中考总复习：函数综合--知识讲解（基础）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_19中考总复习：函数综合（基础）

让更多的孩子得到更好的教育 中考总复习：函数综合—知识讲解（基础） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【考纲要求】 1．平面直角坐标系的有关知识 平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标， 求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等； 2．函数的有关概念 求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法； 3．函数的图象和性质 常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题． 利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置； 4．函数的解析式 求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值． 一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的 切线、圆的有关线段组成综合题． 【知识网络】 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 【考点梳理】 考点一、平面直角坐标系 1．相关概念 （1）平面直角坐标系 （2）象限 （3）点的坐标 2.各象限内点的坐标的符号特征 3.特殊位置点的坐标 （1）坐标轴上的点 （2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标 （3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标 （4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标 4.距离 （1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离 （2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离 （3）平面上任意两点间的距离 5.坐标方法的简单应用 （1）利用坐标表示地理位置 （2）利用坐标表示平移 要点诠释： 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x轴的距离等于 ； y （2）点P(x,y)到y轴的距离等于 x ； （3）点P(x,y)到原点的距离等于 x2  y2 . 考点二、函数及其图象 1.变量与常量 2.函数的概念 3.函数的自变量的取值范围 4.函数值 5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法） 6.函数图象 要点诠释： 由函数解析式画其图像的一般步骤： （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值； （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来. 考点三、一次函数 1.正比例函数的意义 2.一次函数的意义 3.正比例函数与一次函数的性质 4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系 5.利用一次函数解决实际问题 要点诠释： 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k 0）中的常数k；确定一个一次函数， y  kx  地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 需要确定一次函数定义式 （k 0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法. y  kxb  考点四、反比例函数 1.反比例函数的概念 2.反比例函数的图象及性质 3.利用反比例函数解决实际问题 要点诠释： 反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数 图像上任一点 作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PM PN= . ∴ . 考点五、二次函数 1.二次函数的概念 2.二次函数的图象及性质 3.二次函数与一元二次方程的关系 4.利用二次函数解决实际问题 要点诠释： 1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A坐标为（x ，y ），点B坐标为（x ，y ），则AB间的距离，即线段 AB的长度为 1 1 2 2  x  x 2   y  y 2 . 1 2 1 2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 2、函数平移规律：左加右减、上加下减. 考点六、函数的应用 1.一次函数的实际应用 2. 反比例函数的实际应用 3. 二次函数的实际应用 要点诠释： 分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多 设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段 计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型. 【典型例题】 类型一、用函数的概念与性质解题 1． 已知一次函数y=(3a-2)x+(1-b)，求字母a, b的取值范围，使得： （1）y随x的增大而增大； （2）函数图象与y轴的交点在x轴的下方； （3）函数的图象过第一、二、四象限. 【思路点拨】（1）y=kx+b (k≠0)的图象，当k＞0时，y随x的增大而增大； （2）当b＜0时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； （3）当k＜0， b＞0时时，函数的图象过第一、二、四象限. 【答案与解析】 解：a、b的取值范围应分别满足： （1）由一次函数y=kx+b(k≠0)的性质可知： 当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，即3a-2＞0, ∴ , 且b取任何实数. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 （2）函数图象与y轴的交点为（0,1-b）， ∵ 交点在x轴的下方， ∴ ，即a≠ , b＞1. （3）函数图象过第一、二、四象限，则必须满足 . 【总结升华】下面是y=kx(k≠0), y=kx+b (k≠0)的图象的特点和性质的示意图，如图1，当k＞0时，y随 x的增大而增大；当b＞0时，图象过一、二、三象限，当b=0时，是正比例函数，当b＜0时，图象过一、三、 四象限；当y=x时，图象过一、三象限，且是它的角平分线.由于常数k、b不同，可得到不同的函数，k决定 直线与x轴夹角的大小，b 决定直线与y轴交点的位置，由k定向，由b定点.同样，如图2，是k＜0的各 种情况，请你指出它们的图象的特点和性质. 举一反三： 【变式】作出函数y=x, ， 的图象，它们是不是同一个函数？ 【答案】 函数 的自变量x的取值范围是x≥0；函数 在x≠0时，就是函数y=x；而x=0不 在函数 的自变量x的取值范围之内. 由此，作图如下： 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 可见它们不是同一个函数. 类型二、函数图象及性质 2．已知： (1)m为何值时，它是一次函数. (2)当它是一次函数时，画出草图，指出它的图象经过哪几个象限？y是随x的增大而增大还是减小？ (3)当图象不过原点时，求出该图象与坐标轴交点间的距离，及图象与两轴所围成的三角形面积. 【思路点拨】一次函数应满足：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0. 【答案与解析】 (1)依题意： ，解得m=1或m=4. ∴当m=1或m=4时，它是一次函数. (2)当m=4时，函数为y=2x，是正比例函数，图象过一，三象限， y随x的增大而增大. 当m=1时，函数为y=-x-3，直线过二，三，四象限，y随x的增大而减小. (3)直线y=-x-3不过原点，它与x轴交点为A(-3，0)， 与y轴交点为B(0，-3)， . . ∴直线y=-x-3与两轴交点间的距离为 ，与两轴围成的三角形面积为 . 【总结升华】 (1)某函数是一次函数应满足的条件是：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0.