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专项训练03 整式中数字类和图形类规律探究问题
【知识点1 数字规律型】
例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时，
3n=3，3+1=4，所以第n 项表示为 3n+1.
拓展延申：
【知识点2 图案规律型】
1.基本思想：图形规律 数字规律
2.基本方法：
（1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律.
（2）由此及彼,合理联想,大胆猜想
（3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点；
（4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否;
【题型1 数字类规律探索之排列问题】
1．观察下列一组有规律的数：
1
2 ，1
6 ，1
12 ，1
20 ，1
30 ，1
42 ，L ，根据其规律可知：第n 个数
是
．
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【答案】
1
1
n n
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类规律探索，根据所给数得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：∵
1
1
2
1
1 1
，
1
1
6
2
2 1
，
1
1
12
3
3 1
，
1
1
20
4
4 1
，
1
1
30
5
5 1
，
1
1
42
6
6 1
，…，
∴第n 个数是
1
1
n n
，
故答案为：
1
1
n n
．
2．按一定规律排列的一组数据：1
4
9
16
25
3
5
7
9
11
、
、、
、
，则按此规律排列的第n个数是
．
【答案】
2
1
1
2
1
n
n
n
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了探究数字的规律问题，确定分子和分母变化的规律是解题的关键．通过观察：从
符号看，正负相隔，奇数项为正数，偶数项为负数，从绝对值看，它们的分子是连续的正整数的平方，分
母是连续的奇数．据此求解即可．
【详解】解：∵
2
1 1
1
1
1
3
2 1 1
、
2
2 1
4
2
1
5
2 2 1
、
2
3 1
9
3
1
7
2 3 1
、
2
4 1
16
4
1
9
2 4 1
、
2
5 1
25
5
1
11
2 5 1
、L
∴按此规律排列的第n个数是
2
1
1
2
1
n
n
n
，
故答案为：
2
1
1
2
1
n
n
n
．
【题型2 数字类规律探索之末尾数字问题】
3．观察等式：
12
2
，
2
2
4
，
3
2
8
，
4
2
16
，
5
2
32
，
6
2
64
，
7
2
128
，…．通过观察，用你发现的
规律确定
2024
2
的个位数字是 ．
【答案】6
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，
1
2
3
2 2 2
2n
，，
，
这一列数字每4 个数为一个循环，
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其个位数字依次为2，4，8，6，再根据2024
4
506
即可得到答案．
【详解】解：
12
2
，
2
2
4
，
3
2
8
，
4
2
16
，
5
2
32
，
6
2
64
，
7
2
128
，…，
以此类推可得，
1
2
3
2 2 2
2n
，，
，
这一列数字每4 个数为一个循环，其个位数字依次为2，4，8，6，
∵2024
4
506
，
∴
2024
2
的个位数字是6，
故答案为：6．
4．计算
12
1
1
，
2
2
1
3
，
3
2
1
7
，
4
2
1
15
，
5
2
1
31
，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测
2015
2
1
的个位数字是
．
【答案】7
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查规律，熟练掌握规律是解题的关键．根据规律进行解题即可．
【详解】解：由题意可知，个位数字以4 为周期按照1,3,7,5的顺序进行循环，
2015
4
503...3
，
故猜测
2015
2
1
的个位数字是7 ．
故答案为：7 ．
【题型3 数字类规律探索之新运算问题】
5．已知
2
2
2
2
1
4
2
1
9
3
1
16
4
1
25
5
1
,2
,3
,4
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
．设n 为正整数，请用关于n 的等式表示
这个规律
．
【答案】
2
(
1)
2
n
n
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题干已有式子结构，得n 的等式表示这个规律
2
(
1)
2
n
n
，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵
2
2
2
2
1
4
2
1
9
3
1
16
4
1
25
5
1
,2
,3
,4
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
，
∴关于n 的等式表示这个规律为
2
(
1)
2
n
n
，
故答案为：
2
(
1)
2
n
n
．
6．a 是不为2 的有理数，我们把
2
2
a
称为a 的“伴随数”，如3 的“伴随数”是
2
2
2
3
，2
的“伴随
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数”是
2
1
2
2
2
，已知
1
4
a
，
2a 是
1a 的“伴随数”，
3a 是
2a 的“伴随数”，
4a 是
3a 的“伴随数”，…，
以此类推，则
2025
a
等于
．
【答案】4
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类的规律探究，实数的运算等知识点，解题的关键在于根据题意推导出一般性规
律．
根据所给“伴随数”的定义，依次求出，
2
3
,
a a ，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数
