文档内容
分课时教学设计
第一课时《问题解决策略：归纳》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《问题解决策略：归纳》是作为本章的最后一课，是学生初步学习数学符号语言后
在应用方面的升华。首先要使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型;
能够对一些图形的规律进行归纳。其次使学生经历探索事物间的数量关系并用字母
和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
学习者分析 七年级学生具有好奇好动、敢于质疑、大胆实践的性格特征，分析、思考、归纳、
推理、判断等思维能力也达到了一定的水平，质疑、探究、讨论、合作的意识比较
强，开展小组合作交流活动也有一定的经验， 因此，学生都非常愿意在老师的指
导下，通过操作和想象，通过合作与交流，自主探索和研究知识，充分体现学生是
学习的主人，教师是教学活动的组织者、引导者和参与者.
教学目标 1.经历探索规律到归纳出一般性结论的全过程，掌握解决规律探究类问题的策略和
方法。
2.通过寻找规律并验证说理，提升抽象能力和推理能力。
教学重点 从简单情形中寻找规律到归纳出一般性结论的全过程。
教学难点 找出合适的规律并验证说理
学习活动设计
教师活动 学生活动
环节一：引入新课
教师活动1： 学生活动1：
“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域
分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生
立体及光影的效果，随着三角形数量增加，效果更为斑斓绚 通过问题的形式引导学生，为学习
丽（如图）。 新知识打下基础.
今天我们将对这种类型的图形展开研究。
活动意图说明：通过问题情境，激发学生学习兴趣，营造探索问题的氛围。
环节二：新知探究
教师活动2： 学生活动2：
问题 如图，当长方形内有1个点时，可分得4个三角
形；当长方形内有2个点时，可分得6个三角形（不计被
分割的三角形）。
1小组交流合作，教师适时指导
当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？
【理解问题】
（1）先动手画一画，感受分割得到三角形的过程。
（2）已知条件是什么？目标是什么？ 教师指导学生解答问题，师生共同讨
论、交流
已知条件是长方形内有35个点，将这些点按照前面的方
法连接，形成多个三角形。目标是求出分得的三角形的
总个数。
【拟定计划】
（1）直接研究“长方形内有35个点”的情形，你遇到
了什么困难？
点太多，不方便将三角形全部画出来，也不知道是否有
多种结果。
（2）哪些情形容易研究？从中你能发现什么规律？
长方形内点的个数较少时容易研究，如长方形内有 1个
点、2个点、3个点的情形。初步发现，长方形内点的个
数增加1，三角形的数量增加2。
（3）你发现的规律正确吗？你能给出合理的解释吗？
【实施计划】
写出你的解决方案，并说明其中的道理。
小明的思考过程如下。
（1）先研究长方形内有 3 个点、4 个点的情形（如
图）。
（2）几种简单情形的数据如下表，发现规律：长方形内
点的个数增加1，三角形的个数增加2。
长方形内点的个
1 2 3 4 …
数
三角形的个数 4 6 8 10 …
（3）在长方形内已经有n个点的情况下，新增的一个点
要么在某个三角形内部，要么在某条线段上。当新增的
这个点在某个三角形内部时，连接该点和三角形的顶
点，原来的1个三角形分成3个小三角形，三角形的个数
增加2;当新增的这个点在某条线段上时，连接该点和它
所在两个三角形的顶点，三角形的个数同样增加 2。因
此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是
4+2x34=72。
【回顾反思】
2（1）如果长方形内有100个点呢？一般地，如果长方形
内有n个点呢？
长方形内点的个数 分割成的小三角形个数
100 4+2×（100-1）=202
n 4+2(n-1)=2n+2
（2）你还能提出并解决什么问题？
（3）从简单的情形开始思考有什么好处？通过简单情形
归纳一般性结论，你有哪些经验？
教师总结：
活动意图说明：展示解决问题的全过程，培养学生系统性解决问题的能力。
环节三：探究新知
教师活动3： 学生活动3：
1.32024的个位数字是多少？
31=3 32=9 33=27 34=81 35=243 36=729
37=2187 38=6561……
3n (n为正整数)的个位数字按3，9，7，1四个数字循环
出现。
2024÷4=506，32014的个位数字是 1。 可以让学生先独立尝试解决，然后通过
学生反馈的情况，教师针对一些存在的
2. 如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪 问题进行示范性讲解
开。剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段。
(1) 剪12刀，绳子变成多少段？
(2) 有可能正好剪得101段吗？
1刀 4 段
2刀 7 段
3刀 10 段
4刀 13 段
…….
