中考总复习：函数综合--知识讲解（提高）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_20总复习：函数综合（提高）

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中考总复习：函数综合—知识讲解（提高）
撰稿：张晓新 审稿：杜少波
【考纲要求】
1．平面直角坐标系的有关知识
平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，
求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等.
2．函数的有关概念
求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法．
3．函数的图象和性质
常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．
利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置．
4．函数的解析式
求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．
一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的
切线、圆的有关线段组成综合题．
【知识网络】
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【考点梳理】
考点一、平面直角坐标系
1．相关概念
（1）平面直角坐标系
（2）象限
（3）点的坐标
2.各象限内点的坐标的符号特征
3.特殊位置点的坐标
（1）坐标轴上的点
（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标
（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标
（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标
4.距离
（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离
（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离
（3）平面上任意两点间的距离
5.坐标方法的简单应用
（1）利用坐标表示地理位置
（2）利用坐标表示平移
要点诠释：
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于 y ；
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于 x ；
（3）点P(x,y)到原点的距离等于 x2  y2 .
考点二、函数及其图象
1.变量与常量
2.函数的概念
3.函数的自变量的取值范围
4.函数值
5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）
6.函数图象
要点诠释：
由函数解析式画其图像的一般步骤：
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.
考点三、一次函数
1.正比例函数的意义
2.一次函数的意义
3.正比例函数与一次函数的性质
4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系
5.利用一次函数解决实际问题
要点诠释：
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k 0）中的常数k；确定一个一次函数，
y  kx 
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需要确定一次函数定义式 （k 0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.
y  kxb 
考点四、反比例函数
1.反比例函数的概念
2.反比例函数的图象及性质
3.利用反比例函数解决实际问题
要点诠释：
反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数 图像上任一点
作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PM PN= .
∴ .
考点五、二次函数
1.二次函数的概念
2.二次函数的图象及性质
3.二次函数与一元二次方程的关系
4.利用二次函数解决实际问题
要点诠释：
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
如图：点A坐标为（x ，y ），点B坐标为（x ，y ），则AB间的距离，即线段 AB的长度为
1 1 2 2

x  x
2


y  y
2
.
1 2 1 2
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2、函数平移规律：左加右减、上加下减.
3、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
时， .
如果自变量的取值范围是 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围 内，若
在此范围内，则当x= 时， ；若不在此范围内，则需要考虑函数在 范围内
的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当 时， ，当 时，
；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当 时， ，当
时， .
4、抛物线的对称变换
①关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 轴对称后，得到的解析式是 .
②关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 轴对称后，得到的解析式是 .
③关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
关于原点对称后，得到的解析式是 .
④关于顶点对称
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关于顶点对称后，得到的解析式是 ；
关于顶点对称后，得到的解析式是 ．
⑤关于点 对称
关于点 对称后，得到的解析式是 .
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求
抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛
物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然
后再写出其对称抛物线的表达式．
考点六、函数的应用
1.一次函数的实际应用
2. 反比例函数的实际应用
3. 二次函数的实际应用
要点诠释：
分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多
设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段
计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.
【典型例题】
类型一、用函数的概念与性质解题
1．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P是第一象限内的直线y=6－x上的点，O是坐
标原点（如图所示） ：
（1）P点坐标设为(x, y) ，写出ΔOPA的面积S的关系式；
（2）S与y具有怎样的函数关系，写出这函数中自变量y的取值范围；
（3）S与x具有怎样的函数关系？写出自变量x的取值范围；
（4）如果把x看作S的函数时，求这个函数解析式，并写出这函数中自变量取值范围 ；
（5）当S=10时，求P的坐标；
（6）在直线y=6－x上，求一点P，使ΔPOA是以OA为底的等腰三角形.
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【思路点拨】本例的第（1）问是“S ”与“y”的对应关系，呈现正比例函数关系，y是自变量；第（3）
ΔOPA
问是“S”与“x”的对应关系，呈现一次函数关系，x是自变量；第（4）问是“x”与“S”的对应关系，呈
现一次函数关系，S是自变量，不要被是什么字母所迷惑，而是要从“对应关系”这个本质去考虑，分清
哪个是函数，哪个是自变量.
【答案与解析】
解：（1）过P点作x轴的垂线，交于Q，
S = |OA|·|PQ|= ×4×y=2y.
