文档内容
让更多的孩子得到更好的教育
中考总复习：函数综合—知识讲解（提高）
撰稿：张晓新 审稿：杜少波
【考纲要求】
1．平面直角坐标系的有关知识
平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，
求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等.
2．函数的有关概念
求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法．
3．函数的图象和性质
常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．
利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置．
4．函数的解析式
求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．
一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的
切线、圆的有关线段组成综合题．
【知识网络】
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【考点梳理】
考点一、平面直角坐标系
1．相关概念
（1）平面直角坐标系
（2）象限
（3）点的坐标
2.各象限内点的坐标的符号特征
3.特殊位置点的坐标
（1）坐标轴上的点
（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标
（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标
（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标
4.距离
（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离
（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离
（3）平面上任意两点间的距离
5.坐标方法的简单应用
（1）利用坐标表示地理位置
（2）利用坐标表示平移
要点诠释：
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于 y ；
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于 x ；
（3）点P(x,y)到原点的距离等于 x2 y2 .
考点二、函数及其图象
1.变量与常量
2.函数的概念
3.函数的自变量的取值范围
4.函数值
5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）
6.函数图象
要点诠释：
由函数解析式画其图像的一般步骤：
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.
考点三、一次函数
1.正比例函数的意义
2.一次函数的意义
3.正比例函数与一次函数的性质
4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系
5.利用一次函数解决实际问题
要点诠释：
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k 0）中的常数k；确定一个一次函数，
y kx
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需要确定一次函数定义式 （k 0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.
y kxb
考点四、反比例函数
1.反比例函数的概念
2.反比例函数的图象及性质
3.利用反比例函数解决实际问题
要点诠释：
反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数 图像上任一点
作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PM PN= .
∴ .
考点五、二次函数
1.二次函数的概念
2.二次函数的图象及性质
3.二次函数与一元二次方程的关系
4.利用二次函数解决实际问题
要点诠释：
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
如图：点A坐标为（x ，y ），点B坐标为（x ，y ），则AB间的距离，即线段 AB的长度为
1 1 2 2
x x
2
y y
2
.
1 2 1 2
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2、函数平移规律：左加右减、上加下减.
3、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
时， .
如果自变量的取值范围是 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围 内，若
在此范围内，则当x= 时， ；若不在此范围内，则需要考虑函数在 范围内
的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当 时， ，当 时，
；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当 时， ，当
时， .
4、抛物线的对称变换
①关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 轴对称后，得到的解析式是 .
②关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 轴对称后，得到的解析式是 .
③关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
关于原点对称后，得到的解析式是 .
④关于顶点对称
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关于顶点对称后，得到的解析式是 ；
关于顶点对称后，得到的解析式是 ．
⑤关于点 对称
关于点 对称后，得到的解析式是 .
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求
抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛
物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然
后再写出其对称抛物线的表达式．
考点六、函数的应用
1.一次函数的实际应用
2. 反比例函数的实际应用
3. 二次函数的实际应用
要点诠释：
分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多
设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段
计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.
【典型例题】
类型一、用函数的概念与性质解题
1．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P是第一象限内的直线y=6－x上的点，O是坐
标原点（如图所示） ：
（1）P点坐标设为(x, y) ，写出ΔOPA的面积S的关系式；
（2）S与y具有怎样的函数关系，写出这函数中自变量y的取值范围；
（3）S与x具有怎样的函数关系？写出自变量x的取值范围；
（4）如果把x看作S的函数时，求这个函数解析式，并写出这函数中自变量取值范围 ；
（5）当S=10时，求P的坐标；
（6）在直线y=6－x上，求一点P，使ΔPOA是以OA为底的等腰三角形.
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【思路点拨】本例的第（1）问是“S ”与“y”的对应关系，呈现正比例函数关系，y是自变量；第（3）
ΔOPA
问是“S”与“x”的对应关系，呈现一次函数关系，x是自变量；第（4）问是“x”与“S”的对应关系，呈
现一次函数关系，S是自变量，不要被是什么字母所迷惑，而是要从“对应关系”这个本质去考虑，分清
哪个是函数，哪个是自变量.
【答案与解析】
解：（1）过P点作x轴的垂线，交于Q，
S = |OA|·|PQ|= ×4×y=2y.
ΔOPA
（2）S与y成正比例函数，即S=2y，
自变量y的取值范围是0＜y＜6.
（3）∵ y=6-x, ∴ S=2y=2(6-x)=12-2x,
∴ S=-2x+12成为一次函数关系，自变量x的取值范围是0＜x＜6.
（4）∵把x看作S的函数，
∴ 将S=-2x+12变形为：x= ,即这个函数的解析式为：x=- +6.
自变量S的取值范围是：0＜S＜12.
（5）当S=10时，代入（3）、（4）得：x=- +6=- +6=1, S=2y, 10=2y, ∴ y=5,
∴ P点的坐标为（1，5）.
（6）以OA为底的等腰ΔOPA中，
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∵ OA=4， ∴OA的中点为2，∴x=2,
∵ y=6-x, ∴y=4. 即P点坐标为（2，4）.
【总结升华】
数学从对运动的研究中引出了基本的函数概念，函数的本质就是对应，函数关系就是变量之间的对
应关系，是一种特殊的对应关系. 函数的概念中，有两个变量，要分清对应关系，哪一个字母是函数，哪一
个是自变量.比如“把x看作S的函数”时，对应关系为用S表示x,其中S是自变量，x是函数.
举一反三：
【高清课程名称：函数综合2 高清ID号：369112 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1】
【变式】已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，
求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿
x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线
1
y= x+b(b