按
2 3
4, 1,
,
3 2
重复出现是解题的关键．
【详解】解：由题意知，
1
4
a
，
2
2
1
2
4
a
，
3
2
2
2
( 1)
3
a
，
4
2
3
2
2
2
3
a
，
5
2
4
3
2
2
a
，
由此可知，这列数按
2 3
4, 1,
,
3 2
重复出现，
2025
4
506
1
，
2025
4
a
，
故答案为：4．
【题型4 数字类规律探索之等式问题】
7．观察下列算式：
①
2
1 3
2
3
4
1
②
2
2
4
3
8
9
1
③
2
3 5
4
15 16
1
……
把这个规律用含字母n （n 为正整数）的式子表示出来
．
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【答案】
2
2
1
1
n n
n
【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律
【分析】本题考查了数字类规律研所，根据已知算式发现规律是解题关键．观察所给算式可知，对于三个
连续自然数，最大和最小的自然数的积与中间一个自然数平方的差等于1
，即可用含n 的式子表示出来即
可．
【详解】解：观察已知算式把这个规律用含字母n （n 为正整数）的式子表示出来为
2
2
1
1
n n
n
，
故答案为：
2
2
1
1
n n
n
．
8．定义新运算：
1
1
a b
a
b
，
1
a
b
ab
（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如∶
1
1
4
3 7
3
7
21
，
1
1
3
7
3 7
21
．
若a
b
a b
，则称有理数a，b 为“隔一数对”．
例如∶
1
1
1
2 3
2
3
6
，
1
1
2
3
2 3
6
，即2
3
2 3
，所以2，3 就是一对“隔一数对”．
请同学们解答下列问题：
(1) 1
，1 是“隔一数对”吗？请说明理由；
(2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：
1
2
2
3
3
4
4
5
2023
2024
．
【答案】(1)不是“隔一数对”
(2) 2023
2024
【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，理解“隔一数对”的定义并掌握有理数混
合运算法则是解题关键．
（1）根据“隔一数对”的新定义进行计算判断即可；
（2）先根据新定义计算再根据有理数加减运算即可．
【详解】（1）解：由题意可得∶
1
1
1
1
1 1
，
1
1
1
1
2
1
1
，
∴
1
1
1
1
，
∴不是“隔一数对”．
（2）解：由题意可得∶
1
2
2
3
3
4
4
5
2023
2024
1 2
2 3
3 4
4 5
2023 2024
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2023
2024
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1
1
2024
2023
2024
．
【题型5 图形类规律探索之数字问题】
9．观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得a
b
m
．
【答案】19
100
【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，代数式求值，观察可知，右下角的数等于其他三个数的和，
且上面两个数是从1 开始的自然数，左下角的数是从2 开始的自然数，据此求出
79
41
a
b
，
，则
79
41
80
79
200
m
a
b
，再代值计算即可．
【详解】解：1
2
2
5
，
3
3
4
10
，
4
5
6
15
，
以此类推可知，右下角的数等于其他三个数的和，
观察可知上面两个数是从1 开始的自然数，左下角的数是从2 开始的自然数，即第n 幅图，右上角的数为
2n ，左下角的数为
1
n ，左上角的数为2
1
n ，
当2
80
n
时，解得
40
n
，
把
40
n
，代入2
1
1
n
a
n
b
，
得：
79
41
a
b
，
，
79
79
41 80
200
m
a
b
，
79
41
38
19
200
200
100
a
b
m
，
故答案为：19
100 ．
10．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x 的值为
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【答案】819
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字规律，理解表格中数轴的变换规律是解题的关键．
根据题意，上方第一格的数值依次是
1
n n
的整数，第二格的数值依次是2
2
n
的整数，下方第一格的数
值依次是
1
1
n
n
的整数，第二格的数值依次是
1
2
2
n
n
n
，由此列式求解．
【详解】解：表格从左往右，从上往下，
上方第一格的数值依次是
1
n n
的整数，第二格的数值依次是2
2
n
的整数，
下方第一格的数值依次是
1
1
n
n
的整数，第二格的数值依次是
1
2
2
n
n
n
，
∴2
2
40
a
，
解得，
19
a
，
∴
19 1
20
b
，
∴
40
40 20 19
819
x
b
a
，
故答案为：819 ．
【题型6 图形类规律探索之数量问题】
11．下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题：
图形标号
第一个
第二个
第三个
第四个
涂有阴影的小正方形的个数
5
a
13
b
(1) a ________，b ________；
(2)第n 个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n 的代数式来表示）
(3)按照这种规律下去，求第400 个图形中涂有阴影的小正方形的个数．
【答案】(1)9；17
(2)
4
1
n
(3)1601
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键．
（1）观察图形规律，可知第1 图涂有阴影的小正方形的个数为5 个，第2 图涂有阴影的小正方形的个数为
5
4
9
个，第3 个图涂有阴影的小正方形的个数为5
4
3
1
个，以此类推，可知第4 图涂有阴影的小正
