中考总复习：分式与二次根式---知识讲解（提高）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_06总复习：分式与二次根式（提高）

让更多的孩子得到更好的教育 中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能 够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根 式的运算． 【知识网络】 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子 就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式 没有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于零的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有 括号的作用； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 （2）分式 中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式 中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ± = 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算 （分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数 . 3．负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 5．约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 约分需明确的问题： (1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等； (2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公 因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积． 6．通分 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分． 通分注意事项： (1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次 幂的积． (2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉． (3)确定最简公分母的方法： 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 要点诠释： 分式运算的常用技巧 （1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果 先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便. (2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分, 依此方法计算,运算简便. (3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多 1 1 1 的，无法进行通分，因此，常用分式 进行裂项.   n(n1) n n1 (4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能 出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便. (5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简， 再相加减. （6）倒数法求值（取倒数法）. （7）活用分式变形求值. (8)设k求值法(参数法) (9)整体代换法. (10)消元代入法. 考点三、分式方程及其应用 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 (1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中 未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现 不适合原方程的根---增根； (2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入 到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 4．分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等 量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正 确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性． 要点诠释： 解分式方程注意事项： （1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆； （2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果 为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审——仔细审题，找出等量关系； (2)设——合理设未知数； (3)列——根据等量关系列出方程； (4)解——解出方程； (5)验——检验增根； (6)答——答题． 考点四、二次根式的主要性质 1. ； a  0(a 0)  2 2. a  a (a 0)； 3. ； 4. 积的算术平方根的性质： ； 5. 商的算术平方根的性质： . 6.若 ，则 . 要点诠释： 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 与 的异同点： （1）不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数a的算术平方根的平方，而 表示一个实数a的平方的算术平方根；在 中 ，而 中a可以是正实数，0，负实数． 但 与 都是非负数，即 ， ．因而它的运算的结果是有差别的， ，而 （2）相同点：当被开方数都是非负数，即 时， = ； 时， 无意义， 而 . 考点五、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； (3)乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3．二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号， 应先算括号里面的； (2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则 及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释： 怎样快速准确地进行二次根式的混合运算. 1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的； 2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用； 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径， 往往能收到事半功倍的效果. (1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点 分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简 的目的，但最后结果一定要化简. 例如 ，没有必要先对 进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 法运算， ，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如： ，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化. 4．分母有理化 把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积 不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式： （1） 互为有理化因式； （2） 互为有理化因式；一般地 互为有理化因式； （3） 互为有理化因式；一般地 互为有理化因式. 