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专题02 数与式二
（代数式、因式分解、分式，二次根式）
5 年真题1 年模拟
考点分类
北京考情（2022-2026）
命题规律
考点01 代数式
2022 福建卷、
2023 福建卷、
2024 福建卷、
2025 福建卷、
2026 福建卷
1. 基础小题：出题形式选择题，考查同底数幂乘
除、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，纯公式
辨析，难度低；
2. 压轴阅读探究大题：结合二次根式、整数小数
部分、科学记数法位数新定义，材料长、逻辑推
导多，侧重代数推理、分类讨论；
3. 命题特点：每年固定1 道基础幂运算选择+
1 道创新材料探究大题，素材以代数新定义、规
律探究为主，区分度集中在阅读大题。
考点02 因式分解
2026 福建卷
2024 福建卷
2022 福建卷
基础题型为填空题，分值4 分，优先考查提公
因式法、平方差公式因式分解，属于基础送分题；
偶尔结合等式性质、代数证明综合设问，融合因
式分解、分类讨论、奇偶性推理作为阅读探究题
型；命题侧重两点：①因式分解规范书写（分解
彻底）；②等式变形时不能随意除以可能为0 的
代数式，辨析推理漏洞。
考点03 分式的运
算
2026 福建卷、
2025 福建卷、
2023 福建卷、
2022 福建卷
高频考查，分为两类题型：①填空类分式整体代
换求值；②解答题「先化简，再求值」。化简求
值以分式加减乘除混合运算为主，代入值常带二
次根式；易错点：分式有意义的取值限制、去括
号符号问题、约分不彻底；整体代换题型侧重等
式变形，不直接求解未知数，技巧性较强。
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考点01 代数式
1．（2024·福建·中考真题）下列运算正确的是（
）
A．
3
3
9
a
a
a
B．
4
2
2
a
a
a
C．
2
3
5
a
a
D．
2
2
2
2
a
a
2．（2023·福建·中考真题）下列计算正确的是（
）
A．
3
2
6
a
a
B．
6
2
3
a
a
a
C．
3
4
12
a
a
a
D．
2
a
a
a
3．（2022·福建·中考真题）化简
2
2
3a
的结果是（
）
A．
2
9a
B．
2
6a
C．
4
9a
D．
4
3a
4．（2026·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题．
主
题
探究形如
2
2a
b
的数的整数部分与小数部分的特征
提
出
问
题
学过“二次根式”，我们知道许多二次根式
p 为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即
p
m
n
，其中m 为整数，0
1
n
．如
2
1
2
1
，
1
5
2
3
5
．那么形如
2
2a
b
的数，其整数部分m 与小数部分n 各有什么特征呢？
探
究
发
现
小华对此展开研究，其探究过程如下：
（1）
2
2
1
0
3
2 2
；（2）
2
2
1
3
2 2
①
2 2
2
；
（3）
2
2 2
2
0
12
8 2
；（4）
2
2 2
2
12
8 2
23
②；
（5）
2
3 2
4
0
34
24 2
；（6）
2
3 2
4
34
24 2
67
24 2
33
．
据此，小华提出并证明了以下命题．
命题：若整数a ，b 满足0
2
1
a
b
，且
2
2a
b
的整数部分为m ，小数部分为n ，则m 必为奇
数，且
2
2
1
a
b
n
．
命
题
证
明
证明：因为
2
2
2
2
2
2 2
a
b
a
ab
b
，
2
2
2
2
2
2 2
a
b
a
ab
b
，
所以
2
2
2
2
2
2
4
2
a
b
a
b
a
b
，即
2
2
2
2
2
4
2
2
a
b
a
b
a
b
．
又因为
2
2a
b
m
n
，且0
1
n
，
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所以
2
2
2
4
2
2
a
b
a
b
m
n
．
又根据0
2
1
a
b
，可得
2
0
2
1
a
b
．
因此，m ③，n ④．
又因为a ，b 均为整数，所以
2
2
4
2
a
b
为偶数，
故m 必为奇数，且
2
2
1
a
b
n
．
拓
展
延
伸
问题1 若整数a ，b 满足1
2
2
a
b
，那么
2
2a
b
的整数部分m 是否仍为奇数？证明你的结
论；
问题2 若整数a ，b 满足
2
1
k
a
b
k
，其中k 为整数，且
2
k
，试探究：
2
2a
b
的整数
部分m 是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明．
(1)补全①②③④所缺的内容；
(2)解决问题1；
(3)解决问题2．