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方形的个数；
（2）观察可知后面一个图形比前面一个图形多4 个涂有阴影的小正方形，据此规律求解即可；
（3）将
400
n
代入4
1
n 计算求解即可．
【详解】（1）解：第2 个图形涂有阴影的小正方形的个数为5
4
9
个，即
9
a
，
第4 个图形涂有阴影的小正方形的个数为5
4
3
1
7 个，即
17
b
故答案为：9，17；
（2）观察图形规律，可知：
第1 个图形涂有阴影的小正方形的个数为5 个，，
第2 个图形涂有阴影的小正方形的个数为5
4
9
个，
第3 个图形涂有阴影的小正方形的个数为5
4 2
13
个，，
第4 个图形涂有阴影的小正方形的个数为5
4
3
1
7 个
以此类推，
第n 个图形涂有阴影的小正方形的个数为
5
4
1
4
1
n
n
个，，
故答案为：
4
1
n
；
（3）解：将
400
n
代入4
1
n 中得：4
400
1
1601
即第400 个图形中涂有阴影的小正方形的个数为1601根．
12．用火柴棒按图中的方式摆图形：
按图示规律填空：
图形标号
①
②
③
④
⑤
火柴棒的根数
5
9
13
a
b
(1) a ________，b ________；
(2)按照这种方式搭下去，则搭第n 个图形需要火柴棒的根数为________；（用含n 的代数式来表示）
(3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024 个图形需要的火柴棒的根数．
【答案】(1)17 ，21
(2)4
1
n
(3)8097
【知识点】图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】此题主要考查了图形的变化类，注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径．
（1）根据所给图形可得a，b 的值；
（2）根据（1）的结果可得出规律；
（3）把n 的值代入（2）的规律式中可求值．
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【详解】（1）解：由图④可数出火柴棒的根数为17，故可得
17
a
，
由图①②③④可得图⑤为：4 5 1
21
，
故
21
b
；
故答案为：17；21．
（2）解：由（1）可得第n 个图形需要火柴棒的根数为4
1
n ，
故答案为：4
1
n ；
（3）解：将
2024
n
代入4
1
n 中得：4 2024 1
8097
．
即第2024 个图形需要的火柴棒根数为8097 根．
1．若
6
2024
2024
a
结果的个位数字是1，则a 的值可能是（ ）
A．13
B．24
C．35
D．49
【答案】C
【分析】先找出2024𝑛个位数字的规律，再根据20246−𝑎2024结果的个位数字是1，确定
2024
a
结果的个位数
字，最后据此找出a 可能的值．本题主要考查了尾数特征问题，熟练掌握通过找规律的方法确定幂次的个位
数字是解题的关键．
【详解】解：20241个位数字是4 ，
2
2024 个位数字是6 （4 4
16
），
20243个位数字是4 （4 6
24
），
20244个位数字是6 （4 4
16
），
L
可以发现当n 为奇数时，2024𝑛个位数字是4 ；当n 为偶数时，2024𝑛个位数字是6 ．
∴20246个位数字是6 ．
∵20246−𝑎2024结果的个位数字是1，
∴𝑎2024结果的个位数字是6 1
5
．
132024个位数字是1（3的幂次个位数字以3、9、7 、1循环，2024
4
506
，余数为0 时个位是1），
242024个位数字是6 （4 的幂次个位数字以4 、6 循环，2024
2
1012
，余数为0 时个位是6 ），
352024个位数字是5 （5 的任何正整数次幂个位数字都是5 ），
492024个位数字是1（9的幂次个位数字以9、1循环，2024
2
1012
，余数为0 时个位是1）．
a
的值可能是35．
故选：C．
2．如图所示是一组有规律的图案，第1 个图案需要4 个基础图形，第2 个图案需要7 个基础图形……，若
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第n 个图案需要2026 个基础图形，则n 的值是（ ）
A．674
B．675
C．676
D．677
【答案】B
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需基础图形的个数依次增加3 是解题的
关键．根据所给图形，依次求出所需基础图形的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第1 个图案中基础图形的个数为：4
1 3 1
；
第2 个图案中基础图形的个数为：7
2 3 1
；
第3 个图案中基础图形的个数为：10
3 3 1
；
…，
所以第n 个图案中基础图形的个数为
3
1
n
个．
令3
1
2026
n
，
解得
675
n
，
即n 的值为675．
故选：B．
3．【找规律】如图，一张桌子可以坐4 人，两张桌子拼起来可以坐6 人，三张桌子拼起来可以坐8 人．像
这样（ ）张桌子拼起来可以坐26 人．
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】B
【分析】本题考查了数与形的结合，认真观察图形找出其中的规律是解题关键，主要培养学生的观察能
力．观察图形可知，一张桌子可以坐4 人，以后每增加一张桌子就增加2 人，则m 张桌子拼起来可以坐：
4
2
1
2
2
m
m
人，因此2
2
26
m
求出m 即可．
【详解】解：一张桌子可以坐4 人，以后每增加一张桌子就增加2 人，则m 张桌子拼起来可以坐：
4
2
1
2
2
m
m
人，
所以当可坐26 人时：2
2
26
m
，
解得：
12
m
，
故选：B．
4．已知整数
1
2
3
4
a
a
a
a
，，，
，…，满足下列条件：
1
0
a
，
2
1
1
a
a
，
3
2
2
a
a
，
4
3
3
a
a
，…，依照
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这个规律，则
2025
a
（ ）
A．1 009
B．1 010
C．1 011
D．1 012
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，由已知可得
2
3
4
5
6
7
1
1
2
2
3
3......