ΔOPA
（2）S与y成正比例函数，即S=2y，
自变量y的取值范围是0＜y＜6.
（3）∵ y=6-x, ∴ S=2y=2(6-x)=12-2x,
∴ S=-2x+12成为一次函数关系，自变量x的取值范围是0＜x＜6.
（4）∵把x看作S的函数，
∴ 将S=-2x+12变形为：x= ,即这个函数的解析式为：x=- +6.
自变量S的取值范围是：0＜S＜12.
（5）当S=10时，代入（3）、（4）得：x=- +6=- +6=1, S=2y, 10=2y, ∴ y=5,
∴ P点的坐标为（1，5）.
（6）以OA为底的等腰ΔOPA中，
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∵ OA=4， ∴OA的中点为2，∴x=2,
∵ y=6-x, ∴y=4. 即P点坐标为（2，4）.
【总结升华】
数学从对运动的研究中引出了基本的函数概念，函数的本质就是对应，函数关系就是变量之间的对
应关系，是一种特殊的对应关系. 函数的概念中，有两个变量，要分清对应关系，哪一个字母是函数，哪一
个是自变量.比如“把x看作S的函数”时，对应关系为用S表示x,其中S是自变量，x是函数.
举一反三：
【高清课程名称：函数综合2 高清ID号：369112 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1】
【变式】已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，
求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿
x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线
1
y= x+b(b<k)
2 与此图象有两公共点时，b的取值范围.
【答案】
解：（1）由题意得， ≥0 ．
≤3 ．
为正整数，
1，2，3．
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（2） 当 时，方程 有一个根为零；
当 时，方程 无整数根；
当 时，方程 有两个非零的整数根．
综上所述， 和 不合题意，舍去； 符合题意．
当 时，二次函数为 ，把它的
图象向下平移8个单位得到的图象的解析式
为 ．
（3）设二次函数 的图象与 轴交于 、
两点，则 ．
依题意翻折后的图象如图所示．
当直线 经过A点时，可得 ；
当直线 经过B点时，可得 ．
由图象可知，符合题意的b 的取值范围
为 ．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设
DP=x，AE=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是( )
(A) (B) (C) (D)
【思路点拨】本题应利用△APD的面积的不同表示方法求得y与x的函数关系；或由△ADE∽△DPC得到
y与x的函数关系．
【答案】C ；
【解析】这是一个动点问题.很容易由△ADE∽△DPC得到 ，从而得出表达式 ；
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也可连结PA，由 得到表达式 ，排除(A)、(B).
因为点P在BC边上运动，当点P与点C重合时，DP与边DC重合，此时DP最短，x=3；
当点P与点B重合时，DP与对角线BD重合，此时DP最长，x=5，即x的临界值是3和5.
又因为当x取3和5时，线段AE的长可具体求出，因此x的取值范围是3≤x≤5.
正确答案选(C).
【总结升华】解决动点问题的常用策略是“以静制动，动静结合”.找准特殊点，是求出临界值的关键.动
态问题也是中考试题中的常见题型，要引起重视.
举一反三：
【变式】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车.车
修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快骑车速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)
的函数图象，那么符合这个同学行驶情况的图象大致是( ).
【答案】A表示小明一直在停下来修车，而没继续向前走，B表示没有停下来修车，相反速度骑的比原来更
慢，D表示修车时又向回走了一段路才修好后又加快速度去学校.选项C符合题意.
类型二、函数的综合题
3．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，
0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．
y
C
O A B x
【思路点拨】此题涉及运用勾股定理；已知一次函数解析式中的y值，解函数转化的一元一次方程求出x
值，利用横坐标之差计算平移的距离；以及平行四边形面积公式.
【答案】C；
【解析】将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时即当y=4时，解得x=5，
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所以平移的距离为5-1=4，又知BC扫过的图形为平行四边形，高不变为： ，
所以平行四边形面积=底×高=4×4=16.
【总结升华】运用数形结合、平移变换、动静变化的数学思想方法是解此题的关键，综合性较强.
举一反三：
【高清课程名称：函数综合2 高清ID号： 369112 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2】
【变式】在坐标系中，二次函数 的图象与x
y mx2 (m3)x3(m0)
轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
（1）求点A的坐标；
（2）当ABC 45时，求m的值；
（3）已知一次函数y kxb，点P（n，0）是x轴上的一个动点，
在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，
交二次函数y mx2 (m3)x3(m0)的图象于N. 若只有当2n2
时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式.
