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专项训练03 整式中数字类和图形类规律探究问题
【知识点1 数字规律型】
例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时，
3n=3，3+1=4，所以第n 项表示为 3n+1.
拓展延申：
【知识点2 图案规律型】
1.基本思想：图形规律 数字规律
2.基本方法：
（1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律.
（2）由此及彼,合理联想,大胆猜想
（3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点；
（4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否;
【题型1 数字类规律探索之排列问题】
1．观察下列一组有规律的数：
1
2 ，1
6 ，1
12 ，1
20 ，1
30 ，1
42 ，L ，根据其规律可知：第n 个数
是
．
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2．按一定规律排列的一组数据：1
4
9
16
25
3
5
7
9
11
、
、、
、
，则按此规律排列的第n个数是
．
【题型2 数字类规律探索之末尾数字问题】
3．观察等式：
12
2
，
2
2
4
，
3
2
8
，
4
2
16
，
5
2
32
，
6
2
64
，
7
2
128
，…．通过观察，用你发现的
规律确定
2024
2
的个位数字是 ．
4．计算
12
1
1
，
2
2
1
3
，
3
2
1
7
，
4
2
1
15
，
5
2
1
31
，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测
2015
2
1
的个位数字是
．
【题型3 数字类规律探索之新运算问题】
5．已知
2
2
2
2
1
4
2
1
9
3
1
16
4
1
25
5
1
,2
,3
,4
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
．设n 为正整数，请用关于n 的等式表示
这个规律
．
6．a 是不为2 的有理数，我们把
2
2
a
称为a 的“伴随数”，如3 的“伴随数”是
2
2
2
3
，2
的“伴随
数”是
2
1
2
2
2
，已知
1
4
a
，
2a 是
1a 的“伴随数”，
3a 是
2a 的“伴随数”，
4a 是
3a 的“伴随数”，…，
以此类推，则
2025
a
等于
．
【题型4 数字类规律探索之等式问题】
7．观察下列算式：
①
2
1 3
2
3
4
1
②
2
2
4
3
8
9
1
③
2
3 5
4
15 16
1
……
把这个规律用含字母n （n 为正整数）的式子表示出来
．
8．定义新运算：
1
1
a b
a
b
，
1
a
b
ab
（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如∶
1
1
4
3 7
3
7
21
，
1
1
3
7
3 7
21
．
若a
b
a b
，则称有理数a，b 为“隔一数对”．
例如∶
1
1
1
2 3
2
3
6
，
1
1
2
3
2 3
6
，即2
3
2 3
，所以2，3 就是一对“隔一数对”．
请同学们解答下列问题：
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(1) 1
，1 是“隔一数对”吗？请说明理由；
(2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：
1
2
2
3
3
4
4
5
2023
2024
．
【题型5 图形类规律探索之数字问题】
9．观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得a
b
m
．
10．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x 的值为
【题型6 图形类规律探索之数量问题】
11．下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题：
图形标号
第一个
第二个
第三个
第四个
涂有阴影的小正方形的个数
5
a
13
b
(1) a ________，b ________；
(2)第n 个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n 的代数式来表示）
(3)按照这种规律下去，求第400 个图形中涂有阴影的小正方形的个数．
12．用火柴棒按图中的方式摆图形：
按图示规律填空：
图形标号
①
②
③
④
⑤
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火柴棒的根数
5
9
13
a
b
(1) a ________，b ________；
(2)按照这种方式搭下去，则搭第n 个图形需要火柴棒的根数为________；（用含n 的代数式来表示）
(3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024 个图形需要的火柴棒的根数．
1．若
6
2024
2024
a
结果的个位数字是1，则a 的值可能是（ ）
A．13
B．24
C．35
D．49
2．如图所示是一组有规律的图案，第1 个图案需要4 个基础图形，第2 个图案需要7 个基础图形……，若
第n 个图案需要2026 个基础图形，则n 的值是（ ）
A．674
B．675
C．676
D．677
3．【找规律】如图，一张桌子可以坐4 人，两张桌子拼起来可以坐6 人，三张桌子拼起来可以坐8 人．像
这样（ ）张桌子拼起来可以坐26 人．
A．11
B．12
C．13
D．14
4．已知整数
1
2
3
4
a
a
a
a
，，，
，…，满足下列条件：
1
0
a
，
2
1
1
a
a
，
3
2
2
a
a
，
4
3
3
a
a
，…，依照
这个规律，则
2025
a
（ ）
A．1 009
B．1 010
C．1 011
D．1 012
5．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，A 的值应是（ ）
A．156
B．158
C．160
D．162
6．下列定义一种关于正整数n 的“ F 运算”：①当n 是奇数时，
3
5
F
n
；②n 为偶数时，结果是
1
1
1
2
2
2
F
n
（其中F 是奇数），并且运算重复进行．例如：取
26
n
，如图，
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若
50
n
，则第2012 次“ F 运算”的结果是（ ）
A．25
B．20
C．80
D．5
7．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：1
，3
4 ，
5
9
，7
16 ，…，第8 个数是 ；则第
n 个数是
．