a
a
a
a
a
a
，
，
，
，
，
，故
总结规律
2n
a
n
，
2
1
n
a
n
，（n 为正整数），即可求得
2025
2 1012 1
1012
a
a
．
【详解】解：由已知得
2
3
4
5
6
7
1
1
2
2
3
3......
a
a
a
a
a
a
，
，
，
，
，
，
故
2n
a
n
，
2
1
n
a
n
，（n 为正整数），
故
2025
2 1012 1
1012
a
a
．
故选：D．
5．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，A 的值应是（ ）
A．156
B．158
C．160
D．162
【答案】B
【分析】本题考查了数字类规律探索，依据题意，正确发现规律是解题关键．由前三个正方形可知，规律
为正方形中右上和左下的两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上、左下、右上的三个数是相邻的偶
数，即可求解．
【详解】解：由前三个正方形可知，规律为正方形中右上和左下的两个数的积减左上的数等于右下的数，
且左上、左下、右上的三个数是相邻的偶数，
∴图中阴影部分的两个数分别为左下的数是12，右上的数是14，
则
12 14 10
158
A
，
故选：B．
6．下列定义一种关于正整数n 的“ F 运算”：①当n 是奇数时，
3
5
F
n
；②n 为偶数时，结果是
1
1
1
2
2
2
F
n
（其中F 是奇数），并且运算重复进行．例如：取
26
n
，如图，
若
50
n
，则第2012 次“ F 运算”的结果是（ ）
A．25
B．20
C．80
D．5
【答案】B
【分析】本题考查数字的变化类，解题的关键是先分别计算出
50
n
时第一、二、三、四、五、六次运算的
结果，找出规律再进行解答即可．
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【详解】解：根据题意，得
当
50
n
时，
第一次运算：
1
50
25
2
，
第二次运算：3 25
5
80
，
第三次运算：
1
1
1
1
80
5
2
2
2
2
，
第四次运算，3 5
5
20
，
第五次运算：
1
1
20
5
2
2
，
第六次运算：3 5
5
20
，
……
规律：从第三次开始，结果就只是5 ，20 两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是20 ，次数是奇数时，
结果是5 ，
∵2012 次是偶数，
∴第2012 次“ F 运算”的结果是20 ．
故选：B．
7．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：1
，3
4 ，
5
9
，7
16 ，…，第8 个数是 ；则第
n 个数是
．
【答案】
15
64
2
2
1
1
n
n
n
【分析】本题是对数字变化规律的考查，根据分母是平方数，分子是连续的奇数得出变化规律是解题的关
键．
观察数列，分子是连续的奇数，分母是序数的平方，且奇数项是负数，偶数项是正数，根据此规律写出即
可．
【详解】解：观察数据的规律可知：分子的规律是连续的奇数即2
1
n ，分母是
21 、
2
2 、
23 、
2
n
，且奇数
项是负数，偶数项是正数即
1
n
，则第n 个数是
2
2
1
1
n
n
n
，第8 个数是
8
2
2 8 1
15
1
8
64
，
故答案为：15
64 ，
2
2
1
1
n
n
n
．
8．用125 个三条边都是1 厘米的三角形拼图形，按如下规律拼下去，最后会是一个
形．这个图形的
周长是
厘米．
【答案】
梯
127
【分析】本题考查了数与形结合的规律问题，观察图形可知，当小三角形的个数为偶数时，拼成的是平行
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四边形，当小三角形的个数是奇数时，拼成的是梯形；观察图形得出一般规律即可解答．
【详解】解：（1）当小三角形的个数为偶数时，拼成的是平行四边形，当小三角形的个数是奇数时，拼成
的是梯形，
125 是奇数，所以拼成的图形是梯形；
（2）第一幅图有2 个三角形，周长是：2
2
；
第二幅图有3 个三角形，周长是：2
3
；
第三幅图有4 个三角形，周长是：2
4
；
第四幅图有5 个三角形，周长是：2
5
；
据此即可得出125 个三角形拼成的图形的周长是2 125
127
（厘米）；
答：最后会是一个梯形．这个图形的周长是127 厘米．
故答案为：梯；127．
9．若x 是不等于1 的有理数，我们把
1
1
x
称为x 的差倒数．如：2 的差倒数是
1
1
1
2
，1
的差倒数为
1
1
1
1
2
，现已知
1
1
3
x
，
2x 是
1
x 的差倒数，
3x 是
2x 的差倒数，
4x 是
3x 的差倒数，．．．，依次类推，
则
2025
x
．
【答案】4
【分析】本题考查了数字的变化规律．根据差倒数的定义找出该组数列的前4 个数，由
4
1
x
x
，从而得出数
据变化规律，根据规律可得出
2025
x
的值．