5．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题．
主题
两个正数的积与商的位数探究
提出问
题
小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式
“ 46
2
92;35
21
735;663 11
7293;186
362
67332
”，猜想：m 位的正整数与n 位的正整数
的乘积是一个(
1)
m
n
位的正整数．
分析探
究
问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例
推广延
伸
小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到
对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法
表示为
10n
a
，则称这个数的位数是
1
n ，数字是a．
借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．
命题：若正数A，B，C 的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A
B
C
，则必有c
a
≥
且c
b
，或c
a
且c
b
．并且，当c
a
≥且c
b
时，
1
p
m
n
；当c
a
且c
b
时，p
m
n
．
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证明：依题意知，A，B，C 用科学记数法可分别表示为
1
1
1
10
,
10
,
10
m
n
p
a
b
c
，其中a，b，c
均为正数．
由A
B
C
，得
2
1
10
10
m n
p
ab
c
，
即
1
10 p m n
ab
c
．（*）
当c
a
≥且c
b
时，“
1
a
c ，所以
10
ab
b
c
，又
1
10
ab
a
c
c
，所以1
10
10
ab
c
．由（*）知，
1
ab
c ，
所以
1
p
m
n
；
当c
a
≥且c
b
时，
1
1
a
c
b
c
，所以
10
1
ab
b
c
ab
a
c
所以1
10
ab
c
，
与（*）矛盾，不合题意；
当c
a
且c
b
时，①；
当c
a
且c
b
时，②．
综上所述，命题成立．
拓展迁
移
问题2 若正数A，B 的位数分别为m，n，那么A
B 的位数是多少？证明你的结论．
(1)解决问题1；
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；
(3)解决问题2．
考点02 因式分解
1．（2026·福建·中考真题）因式分解：
2
2
x
y
__________．
2．（2024·福建·中考真题）因式分解：x2+x=_____．
3．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于0”，并证明如下：
设任意一个有理数为x ，令x
m
，
等式两边都乘以x ，得
2
x
mx
①
等式两边都减
2
m ，得
2
2
2
x
m
mx
m
②
等式两边分别分解因式，得
x
m
x
m
m x
m
③
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等式两边都除以x
m
，得x
m
m
④
等式两边都减m ，得
0
x
⑤
所以任意一个有理数都等于0．
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_________________．
4．（2024·福建·中考真题）已知实数, , ,
,
a b c m n 满足3
,
b
c
m
n
mn
a
a
．
(1)求证：
2
12
b
ac
为非负数；
(2)若, ,
a b c 均为奇数，
,
m n 是否可以都为整数？说明你的理由．
考点03 分式的运算
1．（2026·福建·中考真题）已知实数p ，q 满足1
1
1
p
q
，则
1
1
p
q
的值为____________．
2．（2023·福建·中考真题）已知1
2
1
a
b
，且a
b
，则ab
a
a
b
的值为___________．
3．（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：
2
1
2
1
2
a
a
a
a
a
，其中
5
1
a
．
4．（2023·福建·中考真题）先化简，再求值：
2
2
1
1
1
x
x
x
x
x
，其中
2 1
x
．
5．（2022·福建·中考真题）先化简，再求值：
2
2
1
1
(1
)
a
a
a
，其中
2
1
a
．
1．（2026·福建三明·三模）多项式
2
1
x y
xy
的次数是（
）
A．5
B．3
C．2
D．1
2．（2026·福建三明·三模）下面的计算正确的是（
）．
A．
2
2
a
b
a
b
B．
2
3
a
a
a
C．
m
n
m
n
D．3