【典型例题】 类型一、分式的意义 x2 1 1．若分式 的值为0，则x的值等于 ． x1 【答案】1； 【解析】由分式的值为零的条件得 ﹣1=0，x+1≠0， x2 由 ﹣1=0，得x=﹣1或x=1， x2 由x+1≠0，得x≠﹣1， ∴x=1， 故答案为1． 【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 举一反三： 【变式1】如果分式3x2 27 的值为0，则x的值应为 . x3 【答案】由分式的值为零的条件得3x2-27=0且x-3≠0， 由3x2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0， ∴x=-3或x=3， 由x-3≠0，得x≠3． 综上，得x=-3，分式3x2 27 的值为0．故答案为：-3． x3 【高清课程名称：分式与二次根式 高清ID号：399347 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 关联的位置名称（播放点名称）：例1】 【变式2】若分式 不论x取何实数总有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】若分式 不论x取何实数总有意义，则分母 ≠0， 设 ，当△＜0即可， . 答案m＞1. 类型二、分式的性质 bc ca ab abc 2．已知   ,求 的值. a b c abbc(ca) 【答案与解析】 bc ca ab 设   k , a b c 所以 bcak,ca bk,abck 所以 bccaabakbkck, 所以 2(abc)k(abc),(abc)(2k)0, 即 或 k 2 (abc)0, abc 1 1 当k 2,所求代数式   , abck3 k3 8 当abc0,所求代数式1. 1 即所求代数式等于 或1. 8 【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k法求解. 举一反三： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 abc 【变式】已知   ,   ,   ,求 的值. a b 6 b c 9 a c 15 abbcac 【答案】 1 1 1 1 1 1 1 1 1 因为   ,   ,   , a b 6 b c 9 a c 15 各式可加得1 1 1 1 1 1   2   ,   a b c 6 9 15 1 1 1 31 所以    ， a b c 180 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 abc abc(abc) 1 180    . 所以abbcac (abbcac)(abc) 1 1 1 31   c a b 类型三、分式的运算 x y z x2 y2 z2 3．已知   1,且x yz 0,求   的值. yz zx x y yz xz x y 【答案与解析】 因为 , x yz 0 所以原等式两边同时乘以x yz,得: x(x yz) y(x yz） z(x yz)    x yz. yz zx x y x2 x(yz) y2 y(zx) z2 z(x y) 即       x yz, yz yz zx zx x y x y x2 y2 z2 所以   (x yz) x yz, yz zx x y x2 y2 z2 所以   0. yz zx x y 【总结升华】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才 能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想. 举一反三： 【变式1】已知 且 ,求 a b c 的值. abco   a1 b1 c1 【答案】 1 yz 由已知得  , a x 1 yz x yz a1 x yz 所以 1 1 ,即  , a x x a x a x 所以 ,  a1 x yz b y c z 同理  ,  , b1 x yz c1 x yz 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 a b c x y z x yz 所以 .       1 a1 b1 c1 x yz x yz x yz x yz 【高清课程名称：分式与二次根式 高清ID号：399347 关联的位置名称（播放点名称）：例2】 【变式2】已知x＋y=－4，xy=－12，求 的值． 【答案】原式 = 将x＋y＝－4，xy＝－12代入上式， ∴原式 类型四、分式方程及应用 2 ax 3 4．a何值时,关于x的方程   会产生增根? x2 x2 4 x2 【答案与解析】 方程两边都乘以 ,得 (x2)(x2) 整理得 . (a1)x10 当a = 1 时,方程无解. 10 当a1时,x . a1 如果方程有增根,那么 ,即 或 . (x2)(x2)0 x2 x2 10 当x2时, 2,所以a4; a1 10 当x2时, 2,所以a = 6 . a1 所以当a4或a = 6原方程会产生增根. 【总结升华】 因为所给方程的增根只能是x2或x2，所以应先解所给的关于x的分式方程，求出其 根，然后求a的值. 5．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20 分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工． （1）问乙单独整理多少分钟完工？ （2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？ 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第10页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 【答案与解析】 （1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得： 20 2020  1 40 x 解得x＝80， 经检验x＝80是原分式方程的解． 答：乙单独整理80分钟完工． （2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得 30 y  1 80 40 解得：y≥25 答：甲至少整理25分钟完工． 【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多， 主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间． （1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可； （2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可． 举一反三： 【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二 的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分 钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（ ） 25 30 10 25 30 A． B．    10 x (1800 ）x 60 x (1800 ）x 0 0 30 25 10 30 25 C． D．    10 (1800 ）x x 60 (1800 ）x x 0 0 【答案】 设走路线一时的平均速度为x千米/小时， 25 30 10   x (1800 ）x 60 0 故选A． 类型五、二次根式的定义及性质 a2 6．要使式子 有意义，则a的取值范围为 ． a 【答案】a≥－2且a≠0． 【解析】根据题意得：a+2≥0且a≠0， 解得：a≥－2且a≠0． 故答案为：a≥－2且a≠0． 【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出x的 范围． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第11页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 类型六、二次根式的运算 【高清课程名称：分式与二次根式 高清ID号：399347 关联的位置名称（播放点名称）：例3】 7． 【答案与解析】 原式＝ =30-12 +5-2 【总结升华】此题关键是 变为 =5-2 . 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第12页 共12页