【详解】解：根据差倒数的定义可得出：
1
1
3
x
，
2
1
3
1
4
1
3
x
，
3
1
4
3
1
4
x
，
4
1
1
1
4
3
x
，
5
1
3
1
4
3
1
x
，
由此发现该组数每3 个一循环．
2025
3
675
，
5
3
202
4
x
x
．
故答案为：4．
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10．观察下列各算式：
12
2
，
2
2
4
，
3
2
8
，
4
2
16
，
5
2
32
，
6
2
64
…通过观察，用你所发现的规律
确定
2016
2
的个位数字是
．
【答案】6
【分析】本题考查了数字的变化规律，能够通过所给条件，探索出数的规律是解题的关键．通过观察可知
每4 次运算的尾数循环一次，则
2016
2
的个位数字与
4
2 的个位数字相同，即可求解．
【详解】解：由题意可知，
12
2
，
2
2
4
，
3
2
8
，
4
2
16
，
5
2
32
，
6
2
64
的个位数字，每4 个是一组
循环，
∵2016
4
504
，
∴
2016
2
的个位数字与
4
2 的个位数字相同，
∴
2016
2
的个位数字是6 ，
故答案为：6 ．
11．有一列数
1, 2, 3, 4
，将这列数中的每个数求其相反数得到
1,2,3,4 ，再分别求与1 的和的倒数，
得到1 1 1 1
,
,
,
2 3 4 5
，令这组数为
1
2
3
4
,
,
,
a a a a
，称这为一次操作；第二次操作是将
1
2
3
4
,
,
,
a a a a
再进行上述操
作，得到
5
6
7
8
,
,
,
a a a a
；第三次操作是将
5
6
7
8
,
,
,
a a a a
重复上述操作，得到
9
10
11
12
,
,
,
a a
a
a
；…；以此类推，
则
2025
a
，
1
2
3
61
a
a
a
a
．
【答案】
1
38
3
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及倒数，能根据题意得出大括号内的数字每三组循环一次是解题
的关键．
根据题意，先求出
2025
a
和
61
a 在第几组式子中，其次通过计算发现大括号内数的变化规律即可解决问题．
【详解】解：根据题意得
1
1
2
a
，
2
1
3
a
，
3
1
4
a
，
4
1
5
a
，
第二次操作得
5
1
2
1
1
2
a
－
，
6
1
3
1
2
1
3
a
－
，
7
1
4
1
3
1
4
a
－
，
8
1
5
1
4
1
5
a
－
，
第三次操作得
9
1
1
2 1
a
－
，
10
1
2
3
1
2
a
－
，
11
1
3
4
1
3
a
－
，
12
1
4
5
1
4
a
－
．
观察上述规律可知，每3 次操作为一循环，一个循环内共12 个数．
因为2025 12
168
9
，
所以
2025
9
1
a
a
．
因为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
1
1
1
3
4
5
79
2
1 2
3
4
2
3
4
5
2
3
4
30
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
．
因为61 12
5
1
，
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所以
1
2
3
61
79
1
38
5
30
2
3
a
a
a
a
，
故答案为1
，
38
3
．
12．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1 幅图形中“●”的个数
为
1a ，第2 幅图形中“●”的个数为
2a ，第3 幅图形中“●”的个数为
3a ，…，以此类推，则
1
2
3
8
1
1
1
1
a
a
a
a
的值为 ．
【答案】29
45
【分析】本题主要考查图形规律，数字规律，根据图示找出规律，结合分数的计算方法是关键．
根据图示，可得
2
na
n n
，由此代入得到
1
2
3
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 3
2 4
3 5
4 6
8 10
a
a
a
a
，根
据数字规律计算即可．
【详解】解：第1 幅图形中“●”的个数为
1
3
1
1
2
a
，
第2 幅图形中“●”的个数为
2
8
2
2
2
a
，
第3 幅图形中“●”的个数为
3
15
3
3
2
a
，
第4 幅图形中“●”的个数为
4
24
4
4
2
a
，
…，
以此类推，
2
na
n n
，
∴
8
8
8
2
80
a
，
∴
1
2
3
8
1
1
1
1
a
a
a
a
1
1
1
1
1
3
8
15
24
80
1
1
1
1
1
1 3
2 4
3 5
4 6
8 10
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1
2
3
2 2
4
2 3
5
2 4
6
2 8
