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让更多的孩子得到更好的教育
中考总复习：函数综合—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1.函数 中自变量x的取值范围是( )
A．x≥－3 B．x≥－3且x≠1 C．x≠1 D．x≠－3且x≠1
2．如图为抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA＝OC＝1，则下列关系中
正确的是( )
A. a＋b＝－1 B．a－b＝－1 C．b＜2a D．ac＜0
3．设一元二次方程(x－1)(x－2)＝m(m＞0)的两实根分别为α、β，则α、β满足( )
A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2 ＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2
4．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路线
为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( )
A B C D
5．已知函数 ，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，一次函数y＝－ x＋2的图象上有两点A、B，A点的横坐标为2，B点的横坐标为a(0＜a＜4且
a≠2)，过点A、B分别作x的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD的面积分别为S、S，则S、S 的大小关系
1 2 1 2
是( )
A．S＞S B．S＝S C．S＜S D．无法确定
1 2 1 2 1 2
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二、填空题
7．抛物线 的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标
是________．
8．在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO＝10，sin∠AOB＝ ，反比例函数
(k＞0)的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标为_______________．
第7题 第8题 第9题
9．如图，点A在双曲线 上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S ＝2，则k＝______.
△AOB
10．如图所示，二次函数 ，图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分
别为-l、3，与y轴负半轴交于点C．下而四个结论：①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③只有当 时，△ABD是
等腰直角三角形；④使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．那么，其中正确的结论是________．(只
填你认为正确结论的序号)(注：二次函数 (a≠0)图象的顶点坐标为 )
11．如图所示，直线OP经过点P (4, 4 )，过x轴上的点1、3、5、7、9、11……分别作x轴的垂线，与直
线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S、S、S……S 则S 关于n的函
1 2 3 n n
数关系式是________．
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第10题 第11题 第12题
12．在直角坐标系中，正方形ABCO、ABCC、ABCC、…、ABCC 按如图所示的方式放置，其中点A、
1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 n n n n－1 1
A、A、…、A 均在一次函数y＝kx＋b的图象上，点C、C、C、…、C 均在x轴上．若点B 的坐标为
2 3 n 1 2 3 n 1
(1,1)，点B 的坐标为(3,2)，则点A 的坐标为____________．
2 n
三、解答题
13．已知，如图所示，正方形ABCD的边长为4 cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过
点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为x cm，CQ的长为y cm．
(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值；
(2)当 cm时，求x的值．
14. 某蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x(月份)与市场
售价户(元/千克)的关系如下表：
上市时间x(月份) 1 2 3 4 5 6
市场售价p(元/千克) 10.5 9 7.5 6 4.5 3
这种蔬菜每千克的种植成本y(元/千克)与上市时间x(月份)满足一个函数关系，这个函数的图象是
抛物线的一段(如图所示)．
(1)写出上表中表示的市场售价p(元/千克)关于上市时间x(月份)的函数关系式；
(2)若图中抛物线过A、B、C点，写出抛物线对应的函数关系式；
(3)由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？(收益＝市场售
价－种植成本)
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15．已知关于x的二次函数 与 ，这两个二次函数的图象中的
一条与x轴交于A、B两个不同的点．
(1)试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点；
(2)若A点坐标为(-l，0)，试求B点坐标；
(3)在(2)的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
16. 探究 (1)在下图中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．
①若A(-1，0)，B(3，0)，则E点坐标为________；
②若C(-2，2)，D(-2，-1)，则F点坐标为________；
(2)在下图中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，求出图中AB中点D的坐标(用含a，b，c，d
的代数式表示)，并给出求解过程．
归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，AB中点为
D(x，y)时，x＝________，y＝_______．(不必证明)
运用 在下图中，一次函数y＝x-2与反比例函数 的图象交点为A，B．
①求出交点A，B的坐标；
②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．
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【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B；
【解析】由x＋3≥0且x－1≠0，得x≥－3且x≠1.
2.【答案】B；
【解析】由OA＝OC＝1，得A(－1,0)，C(0,1)，所以 则a－b＝－1.
3.【答案】D；
【解析】当y＝(x－1)(x－2)时，抛物线与x轴交点的横坐标为1,2，抛物线与直线y＝m(m＞0)交点的横
坐标为α，β，可知α＜1，β＞2.
4.【答案】B；
【解析】当点P在AD上时，S ＝0；当点P在DC上时，S ＝ ×4×(x－4)＝2x－8；
△APD △APD
当点P在CB上时，S ＝ ×4×4＝8；当点P在BA上时，S ＝ ×4×(16－x)＝－2x＋32.
△APD △APD
故选B.
5.【答案】D；
【解析】如图，画函数图象．当y＝3时，对应的x值恰好有三个，∴k＝3.