8．用125 个三条边都是1 厘米的三角形拼图形，按如下规律拼下去，最后会是一个
形．这个图形的
周长是
厘米．
9．若x 是不等于1 的有理数，我们把
1
1
x
称为x 的差倒数．如：2 的差倒数是
1
1
1
2
，1
的差倒数为
1
1
1
1
2
，现已知
1
1
3
x
，
2x 是
1
x 的差倒数，
3x 是
2x 的差倒数，
4x 是
3x 的差倒数，．．．，依次类推，
则
2025
x
．
10．观察下列各算式：
12
2
，
2
2
4
，
3
2
8
，
4
2
16
，
5
2
32
，
6
2
64
…通过观察，用你所发现的规律
确定
2016
2
的个位数字是
．
11．有一列数
1, 2, 3, 4
，将这列数中的每个数求其相反数得到
1,2,3,4 ，再分别求与1 的和的倒数，
得到1 1 1 1
,
,
,
2 3 4 5
，令这组数为
1
2
3
4
,
,
,
a a a a
，称这为一次操作；第二次操作是将
1
2
3
4
,
,
,
a a a a
再进行上述操
作，得到
5
6
7
8
,
,
,
a a a a
；第三次操作是将
5
6
7
8
,
,
,
a a a a
重复上述操作，得到
9
10
11
12
,
,
,
a a
a
a
；…；以此类推，
则
2025
a
，
1
2
3
61
a
a
a
a
．
12．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1 幅图形中“●”的个数
为
1a ，第2 幅图形中“●”的个数为
2a ，第3 幅图形中“●”的个数为
3a ，…，以此类推，则
1
2
3
8
1
1
1
1
a
a
a
a
的值为 ．
13．如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm ．
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(1)3 节链条长_____cm，10 节链条长_____cm；
(2) n 节链条长是多少？
14．如图，摆1 个正方形要用4 根小棒，摆2 个正方形要用7 根小棒，摆3 个正方形要用10 根小棒，按此
规律摆放．
(1)按照上述摆放方式，摆n 个正方形用______根小棒(用n 的代数式表示，并化简）．
(2)按照上述摆放方式，能否用18 根小棒摆出6 个正方形？并说明理由．
(3)设小棒长度为1，用不多于18 根小棒摆出6 个边长为1 的小正方形，画出一种示意图．
15．观察图，解答下列问题．
(1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1 个小圆圈，第二层有3 个圆圈，第三层有5 个圆圈，…，
第六层有11 个圆圈．如果要你继续画下去，那么第9 层有_______个小圆圈？
(2)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和为
1 3
或
2
2 ，由此得，
2
1 3
2
．
同样，由前三层的圆圈个数和得：
2
1 3
5
3
，
由前四层的圆圈个数和得：
2
1 3
5
7
4
．
由前五层的圆圈个数和得：
2
1 3
5
7
9
5
．
根据上述请你猜测，从1 开始的n 个连续奇数之和是______（用n 的代数式表示）；
(3)计算：1 3
5
7
199
_________；
(4)计算：201
203
205
299
．
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1．如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形．
(1)请观察图形，并填写下列表格；
图形标号
第 1
个
第2
个
第3
个
…
第n
个
灰色方块的
个数
5
10
15
…
白色方块的
个数
4
…
(2)第200 个图形中的灰色方块和第202 个图形中的白色方块共有多少个？
(3)若第
1
n
个图形中的灰色方块比第
1
1
n
n
个图形中的白色方块多45 个，求n 的值．（用含n 的
代数式表示）
图形标号
第 1
个
第2
个
第3
个
…
第n 个
灰色方块的
个数
5
10
15
…
5n
白色方块的
个数
4
7
10
…
3
1
n
2．有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，
形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片
中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……
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设图（n）中的“沙漏形”的个数为
nf （n 为正整数）．观察以上图形，解答下列问题：
(1)填空：
5f ，
nf （用含n 的式子表示）：
(2)当n 的值为多少时，
1
n
n
f
f
的值开始大于2025．
3．观察下列三行数，根据规律解决下列问题：
第一行：1，3
，5，7
，9，11
，13，15
，L
第二行：0，4
，4，8
，8， 12
，12，16
，L
第三行：2，6
，10，14
，18，22
，26，30
，L
(1)第一行第9 个数为________，第二行第9 个数为________，第三行第9 个数为________；
(2)取每行中第10 个数，求三个数之和；
(3)若每行都取第n 个数，是否存在这样的n ，使得这三个数之和为99？若存在，求出n 的值；若不存在，请
说明理由．
4．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮
眼睛，开动脑筋，解答下列问题．
(1)观察下列等式：1
1
1
1 2
2
，
1
1
1
2 3
2
3
，
1
1
1
3 4
3
4
，根据发现的规律：
①写出第6 个等式是________________________，第n 个等式是______________________________；
②计算：1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
2023 2024
；
(2)思考运用以上方法计算：1
1
1
1
1
1
4
12
24
40
60
84
的值．
5．据统计，2023 年，山西新增公路通车里程1076.2公里，年末公路通车里程14.7 万公里，其中高速公路6187.6
公里．根据山西交通建设规划目标，到2027 年，全省高速公路通车里程将突破7000 公里．修路的主要材
料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下：
【观察思考】观察结构简式的分子式回答下列问题：
【规律发现】
（1）图（4）的分子中含________个C 原子；
（2）图
n 的分子中含________个C 原子；
【规律运用】
（3）若图
m 和图
1
m
的分子中共含有242 个C 原子，求m 的值．
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