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
4
3
5
4
6
80
82
81
83
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
4
8
3
4
9
10
1
1
1
1
1
2
2
9
10
29
45
，
故答案为：29
45 ．
13．如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm ．
(1)3 节链条长_____cm，10 节链条长_____cm；
(2) n 节链条长是多少？
【答案】(1)5.9，17.8
(2)
1.7
0.8 cm
n
【分析】本题主要考查了图形的变化类，解题的关键是根据题意得出节链条的长度与每节长度之间的关
系．
（1）根据图形找出规律计算第3 节、10 节链条的长度即可；
（2））从特殊到一般，找到规律，得到n 节链条拉直后长度为
1.7
0.8 cm
n
．
【详解】（1）解：根据图形可得出：
2 节链条的长度为：
2.5 2
0.8 cm
，
3 节链条的长度为：
2.5 3
0.8 2
5.9 cm
，
4 节链条的长度为：
2.5 4
0.8 3 cm
，
5 节链条的长度为：
2.5 5
0.8 4 cm
，
6 节链条的长度为：
2.5 6
0.8 5 cm
，
7 节链条的长度为：
2.5 7
0.8 6
12.7 cm
，
8 节链条的长度为：
2.5 8
0.8 7
14.4 cm
，
9 节链条的长度为：
2.5 9
0.8 8
16.1 cm
，
10 节链条的长度为：
2.5 10
0.8 9
17.8 cm
，
故答案为：5.9，17.8；
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（2）解：n 节链条的长度为：
2.5
0.8
1
1.7
0.8 cm
n
n
n
14．如图，摆1 个正方形要用4 根小棒，摆2 个正方形要用7 根小棒，摆3 个正方形要用10 根小棒，按此
规律摆放．
(1)按照上述摆放方式，摆n 个正方形用______根小棒(用n 的代数式表示，并化简）．
(2)按照上述摆放方式，能否用18 根小棒摆出6 个正方形？并说明理由．
(3)设小棒长度为1，用不多于18 根小棒摆出6 个边长为1 的小正方形，画出一种示意图．
【答案】(1)
3
1
n
(2)不能，理由见详解
(3)作图见详解
【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系，找出规律是解题的关键．
（1）根据图示找出规律即可求解；
（2）根据（1）中的规律计算即可求解；
（3）由（2）的计算可得，用不多于18 根小棒摆出6 个边长为1 的小正方形，需要改变摆放方式，结合图
形即可求解．
【详解】（1）解：第1 个图有1 个正方形需要4 根小棒，
第2 个图有2 个正方形需要7 根小棒，即
7
4
3
2 1
，
第3 个图有3 个正方形需要10根，即
10
4
3
3 1
，
∴第n 个正方形需要
4
3
1
3
1
n
n
（根），
故答案为：
3
1
n
；
（2）解：根据（1）可得，摆出6 个正方形时是第6 个图形，
∴3 6 1
19
，即需要19根小棒，
∴用18 根小棒摆不出6 个正方形；
（3）解：根据题意，第3 个图中有3 个正方形，需要10 根小棒，
由（2）可知，按照题目中的图形摆放得到6 个正方形需要19 根，
∴改变摆放方式，如图所示，
∴摆放时需要17 根小棒，即不多于18 根小棒，
∴符合题意．
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15．观察图，解答下列问题．
(1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1 个小圆圈，第二层有3 个圆圈，第三层有5 个圆圈，…，
第六层有11 个圆圈．如果要你继续画下去，那么第9 层有_______个小圆圈？
(2)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和为
1 3
或
2
2 ，由此得，
2
1 3
2
．
同样，由前三层的圆圈个数和得：
2
1 3
5
3
，
由前四层的圆圈个数和得：
2
1 3
5
7
4
．
由前五层的圆圈个数和得：
2
1 3
5
7
9
5
．
根据上述请你猜测，从1 开始的n 个连续奇数之和是______（用n 的代数式表示）；
(3)计算：1 3
5
7
199
_________；
(4)计算：201
203
205
299
．
【答案】(1)17
(2)
2
n
(3)10000
(4)12500
【分析】本题考查图形类规律探究、数字类规律探究、有理数的混合运算，找到变化规律是解答的关键．
（1）根据前几层的圆圈个数得到规律，进而可求解；
（2）利用已知数据得出答案即可；
（3）利用（2）中发现的规律得出答案即可；
（4）利用（2）中发现的规律得出答案即可．
【详解】（1）解：第一层有1 个小圆圈，