2
a
a
a
3．（2026·福建厦门·模拟预测）下列运算中，计算正确的是（
）
A．
3
2
5
m
m
m
B．
3
2
6
2
6
m
m
C．
2
3
5
2
m
m
m
D．
6
3
2
m
m
m
4．（2026·福建泉州·二模）下列运算正确的是（
）
A．
2
2
a a
a
B．
3
2
6
a
a
C．
9
3
3
a
a
a
D．
2
3
5
3
3
6
a
a
a
5．（2026·福建福州·模拟预测）下列运算结果不为
6x 的是（
）．
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A．
3
3
x
x
B．
3
3
x
x
C．
2
3x
D．
2
3x
6．（2026·福建莆田·模拟预测）下列四个选项中，计算结果与其他三项不相同的是（
）
A．
3
4
a
a
B．
14
2
a
a
C．
4
3
a
D．
6
2
a
7．（2026·福建宁德·一模）下列运算正确的是（
）
A．
2
2
3
9
a
a
B．
2
3
6
a
a
a
C．3
3
a
b
ab
D．
2
3
2
3
a
a
8．（2026·福建厦门·一模）下列运算正确的是（
）
A．
2
2
3
2
1
a
a
B．
2
3
5
(
)
a
a
C．
5
2
3
a
a
a
D．
2
3
6
a
a
a
9．（2026·福建漳州·模拟预测）若
1
4
x
在实数范围内有意义，则实数x 的值可以是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
10．（2026·福建厦门·模拟预测）代数式
2
5
x
在实数范围内有意义，则x 的值不可以是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
11．（2026·福建泉州·模拟预测）已知实数a ，b 满足
3
2
a
b
，则a
b
a
的值为（
）
A．1
3
B．
1
2
C．2
D．3
12．（2026·福建漳州·模拟预测）估算
2026
2025
2026
的值应在（
）
A．4050 和4051 之间
B．4000 和5000 之间
C．4051 和4052 之间
D．4051 和4053 之间
13．（2026·福建泉州·一模）若
3
x
在实数范围内有意义，则实数x 的值可以为（
）
A．2
B．0
C．2
D．4
14．（2026·福建南平·二模）若
2
2
1
a
a
，则
2
3
6
2
a
a
________．
15．（2026·福建福州·模拟预测）若
3
a
b
，
2
ab
，则
3
2
2
3
2
a b
a b
ab
的值为______．
16．（2026·福建厦门·三模）某班开展“书香润心灵，阅读伴成长”读书活动，小华积极参与活动，选择了一
本120页的书，他计划用x 天读完这本书，则他平均每天需阅读的页数是________．
17．（2026·福建漳州·模拟预测）密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．小李利用数学知识进行密
码编制，通过整式的乘除运算，取运算结果x，y，z 的指数依次生成密码，如
10
3
4
x y x z
运算结果为
13
4
x yz 对
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应的密码是1314，则
7
3
4
6
2
x
y z
xy
对应的密码是________．
18．（2026·福建漳州·模拟预测）因式分解：
2
4
8
xy
y
_________．
19．（2026·福建漳州·模拟预测）因式分解：
2
2
a
a
a
_________．
20．（2026·福建泉州·二模）生活中的有些密码，可以用数学的“因式分解”来生成．例如，把多项式
3
2
2
4
2
x
x
x
，因式分解为
2
2
1
x x
，当
10
x
时，求得各因式的值分别为20、11、11，将这三个数值按
从小到大排列，生成六位数密码“111120 ”．用上述方法，把多项式
3x
x
进行因式分解，当
12
x
时，可以
生成的密码是_______________．
21．（2026·福建泉州·一模）已知
1
3
b
a
，则a
b
a
的值为______．
22．（2026·福建厦门·三模）若
4
a
有意义，则a 的值可以是________．（任意写出一个符合条件的a 值
即可）
23．（2026·福建泉州·模拟预测）计算：
2
3
6
______．
24．（2026·福建福州·一模）已知非零实数a ，b 满足
2
1
b
a
b
，则
2
5
a
ab
b
ab
的值是_____．
25．（2026·福建泉州·模拟预测）已知：3
b
c
m
n
a
，
c
mn
a
．若
2
b
a
c
，
0
ac
，则
1
3
m
n
的值
为______．
26．（2026·福建福州·一模）若
4
a
b
，则
2
2
3
6
3
47
a
ab
b
的值为_______.