【答案】
（1）∵点A、B是二次函数 （ ）的图象与 轴交点，
∴令 ，即 .
解得： ， .
又∵点A在点B左侧且 ，
∴点A的坐标为（-1，0）.
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y
5
4
3
2
1
A B
3 2  1O 1 2 3 x
1
2
3 C
4
5
（2）由（1）可知点B的坐标为（ ，0）
∵二次函数与 轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，-3）.
∵∠ABC=45°，
∴ =3.
∴m=1.
（3）由（2）得，二次函数解析式为 .
依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2和2，
由此可得交点坐标为（-2，5）和（2，-3）.
将交点坐标分别代入一次函数解析式 中，
2kb5，
得
2k b3，
k2.
解得
b1.
∴一次 函数的解析式为 .
y
 5
4
3
2
1
A P B
3 2 1O 1 2 3 x
 1
 2 M
3 C  N
4
5
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4．如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，
AB⊥x轴于点M，且AM：MB=1：2，则k的值为（ ）
A.3 B.-6 C.2 D.6
【思路点拨】连接OA、OB，先根据反比例函数 的比例系数k的几何意义，可知S = ，
△AOM
S =| |，则S ：S =3：|k|，再根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，得出S ：S =AM：
△BOM △AOM △BOM △AOM △BOM
MB=1：2，则3：|k|=1：2，然后根据反比例函数 的图象所在的象限，即可确定k的值．
【答案与解析】
解：如图，连接OA、OB．
∵点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，AB⊥x轴于
点M，
∴S = ，S =| |，
△AOM △BOM
∴S ：S = ：| |=3：|k|，
△AOM △BOM
∵S ：S =AM：MB=1：2，
△AOM △BOM
∴3：|k|=1：2∴|k|=6，
∵反比例函数 的图象在第四象限，
∴k＜0，∴k=﹣6．故选B．
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【总结升华】本题考查了反比例函数 的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐
标特征，三角形的面积，难度中等，得到3：|k|=1：2，是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从
点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC
的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：根据题意得：当点P在ED上运动时，S= BC•PE=2t；
当点P在DA上运动时，此时S=8；
当点P在线段AB上运动时，S= BC（AB+AD+DE﹣t）=5﹣ t；
结合选项所给的函数图象，可得B选项符合．故选B．
类型三、函数与几何综合题
5．如图，将—矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在y轴正半轴上．点E是边AB上的
k
—个动点(不与点A、B重合)，过点E的反比例函数y (x0)的图象与边BC交于点F.
x
（1）若△OAE、△OCF的而积分别为S、S．且S＋S=2，求k 的值；
1 2 1 2
（2）若OA=2．0C=4．问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少?
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【思路点拨】
k k
k
（1）设E（x
1
， x
1
），F（x
2
， x
2
），x
1
＞0，x
2
＞0，根据三角形的面积公式得到S
1
=S
2
= 2，
利用S＋S=2即可求出k .
1 2
k k 1
（2）设E( ，2)， F(4， )，利用S =S －S －S = k42 5，根据二次函数的最值
2 4 四边形OAEF 矩形OABC △BEF △OCF 16
即可得到当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5.
【答案与解析】
k
解：（1）∵点E、F在函数y (x0)的图象上，
x
k k
∴设E（x ， x ），F（x ， x ），x ＞0，x ＞0，
1 1 2 2 1 2
1 k k 1 k k
x   x  
∴S=2 1 x 2 ，S=2 2 x 2.
1 1 2 2
k k
∵S＋S=2，∴  2.∴ .
1 2 2 2 k 2
k k
（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，∴设 E( ，2)， F(4， ).
2 4
k k
∴BE=4－ ，BF=2－ .
2 4
1  k  k 1 1 k k
  4    2   k2 k4 4 
∴S △BEF = 2  2  4 16 ，S △OCF = 2 4 2 ，S 矩形OABC =2×4=8，
1 1 k
∴S =S －S －S = 8－( k2 k4)－ k2  4
四边形OAEF 矩形OABC △BEF △OCF 16 16 2
1
= k42 5.
16
∴当k =4时，S四边形OAEF=5.∴AE=2.
∴当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5.
【总结升华】本题属于反比例函数综合题，考查曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值.