第二层有3 个圆圈，
第三层有5 个圆圈，
…，
依此规律：每一层小圆圈个数是连续的奇数，
第n 层有
2
1
n
个小圆圈，
∴2 9 1
17
∴第9 层有17 个小圆圈
故答案为：17 ；
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（2）解：前一层的圆圈个数和得：
2
1
1
，
前两层的圆圈个数和得：
2
1 3
2
，
由前三层的圆圈个数和得：
2
1 3
5
3
，
由前四层的圆圈个数和得：
2
1 3
5
7
4
，
由前五层的圆圈个数和得：
2
1 3
5
7
9
5
，
，
从1 开始的n 个连续奇数之和是
2
n ，
故答案为：
2
n ；
（3）解：由上可得：
2
1 3
5
7
199
100
10000
，
故答案为：10000；
（4）解：201
203
205
299
1 3
5
299
1 3
5
199
2
2
150
100
12500
．
1．如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形．
(1)请观察图形，并填写下列表格；
图形标号
第 1
个
第2
个
第3
个
…
第n
个
灰色方块的
个数
5
10
15
…
白色方块的
个数
4
…
(2)第200 个图形中的灰色方块和第202 个图形中的白色方块共有多少个？
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(3)若第
1
n
个图形中的灰色方块比第
1
1
n
n
个图形中的白色方块多45 个，求n 的值．（用含n 的
代数式表示）
【答案】(1)5n ；7；10；3
1
n
(2)1607 个
(3)19
【分析】本题考查了图形的变化规律，仔细观察图形，总结出一般变化规律是解题的关键．
（1）根据图形，得出结论，灰色方块每次增加5 个，白色方块每次增加3 个，分别算出各个数据即可；
（2）根据（1）中的规律，分别算出第200 个图形中的灰色方块数和第202 个图形中的白色方块数，再相
加即可；
（3）根据（1）中的规律，第
1
n
个图形中的灰色方块数和第
1
n
个图形中的白色方块数，再相减列方
程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
第2 个图形中白色方块数为1
2 3
7
（个），
第3 个图形中白色方块数为1 3 3
10
（个），
第n 个图形中灰色方块数为：5n 个，白色方块数为
1 3n
个，
补全表格为：
图形标号
第 1
个
第2
个
第3
个
…
第n 个
灰色方块的
个数
5
10
15
…
5n
白色方块的
个数
4
7
10
…
3
1
n
故答案为：5n ，7，10，3
1
n ；
（2）第200 个图形中的灰色方块有5 200
1000
（个），
第202 个图形中的白色方块有3 202 1
607
（个）．
1000
607
1607
（个）．
答：第200 个图形中的灰色方块和第202 个图形中的白色方块共有1607 个；
（3）第
1
n
个图形中的灰色方块有
5
1
n
个，
第
1
n
个图形中的白色方块有
3
1
1
3
2
n
n
个，
根据题意得
5
1
3
2
45
n
n
，
解得
19
n
．
2．有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，
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形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片
中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……
设图（n）中的“沙漏形”的个数为
nf （n 为正整数）．观察以上图形，解答下列问题：
(1)填空：
5f ，
nf （用含n 的式子表示）：
(2)当n 的值为多少时，
1
n
n
f
f
的值开始大于2025．
【答案】(1)31，2
1
n
(2)
12
n
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，同底数幂乘法的逆运算，正确找到规律是解题的关键．
（1）先观察图形找到规律即可求出答案；
（2）根据（1）可得
2
1
n
nf
，然后代入式子
1
n
n
f
f
中进行求解即可．
【详解】（1）解：第一个图形有1 个“沙漏型”，
第二个图形有1
2
3
个“沙漏型”，
第三个图形有1
2
4
7
个“沙漏型”，
…．
由此可得到规律，第n 个图形有个
1
1
2
4 ··· 2
2
1
n
n
图形，即
2
1
n
nf
∴
5
1
2
4
8 16
31
f
，
故答案为：31；2
1
n ；
（2）解：∵
2
1
n
nf
∴
1
1
2
2
1
n
n
n
n
f
f
1
1
2 2
2
1
n
n
1
2
2 1
1
n
1
2
1
n
∴
1
2
1
2025
n
则当
12
n
成立，
12 1
2
1
2024 1
2025
.
