而得出答案；
（2）直接利用多项式的次数与项数的确定方法进而得出答案．
【详解】（1）解：∵ (𝑎−1)𝑥3−2𝑥−(𝑎+ 3)是关于𝑥的一次式，
∴𝑎−1 = 0，
解得𝑎= 1，
∴−(𝑎+ 3) = −(1 + 3) = −4；
（2）解：∵ (𝑎−1)𝑥3−2𝑥−(𝑎+ 3)关于𝑥的三次二项式
∴
𝑎−1 ≠0
−(𝑎+ 3) = 0
，
解得𝑎= −3，
∴最高次项为：−4𝑥3．
17．（2025 七年级上·全国·专题练习）已知一个整式为(𝑎−2)𝑥2−3𝑥−(𝑎+ 3)．
(1)若该整式是关于x 的一次式，求a 的值，并写出此时的一次式；
(2)若该整式是二次二项式，求a 的值，并写出此时的二次二项式；
(3)若该整式是二次式，求a 的取值范围．
【答案】(1)𝑎= 2，−3𝑥−5
(2)𝑎= −3，−5𝑥2−3𝑥
(3)𝑎≠2
【分析】(1）由整式为一次式，得到二次项系数为0求出𝑎的值，即可确定出一次式；
(2）由整式为二次二项式，得到常数项为0求出𝑎的值，即可确定出二次二项式；
(3）由整式为二次式，得到二次项系数不为0，求出𝑎的范围即可．
【详解】（1）解：因为该整式是关于x 的一次式，
所以𝑎−2 = 0，
所以𝑎= 2，
此时的一次式为−3𝑥−5．
（2）解：因为该整式是二次二项式，
所以𝑎−2 ≠0且𝑎+ 3 = 0，
所以𝑎= −3，
此时的二次二项式为−5𝑥2−3𝑥．
（3）解：因为该整式是二次式，
所以𝑎−2 ≠0，
所以𝑎≠2．
【点睛】本题考查了多项式，弄清题意是解题的关键．
18．（25-26 七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 𝑎2,4𝑎3,9𝑎4,16𝑎5,25𝑎6,⋯根据你发现的规律：
(1)请你写出第9 个单项式为
，第n 个单项式为
．
(2)请你求出当𝑎= −1时，第9 个单项式与第10 个单项式和的值．
【答案】(1)81𝑎10，𝑛2𝑎𝑛+1
(2)−19
【分析】本题主要考查单项式的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律．
（1）根据题意得到所给单项式的系数，字母𝑎的指数的规律，即可求解；
（2）由（1）中规律解答即可．
【详解】（1）解：根据题意得：所给单项式的系数依次为1,4,9,16,25,⋯，即12,22,32,42,52,⋯，
∴第𝑛个单项式的系数为𝑛2，
∵单项式中字母𝑎的指数依次为2,3,4,5,6,⋯，
∴第𝑛个单项式中字母𝑎的指数为𝑛+ 1，
∴第𝑛个单项式为𝑛2𝑎𝑛+1，
当𝑛= 9时，92𝑎9+1 = 81𝑎10，
∴第9 个单项式为81𝑎10，
故答案为：81𝑎10，𝑛2𝑎𝑛+1；
（2）解：由（1）得：第9 个单项式为92𝑎9+1 = 81𝑎10，
∴第10 个单项式为100𝑎11，
当𝑎= −1时：
第9 个单项式： 81 × (−1)10 = 81，
第10 个单项式： 100 × (−1)11 = −100，
∴第9 个单项式与第10 个单项式和的值为81 + (−100) = −19．
19．（2024·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y 的多项式4𝑥2𝑦𝑚+2 +𝑥𝑦2 +(𝑛−2)𝑥2𝑦3 +𝑥𝑦−4是七次四项
式，求m 和n 的值；
（2）关于x，y 的多项式(5𝑎−2)𝑥3 + (10𝑎+ 𝑏)𝑥2𝑦−𝑥+ 2𝑦+ 7不含三次项，求5𝑎+ 𝑏的值．
【答案】（1）𝑚= 3，𝑛= 2；（2）5𝑎+ 𝑏= −2
【分析】本题考查多项式的相关概念，包括多项式的次数、项数以及不含特定项的条件，解决此类问题的
关键是理解多项式中每一项的次数，并根据题目给出的条件建立方程．
（1）多项式为七次四项式，这意味着多项式中次数最高的项的次数是7，且多项式有四项，由此可得出4𝑥2
𝑦𝑚+2的次数是2 + (𝑚+ 2)，𝑥𝑦2的次数是3，(𝑛−2)𝑥2𝑦3的次数是5，𝑥𝑦的次数是2，−4的次数是0，由多
项式的次数是7 可得 2 + (𝑚+ 2) = 7，得出m 的值，同时为保证多项式是四项式可得𝑛−2 = 0，得出n 的
值即可；
（2）根据题意，多项式中含有三次项有(5𝑎−2)𝑥3和(10𝑎+ 𝑏)𝑥2𝑦，为了使多项式不含三次项，需满足：
5𝑎−2 = 0，10𝑎+ 𝑏= 0，由此可得a 和b 的值，进而求得5𝑎+ 𝑏的值．
【详解】解：（1）根据题意可得：
2 + 𝑚+ 2 = 7
𝑛−2 = 0
，
解得
𝑚= 3
𝑛= 2
．
（2）根据题意可得：
5𝑎−2 = 0
10𝑎+ 𝑏= 0
，
解得
𝑎=
2
5
𝑏= −4
，
∴5𝑎+ 𝑏= 5 ×
2
5 + (−4) = −2．