而某函数若是正 比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0. (2)判断函数的增减性，关键是确定直线y=kx+b（k≠0）中k、b的符号. (3)直线y=kx+b（k≠0）与两轴的交点坐标可运用x轴、y轴上的点的特征来求，当直线y=kx+b 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 （k≠0）上的点在x轴上时，令y=0，则 ，交点为 ；当直线y=kx+b（k≠0）上的点在y轴上时， 令x=0，则y=b，即交点为(0，b). 举一反三： 【高清课程名称：函数综合1 高清ID号： 369111 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2】 【变式】已知关于 的方程 . x x2 (m3)xm40 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围； （3）设抛物线yx2 (m3)xm4与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线yx的对 称点恰好是点M，求m的值. 【答案】 证明：（1） ， 所以方程总有两个实数根. 解：（2）由（1） ，根据求根公式可知, 方程的两根为： 即 ， , 由题意，有 ，即 . （3）易知，抛物线 与y轴交点为M（0， ）,由（2）可知抛物线与x轴的交点 为（1,0）和（ ,0），它们关于直线 的对称点分别为（0, ）和（0, ）， 由题意，可得 或 ，所以 或 . 3．抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x﹣ 3，则b、c的值为（ ） A．b=2，c=2 B．b=2，c=0 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣3，c=2 【思路点拨】 易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变 可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值． 【答案】B． 【解析】 解：由题意得新抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴原抛物线的顶点为（﹣1，﹣1）， 设原抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k代入得：y=（x+1）2﹣1=x2+2x， ∴b=2，c=0． 故选B． 【总结升华】 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 抛物线的平移不改变二次项系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如 何平移得到的即可． 4．若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数 的图象没有公共点，则实数k的取值范围是 ． 【思路点拨】 因为反比例函数 的图象在第一、三象限，故一次函数y=kx+1中，k＜0，将解方程组 转化成关于x的一元二次方程，当两函数图象没有公共点时，只需△＜0即可． 【答案】 . 【解析】由反比例函数的性质可知， 的图象在第一、三象限， ∴当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时，k＜0， 解方程组 ，得kx2+x-1=0， 当两函数图象没有公共点时，△＜0，即1+4k＜0， 解得 ， ∴两函数图象无公共点时， ． 故答案为： . 【总结升华】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是转化成关于x的一元二次方程，再确定k的取值范 围． 类型三、函数综合题 5．已知点（﹣1，y），（2，y），（3，y）在反比例函数y= 的图象上．下列结论中正确的是（ 1 2 3 ） A．y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＞y＞y D．y＞y＞y 1 2 3 1 3 2 3 1 2 2 3 1 【思路点拨】 先判断出函数反比例函数y= 的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限 坐标的特征进行判断． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 【答案】B． 【解析】 解：∵k2≥0，∴﹣k2≤0，﹣k2﹣1＜0， ∴反比例函数y= 的图象在二、四象限， ∵点（﹣1，y）的横坐标为﹣1＜0，∴此点在第二象限，y＞0； 1 1 ∵（2，y），（3，y）的横坐标3＞2＞0，∴两点均在第四象限y＜0，y＜0， 2 3 2 3 ∵在第四象限内y随x的增大而增大， ∴0＞y＞y， 3 2 ∴y＞y＞y． 1 3 2 故选B． 【总结升华】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号； 当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号． 举一反三： 【变式】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y= 在同一 坐标系内的图象大致为（ ） A. B． C． D． 【答案】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0； ∴双曲线 的图象在第二、四象限； 由于抛物线开口向上，所以a＞0； 对称轴x= ＞0，所以b＜0； 抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0； ∴直线y=bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限． 故选D． 类型四、函数的应用 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 6．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地 方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好 接触到绳子，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？ 【思路点拨】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答． 【答案】 解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系， 由题意可得A（0，2.5），B（2，2.5），C（0.5，1） 设函数解析式为y=ax2+bx+c， 把A、B、C三点分别代入得出c=2.5， 同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1 解之得a=2，b=﹣4，c=2.5． ∴y=2x2﹣4x+2.5=2（x﹣1）2+0.5． ∵2＞0， ∴当x=1时，y=0.5米． ∴故答案为：0.5米． 【总结升华】 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 举一反三： 【高清课程名称： 函数综合1 高清ID号： 369111 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题3】 【变式】抛物线 ，a＞0，c＜0， ． yax2 bxc 2a3b6c0 b 1 （1）求证：  0； 2a 3 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第10页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 1 （2）抛物线经过点P( ,m)，Q(1,n)． 2 ① 判断mn的符号； 1 1 ② 抛物线与x轴的两个交点分别为点A(x ,0)，点B(x ,0)（A在B左侧），请说明x  ， x 1． 1 2 1 6 2 2 【答案】 （1）证明：∵ ， ∴ ． ∵ a＞0，c＜0， ∴ ， ． ∴ ． （2）解：∵ 抛物线经过点P ，点Q ， ∴ ① ∵ ，a＞0，c＜0， ∴ ， ． ∴ ＜0． ＞0． ∴ ． ② 由a＞0知抛物线 开口向上． ∵ ， ， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第11页 共12页让更多的孩子得到更好的教育 ∴ 点P 和点Q 分别位于x轴下方和x轴上方． ∵ 点A，B的坐标分别为A ，B （点A在点B左侧）， ∴ 由抛物线 的示意图可知，对称轴右侧的点B的横坐标 满足 ． ∵ 抛物线的对称轴为直线 ，由抛物线的对称性可 ，由（1）知 ， ∴ ． ∴ ，即 ． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第12页 共12页