27．（2026·福建厦门·模拟预测）观察下列算式：
①21 36
756
，63 12
756
，即21 36
63 12
；
②12
84
1008 48
21
1008
，
，即12 84
48 21
；
③39
62
2418 26
93
2418
，
，即39
62
26
93
；
…
我们把具有上述规律的两位数乘法算式称为“回文乘式”，根据你发现的规律，请再写一个乘数的十位与个位
上的四个数字互不相同的回文乘式：__________．
28．（2026·福建泉州·二模）已知
2
2025
1
0
x
y
，则
xy 的值是___________．
29．（2026·广东云浮·一模）单项式
3
a b
的次数是_______．
30．（2026·福建福州·三模）已知
1
2
,
2
2
x
y
xy
，则
2
2
2x y
xy
____________．
31．（2026·福建厦门·三模）已知
2
2
4
0,3
6
4
0
x
y
y
y
，则
3
x
y
y
的值为______．
32．（2026·福建厦门·二模）某镇为发展农业经济，对10 km 的农产品运输通道进行扩建和重修，某货车在
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该运输通道上行驶，平均速度从原来的
km / h
a
提升到3
km / h
2 a
．计算该货车在该运输通道上行驶可节约
的时间，结果为________．（用含a 的代数式表示）
33．（2026·福建泉州·模拟预测）计算：
0
2026
π
2
3
2
3
2cos30
．
34．（2026·福建厦门·模拟预测）先化简，再求值：
2
2
(
1)
(
2)(
2)
2
x
x
x
x
，其中
1
2
x
．
35．（2026·福建宁德·二模）化简：
2
2
3
1
a
a
a a
．
36．（2026·福建莆田·模拟预测）先化简，再求值：
2
4
1
1
2
2
x
x
x
x
x
，其中
3
1
x
．
37．（2026·福建泉州·二模）先化简，再求值：
2
3
2
1
1
2
2
a
a
a
a
，其中
2
1
a
．
38．（2026·福建泉州·二模）先化简，再求值：
2
3
5
1
4
4
2
x
x
x
x
，其中
2
2
x
．
39．（2026·福建漳州·模拟预测）先化简，再求值：
2
2
2
2
2
x
xy
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
，其中
2
0
x
y
．
40．（2026·福建泉州·模拟预测）计算：
2
3
1
6
27
2
2
2
3
．
41．（2026·福建漳州·一模）先化简
2
2
4
2
2
,
2
4
4
x
x
x
x
x
x
再求解当
1
x 所得数值．
42．（2026·福建南平·二模）已知对任意实数a、b，有
2
0
a
b
，当且仅当a
b
时等号成立．利用上述
条件，解决以下问题：
(1)已知实数a、b 满足
2
a
b
k
（k 为常数），证明
2
ab
k
，并写出不等式
2
ab
k
中等号成立的条件；
(2)当
2
a
b
k
（k 为常数）且a
b
，利用代数推理求出代数式
2
2
a
b
的取值范围（用含k 的式子表示）．
43．（2026·福建莆田·模拟预测）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如
图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了
n
a
b
（n
为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，
2，1，恰好对应
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着
3
3
2
2
3
3
3
a
b
a
a b
ab
b
展开式中的系数等等．
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(1)根据上面的规律，则
5
a
b
的展开式为．
(2)
n
a
b
的展开式共有项，系数和为．
(3)利用上面的规律计算：
5
4
3
2
2
5
2
10
2
10
2
5
2
1
．
44．（2026·福建漳州·模拟预测）阅读材料，回答问题．
主
题
探“排序不等式”，寻资源匹配最优解
问
题
背
景
排序不等式：若
1
2
n
a
a
a
，
1
2
n
b
b
b
L
为两组正实数组，
1
2
,
,
,
n
c c
c 为
1
2
,
,
,
n
b b
b 的任意一种排列，分别称
1
2
1
1
n
n
n
a b
a b
a b
L
，
1 1
2
2
n
n
a c
a c
a c
，
1 1
2
2
n
n
a b
a b
a b
为反序和
1S ，乱序和
2
S ，正序和
3
S ，则
1
2
3
S
S
S
．
利用排序不等式，我们合理安排工作顺序，可以提高某项工作的完成效率，实现资
源匹配最优解，请看下面问题．
问题1：随着新能源汽车的普及，充电轿车走进了千家万户．某电车快速充电站同
时有10 辆轿车要充电，设第i 辆轿车充满电需时间it 分钟
1,2,
,10
i
，且这10
辆轿车充满电量所需时间均不相同，如果充电站仅提供一台充电桩，应如何安排这
10 辆轿车的充电顺序，使所有轿车等候的总时间最短?