n 刀 (3n+1) 段
(1) 剪12刀，绳子变成3×12+1=37 (段)
3(2) 不可能。
3.由1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…组成的三
角形数阵如下图所示。
(1) 第10行的10个数的和是多少？
(2) 你还能找到其他规律吗？试一试！
解：(1) 103 =1000
(2)第n行的第1个数：n2-n+1
第n行的第n个数：n2+n-1
4.某类简单化合物中前6种化合物的分子结构模型如下
图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子。按照
这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有多少个氢
原子？
4+2×(60-1)=122(个)
活动意图说明：通过对教材中问题的讲解，进一步巩固对归纳策略的认知。
板书设计 问题解决策略：归纳
1.从简单情形中找规律 2.验证规律
3.解释说理 4.归纳一般性结论
课堂练习 【知识技能类作业】
必做题：
1.观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝
16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+⋯+72024的结果的个位数字是( )
A.0 B.1 C.7 D.8
2. 对如图①所示的正方形作如下操作：
第1次：将图①中的正方形分割成4个相同的部分(如图②)，得到5个正方形；第
42次：将图②左上角的正方形按上述方法再分割(如图③)，得到9个正方形；…，
以此类推，根据以上操作，若要得到2 025个正方形，则需要操作的次数是( )
A.507 B.504 C.505 D.506
选做题：
3. 观察下列各式的规律，然后回答问题.
1 1 1
＝1－ ＝ ；
1×2 2 2
1 1 1 1
＝ － ＝ ；
2×3 2 3 6
1 1 1 1
＋ ＋ ＋…＋ ＝ .
1×2 2×3 3×4 9×10
(1)把横线处的结果填出来；
1 1 1 1
(2)猜想： ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ；
1×2 2×3 3×4 n(n+1)
(3)试说明你的猜想的合理性.
【综合拓展类作业】
4. 观察如图所示的图形，回答下列问题：
(1)图中的点被线段隔开分成四层，第一层有1个点，第二
层有3个点，第三层有5个点，第四层有 个点；
(2)如果要你继续画下去，那么第五层有 个点，第十
层有 个点；
(3)已知某一层上有77个点，则这是第 层；
(4)第一层与第二层点的个数之和是 ，前三层点的个
数之和是 ，前四层点的个数之和是 ，根据
你发现的规律，推测前一百层点的个数之和是 .
课堂总结 从几种特殊情形出发，进而找到一般规律是发现数学结论、解决数学问题的一种重
要策略，这种问题解决策略就是归纳.
在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找规律，通过验证后再考虑
一般情况，最后给出合理的解释，并用数学语言表达规律.
5作业设计 【知识技能类作业】
必做题：
1.若用大小相同的小三角形摆成如图所示的图形，按照这样的规律摆放，则第 n
（ n 为正整数）个图形中所有小三角形的个数是 .
2. 观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结
果是( )
A. 2925 B. 2025 C. 3225 D. 2625
选做题
3.观察下列等式：
1 1 ( 1) 1 1
第 1 个等式:a＝ ＝ × 1− ；第 2 个等式:a ＝ ＝ ×
1 1×3 2 3 2 3×5 2
(1 1)
− ；
3 5
1 1 (1 1) 1 1
第3个等式:a＝ ＝ × − ；第4个等式:a ＝ ＝ ×
3 5×7 2 5 7 4 7×9 2
(1 1)
− ；
7 9
利用归纳策略，解答下列问题：
（1）按照以上规律写出第5个等式：a ＝ ＝ ；
5
（2）用含 n （ n 为正整数）的代数式表示第 n 个等式：a ＝ ＝
n
；
（3）求a +a +a +⋯a 的值.
1 2 3 20
【综合拓展类作业】
4.毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合作了如下研究：
（1）请在表格中写出第6层各个图形的几何点数，并归纳出第 n 层各个图形的几
何点数；
6（2）求第100层各个图形的几何点数的总和.
教学反思 本节课难度较大，学生一般缺乏自主思维去解决这样的规律探究类题目。但通过本
节课的学习，让学生体验了归纳一般性结论的全过程，让学生有了一定的经验和策
略。后续学习中，可以给学生展示不同类型的应用场景，让学生进一步巩固解决此
类问题的能力。
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