6．如图，P 是反比例函数y= （k＞0）在第一象限图象上的一点，点A 的坐标为（2，0）．
1 1
（1）当点P 的横坐标逐渐增大时，△POA 的面积将如何变化？
1 1 1
（2）若△POA 与△PAA 均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A 点的坐标．
1 1 2 1 2 2
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【思路点拨】
（1）设P（x，y），根据反比例函数的图象性质，可知y随x的增大而减小．又△POA 的面积= ×0A×y=y．
1 1 1 1
故当点P 的横坐标逐渐增大时，△POA 的面积将逐渐减小．
1 1 1
（2）由于△POA 为等边三角形，作PC⊥OA，垂足为C，由等边三角形的性质及勾股定理可求出点P 的坐
1 1 1 1 1
标，根据点P 是反比例函数y= 图象上的一点，利用待定系数法求出此反比例函数的解析式；作
1
PD⊥AA，垂足为D．设AD=a，由于△PAA 为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的
2 1 2 1 2 1 2
代数式分别表示点P 的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A 点的坐标．
2 2
【答案与解析】
解：（1）设P（x，y），则△POA 的面积= ×0A×y=y．
1 1 1 1
又∵当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
故当点P 的横坐标逐渐增大时，△POA 的面积将逐渐减小．
1 1 1
（2）作PC⊥OA，垂足为C，
1 1
因为△POA 为等边三角形，
1 1
所以OC=1，PC= ，
1
所以P（1， ）．
1
代入y= ，得k= ，
所以反比例函数的解析式为y= ．
作PD⊥AA，垂足为D．
2 1 2
设AD=a，
1
则OD=2+a，PD= a，
2
所以P（2+a， a）．
2
代入y= ，得（2+a）• a= ，
化简得a2+2a﹣1=0
解得：a=﹣1± ．
∵a＞0，
∴a=﹣1+ ．∴AA=﹣2+2 ，
1 2
∴OA=OA+AA=2 ，
2 1 1 2
所以点A 的坐标为（2 ，0）．
2
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【总结升华】
此题综合考查了反比例函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，正三角形的性质等多个知识
点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
7．如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=
﹣x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）
（1）当x取何值时，该抛物线取最大值？该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动
点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线
的交点为N（如图2所示）．
①当t= 时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理
由．
【思路点拨】
（1）根据O、E的坐标即可确定抛物线的解析式，进而求出其顶点坐标，即可得出所求的结论；
（2）①当t= 时，OA=AP= ，由此可求出P点的坐标，将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；
②此题要分成两种情况讨论：
（i）PN=0时，即t=0或t=3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是△PCD，以CD为底AD长为高即可求出其面积；
（ii）PN≠0时，即0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是梯形PNCD，根据抛物线的解析式可表示出N
点的纵坐标，从而得出PN的长，根据梯形的面积公式即可求出此时S、t的函数关系式，令S=5，可得到关
于t的方程，若方程有解，根据求得的t值即可确定N点的坐标，若方程无解，则说明以P、N、C、D为顶点
的多边形的面积不可能为5．
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【答案与解析】
解：（1）因抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点O（0，0）和点E（4，0），
故可得c=0，b=4，
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，
由y=﹣x2+4x，y=﹣（x﹣2）2+4，
得当x=2时，该抛物线的最大值是4；
（2）①点P不在直线ME上；
已知M点的坐标为（2，4），E点的坐标为（4，0），
设直线ME的关系式为y=kx+b；
于是得，
解得
所以直线ME的关系式为y=﹣2x+8；
由已知条件易得，当t= 时，OA=AP= ，P（ ， ）
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=﹣2x+8；
∴当t= 时，点P不在直线ME上；
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴OA=AP=t；
∴点P、N的坐标分别为（t，t）、（t，﹣t2+4t）
∴AN=﹣t2+4t（0≤t≤3），
∴AN﹣AP=（﹣t2+4t）﹣t=﹣t2+3t=t（3﹣t）≥0，
∴PN=﹣t2+3t
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，
∴S= DC•AD= ×3×2=3；
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴S= （CD+PN）•AD= [3+（﹣t2+3t）]×2=﹣t2+3t+3
当﹣t2+3t+3=5时，解得t=1、2
而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5
综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，
当t=1时，此时N点的坐标（1，3）
当t=2时，此时N点的坐标（2，4）．
【总结升华】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线的顶点坐标的求法、图形的面积求法以及
二次函数的应用．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合，（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以，不扣分）
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