验
证
猜
想
证
明
假设只有两辆充电轿车，且两辆车充满电量所需时间分别为1t ，2t 分钟，不妨设
1
2
t
t
，若充电时间为1t 的轿车先充电，则等候1t 分钟，接着2t 的轿车充电等候了
1
2
t
t
分钟，两辆车等候的总时间
1
1
2
2
T
t
t
分钟；
若充电时间为2t 的轿车先充电，则两辆车等候的总时间
2
T ①
分钟．
所以
1
2
T
T
②，故
1T ③
2
T （填“>”，“<”或“=”）．
所以要使两辆轿车等候的总时间最短，则充满电量所需时间短的轿车先充电．
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据此，猜测问题1 求解方案为：④．
拓
展
迁
移
如果充电站有三台编号分别为P，Q，R 的充电桩（充电效率相同）可供充电，且充
电站管理员了解到这10 辆轿车的充电时间如下表所示，
轿车编号
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
充电时间
（单位：分
钟）
30
80
100
70
45
90
50
60
40
65
问题2 如果你是充电站管理员，能否安排这10 辆轿车分别在哪台充电桩充电和相
应的充电顺序，使得这三台充电桩同时完成充电且这10 辆轿车等候的总时间最短?
若能，直接写出安排方案；若不能，请说明理由．
(1)请把①②③④所缺的内容补充完整；
(2)请利用排序不等式证明：问题1 的求解方案能使这10 辆轿车等候的总时间最短；
(3)利用排序不等式解决问题2．
45．（2026·福建三明·三模）阅读材料，完成提出的任务．
九年级数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N 能否表示为
2
2
x
y
，其中x ，y 均为自然数．”的问题．
素材1：该兴趣小组的指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n 为正整数) ：
N
奇数
4 的倍数
表示结果
2
2
1 1
0
2
2
3
2
1
2
2
5
3
2
____①____
2
2
9
5
4
…
2
2
4
2
0
2
2
8
3
1
2
2
12
4
2
2
2
16
5
3
____②____
…
一般结论
2
1
n ____③____
____④____
素材2 ：该数学兴趣小组还猜测：像2 ，6 ，10，14，…，这些形如4
2
n
（n 为正整数）的正整数N 不能
表示为
2
2
x
y
．
任务：
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(1)按上表的规律，①的内容是，②的内容是；
(2)根据素材1，若正整数N 为奇数时，请写出它的一般结论，③的内容是；若正整数N 为4 的倍数时，请
写出它的一般结论，④的内容是（用含n 的等式表示）；
(3)根据素材2 ，请判断该兴趣小组的猜测是否正确，若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例．
46．（2026·福建宁德·一模）若正整数对
,
m n 满足：
2
m
n
a
，
2
m
n
b
（a ，b 为正整数），则称
,
m n
为平方匹配数对．例：
2
17
8
25
5
，
2
17
8
9
3
，则
17,8 为平方匹配数对．
(1)判断
26,10 是否为平方匹配数对；
(2)若
,
m n 是平方匹配数对，求证：
2
2
,
m
mn n
mn
也是平方匹配数对．
47．（2026·福建三明·二模）阅读材料，回答问题．
将边长为1 的正方形称为“单位正方形”，由若干个单位正方形组成的矩形称为“网格矩形”，水平方向边长为
m，竖直方向边长为n 的网格矩形称为“ m
n
矩形”，例如，图1，图2，图3 中的网格矩形分别称为“2×1 矩
形”“2×3 矩形”“4×3 矩形”．小海、小江和小河对“矩形的一条对角线穿过单位正方形（至少经过单位正方形
内部的一个点）的数量”问题产生浓厚兴趣，并对此展开探究．
小海分别画出图1，图2，图3 中网格矩形的一条对角线，制作了下表：
（
m n
k
表示m
n
矩形的一条对角线穿过单位正方形的个数）
m
n
m
n
m n
k
2
1
3
2
2
3
5
4
4
3
7
①
小海根据表中数据发现
m n
k
与m
n
之间满足等量关系：
m n
k
②．记这个等量关系为“*”．
小江、小河研究发现等量关系*可以推广，并分别提出观点．
小江的观点是：在m
n
矩形中，当正整数m，n 中至少有一个为奇数时，等量关系*一定成立．
小河的观点是：在m
n
矩形中，当正整数m，n 互质（m，n 的公因数只有1）时，等量关系*一定成立．
(1)①的内容是_______，②的内容是_______；
(2)判断小江、小河的观点是否正确，并针对错误的观点举出反例；
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(3)m，n 均为正整数，且m