∴
12
n
3．观察下列三行数，根据规律解决下列问题：
第一行：1，3
，5，7
，9，11
，13，15
，L
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第二行：0，4
，4，8
，8， 12
，12，16
，L
第三行：2，6
，10，14
，18，22
，26，30
，L
(1)第一行第9 个数为________，第二行第9 个数为________，第三行第9 个数为________；
(2)取每行中第10 个数，求三个数之和；
(3)若每行都取第n 个数，是否存在这样的n ，使得这三个数之和为99？若存在，求出n 的值；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)17，16，34
(2) 77
(3)存在，13，见解析
【分析】（1）第一行的规律是
1 1
1
1
2 1 1
，
1 2
3
1
2 2 1
，
1 3
5
1
2 3 1
，于是得
到第n 个数为
1
1
2
1
n
n
，第二行的规律是0
1 1
，4
3 1
，4
5 1
，于是得到第n 个数为
1
1
2
1
1
n
n
；根据题意，得2
0 2
2
，6
4 2
2
，10
4 2
2
，于是得到第n 个数为
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2 2
1
n
n
n
n
，解答即可．
（2）根据题意，得第n 个数是2
3
1
，4
3
7
，8
3
5
，16
3
19
，32
3
29
，于是得到第n
个数为
1
1
2 2
1
1
n
n
，解答即可．
（3）根据前面的规律，列式计算即可．
本题考查了有理数的乘方，有理数的加减混合，熟练掌握有理数的乘方的混合运算是解题的关键．
【详解】（1）解：第一行的规律是
1 1
1
1
2 1 1
，
1 2
3
1
2 2 1
，
1 3
5
1
2 3 1
，于
是得到第n 个数为
1
1
2
1
n
n
，
第二行的规律是0
1 1
，4
3 1
，4
5 1
，于是得到第n 个数为
1
1
2
1
1
n
n
；
根据题意，得2
0 2
2
，6
4 2
2
，10
4 2
2
，于是得到第三行第n 个数为
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2 2
1
n
n
n
n
，
当
9
n
时，
1
1
2
1
17
n
n
，
1
1
2
1
1
16
n
n
，
1
1
2 2
1
34
n
n
，
故答案为：17，16，34．
（2）解：当
10
n
时，
1
1
2
1
19
n
n
，
1
1
2
1
1
20
n
n
，
1
1
2 2
1
38
n
n
，
故19
20
38
77
．
（3）解：根据题意，得
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2 2
1
99
n
n
n
n
n
n
，
整理，得
1
1
4
2
1
100
n
n
，
即
1
1
2
1
25
n
n
，
当n 为偶数时，2
1
25
n
，
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解得
12
n
，不符合题意；
当n 为奇数时，2
1
25
n
，
解得
13
n
，符合题意；
故存在，且n 为13．
4．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮
眼睛，开动脑筋，解答下列问题．
(1)观察下列等式：1
1
1
1 2
2
，
1
1
1
2 3
2
3
，
1
1
1
3 4
3
4
，根据发现的规律：
①写出第6 个等式是________________________，第n 个等式是______________________________；
②计算：1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
2023 2024
；
(2)思考运用以上方法计算：1
1
1
1
1
1
4
12
24
40
60
84
的值．
【答案】(1)①
1
1
1
6 7
6
7
；
1
1
1
n n
1
n
n
1
；②2023
2024
(2) 3
7
【分析】本题考查了规律型−数字的变化类，准确熟练的进行计算是解题的关键．
（1）①观察发现，等式的左边都是一个分数，分子都是1，分母是两个连续正整数之积，等式的右边是两
个分数的差，分子都是1，分母是两个连续正整数，根据规律写出第6 个等式和第n 个等式即可；
②利用发现的规律进行计算即可；
（2）先提出
1
2 ，然后根据（1）中发现的规律进行计算即可．
【详解】（1）解：①∵1
1
1
1 2
2
，
1
1
1
2 3
2
3
，
1
1
1
3 4
3
4
，
∴第6 个等式是：
1
1
1
6 7
6
7
；
第n 个等式是：
1
1
1
n n
1
n
n
1
；
故答案为：
1
1
1
6 7
6
7
，
1
1
1
n n
1
n
n
1
；
②原式
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2023
2024
1
1
2024
2023
2024
；
（2）解：原式
1
1
1
1
1
1
1
2
2
6
12
20
30
42
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1
1
1
1
1
1
1
2
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
1
1
1
2
7
1
6
2
7
3
7
．
5．据统计，2023 年，山西新增公路通车里程1076.2公里，年末公路通车里程14.7 万公里，其中高速公路6187.6
公里．根据山西交通建设规划目标，到2027 年，全省高速公路通车里程将突破7000 公里．修路的主要材
料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下：
【观察思考】观察结构简式的分子式回答下列问题：
【规律发现】
（1）图（4）的分子中含________个C 原子；
（2）图
n 的分子中含________个C 原子；
【规律运用】
（3）若图
m 和图
1
m
的分子中共含有242 个C 原子，求m 的值．
【答案】（1）28；（2）
6
4
n
；（3）19．
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给结构简式，发现C 原子的个数依次增加6 是解题的关键；
（1）根据所给结构简式，发现C 原子个数的规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题；
（3）根据（1）中发现的规律即可解决问题；
【详解】解：（1）由所给分子结构图及结构简式可知，
图（1）的分子中含C 原子的个数为∶10
1 6
4
，
图（2）的分子中含C 原子的个数为∶16
2 6
4
，
图（3）的分子中含C 原子的个数为∶22
3 6
4
，
L
所以图
n 的分子中含C 原子的个数为
6
4
n
个，
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当
4
n
时，
6
4
6 4
4
28
n
(个)，
即图（4）的分子中含C 原子的个数为28 个，
故答案为：28．
（2）由（1）知，
图
n 的分子中含C 原子的个数为
6
4
n
个，
故答案为：
6
4
n
．
（3）根据规律可知，
6
4
6
1
4
242
m
m
，
解得：
19
m
．