n
，写出满足
6
m n
k
的所有数对
,
m n ．
48．（2026·福建南平·二模）阅读材料，回答问题．
主题
“错”中取义——“非法约分”的规律探究
提出问题
小明是一位爱思考的小学生，他在查看约分的作业本时，发现不
可思议却又约分正确的练习题：2 6
6
2
5
5
，16
6
1
4
4
，小明称之为“非
法约分”，据此，他提出猜想：若一个分数“约去”分子和分母中相
同的数字，则得到的数与原分数值相等．
分析问题
问题1. 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举
出反例．
解决问题
小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，并举例验证猜想，为
了研究分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的一般结构，进
而推广到其他分数的情形，规定：分子、分母均为两位数且“非法
约分”正确的分数的分子、分母分别为
10
ab
a
b
，
10
1
, ,
9
bc
b
c
a b c
，且该分数的“非法约分”表示为：
ab
a b
bc
b
a
c
c
．
提出并证明了以下命题．
命题：若分数
1
9,1
9
ab
a
a
c
b
c
bc
，则必有a
b
c
或
a
b
c
时，有序数对
, ,
a b c 有且仅有4 对．
证明：依题意知，10
10
a
b
a
b
c
c
，整理，得
9
10
ac
b
a
c
…（*），
当a
b
c
时，
1
aa
a
a
aa
，显然成立；
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当
a
b
c 时，
9
10
ac
a
a
c
，所以a
c
矛盾，舍去；
当a
c
b
时，
2
9
10
a
b
a
a
，所以a
b
矛盾，舍去；
当a
b
c
时，因为8
0
a
c
，所以
10
9
a
c
a
a
c
不是
9 的倍数，由（*）得b 为3 的倍数，所以
3
b
，6 或9 ，
若
3
b
，则由（*）得，
10
9
3
3
3
3
3
1
3
1
3
1
a
a
a
a
c
a
a
a
，由
3
1
3
a
a
得，c 不是整数，舍去；
若
6
b
，则由（*）得，①；
若
9
b
，则由（*）得，②．
综上所述，a
b
c
，，应满足a
b
c
或a
b
c
时，有序数对
, ,
a b c 有且仅有4 对．
故命题成立．
推广延伸
问题2 .若把19
95 的分子、分母中相同数字9 “拉长”至n 个得到分数
19
9
9
95
n
n
个
个
，则它的“非法约分”是否正确？证明你的结论．
(1)解决问题1；
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；
(3)解决问题2 ．
49．（2026·福建三明·一模）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是7 的整数倍．
方法：三位数abc割掉末位数字c 得两位数
ab ，再用ab 减去c 的2 倍所得的差为
2
ab
c
．若
2
ab
c
是7 的整数倍，则abc是
7 的整数倍．
注：
100
10
abc
a
b
c
举例：对于三位数364，割掉末位数字4
得36，36
4
2
28
，因为28 是7 的
整数倍，所以364 是7 的整数倍．
(1)①填空：226_____7 的倍数．（填：“是”或“不是”）
②材料中的判断方法是“若
2
ab
c
是7 的整数倍，则abc是7 的整数倍”，请证明这种方法的正确性；
(2)经论证，“割尾法”也能判断一个四位数是否为7 的整数倍．若四位自然数
226
N
n
能被7 整除，求n 的
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所有可能取值．
50．（2026·福建福州·模拟预测）已知整数a，b，m，n 满足a
b
mn
．
(1)求证：
2
2
2
a
b
mnb
为非负数；
(2)若m，n 为两个连续的正整数，且
,
m
n c
a
m
b
a
n
b
，求证：c 一定是奇数．
51．（2026·福建莆田·三模）定义：如果一个正整数可以被4 整除，且可以表示为两个正整数的平方差，我
们把这个数称为“特色数”．例如，16 可以被4 整除，且
2
2
16
5
3
，所以16 为“特色数”．
(1)8 是否为“特色数”？说明理由；
(2)在数学上常用mn 表示一个十位数字为m ，个位数字为n 的两位数．若mn 是一个“特色数”，且
4
m
n
，
求mn ．
52．（2026·福建泉州·一模）【观察发现】有些三位数，十位上的数字的两倍恰好等于百位上的数字与个位
数字的和．如：345，147 等，我们称这样的三位数为“和倍数”．
【猜想验证】猜想“和倍数”是哪个正整数（1 除外）的倍数，并验证你的猜想．