6.【答案】A；
【解析】当x＝2时，y＝－ x＋2＝1，A(2,1)，S＝S ＝ ×2×1＝1；
1 △AOC
当x＝a时，y＝－ x＋2＝－ a＋2，B(a，－ a＋2)，
S＝S ＝ ×a× ＝－ a2＋a＝－ (a－2)2＋1，
2 △BOD
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当a＝2时，S 有最大值1，当a≠2时，S＜1.所以S＞S.
2 2 1 2
二、填空题
7．【答案】(1，0) ；
【解析】 的对称轴 ，由二次函数的对称性知，抛物线与x轴两交点
关于对称轴对称，所以 ，所以设另一交点坐标为(x，0)，则 ，解
1
得x＝1，故坐标为(1，0)．
1
8．【答案】 ；
【解析】在Rt△AOB中，AO＝10.sin∠AOB＝ ，则AB＝6，OB＝8.又点C是AC中点，得C(4,3)，k＝
4×3＝12， .当x＝8时， .∴D坐标为 .
9．【答案】－4；
【解析】设A(x，y)．S ＝ OB·AB＝ ·|x|·|y|＝ x·(－y)＝ ＝2.
△AOB
所以xy＝－4，即k＝－4.
10．【答案】①③；
【解析】如图所示，由A、B横坐标分别为-1、3，可得对称轴 ，∴ ，
故①正确．
由图象知，当x＝l时，y＜0，当x＝l时，y＝a+b+c，∴a+b+c＜0，故②不正确．
由图象得，△ABD是等腰三角形，若是等腰直角三角形，则AE＝DE＝2，
∴D点坐标为(1，-2)．于是可设抛物线解析式为 ，
将A(-1，0)代入上式，解得 ，故③正确．
由图象知AC≠BC，
故△ACB为等腰三角形有两种可能：AB＝BC或AC＝AB，因而对应的a的值有2个，
故④不正确．
综上所述，正确结论是①，③．
11．【答案】(8n－4) ；
【解析】设直线OP的解析式为y＝kx，由P(4,4 )，得4 ＝4k，k＝ ，
∴y＝ x.则S＝ ×(3－1)×( ＋3 )＝4 ，
1
S＝ ×(7－5)×(5 ＋7 )＝12 ，
2
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S＝ ×(11－9)×(9 ＋11 )＝20 ，……，
3
所以S＝4(2n－1) ＝(8n－4) .
n
12．【答案】 (2n－1－1,2n－1)；
【解析】可求得A(0,1)，A(1,2)，A(3,4)，A(7,8)，…，其横坐标0,1,3,7…的规律为2n－1－1，纵坐标
1 2 3 4
1,2,4,8…的规律为2n－1，所以点A 的坐标为(2n－1－1,2n－1)．
n
三、解答题
13.【答案与解析】
解：(1)∵PQ⊥AP，∴∠CPQ+∠APB＝90°．
又∵∠BAP+∠APB＝90°，
∴∠CPQ＝∠BAP，
∴ tan∠CPQ＝tan∠BAP，
因此点P在BC上运动时始终有 ．
∵AB＝BC＝4，BP＝x，CQ＝y，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴y有最大值，当x＝2时， (cm)．
(2)由(1)知 ，当y＝ cm时，
，整理，得 ．
∵ ，
∴ ．
x的值是 cm或 cm．
14.【答案与解析】
解：(1)根据表中数据可知，p与x之间符合一次函数，
所以设市场售价p关于上市时间x的函数关系式p＝kx+b(k≠0)．
由题意得 解得
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故市场售价p关于上市时间x的关系式为 ．
(2)设图中抛物线解析式为 (a≠0)，
由题意可得 解得
所以抛物线对应的函数关系式为 ．
(3)设每千克的收益为w元，则由题意知，w＝p-y＝-1.5x+12 ，
由二次函数的性质知，当 时有最大收益，最大收益为3.25元．所以，3月份上市出售蔬
菜每千克收益最大，最大值为3.25元．
15.【答案与解析】
解：(1)对于关于x的二次函数 ，
由于△＝(-m)2-4×1× ，
所以此函数的图象与x轴没有交点．
对于关于x的二次函数 ．
由于 ，
所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点．
故图象经过A，B两点的二次函数为 ．
(2)将A(-1，0)代入 ，得 ．
整理，得m2-2＝0．
解之，得m＝0，或m＝2．
当m＝0时，y＝x2-1．令y＝0，得x2-1＝0．
解这个方程，得x＝-1，x＝1．
1 2
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此时，B点的坐标是B(1，0)．
当m＝2时， ．
令y＝0，得 ．
解这个方程，得x＝-1，x＝3．
1 2
此时，B点的坐标是B(3，0)．
(3)当m＝0时，二次函数为y＝x2-l，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝0，所以当x＜0时，
函数值y随x的增大而减小．
当m＝2时，二次函数为y＝x2-2x-3＝(x-1)2-4，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝l，
所以当x＜l时，函数值y随x的增大而减小．
16.【答案与解析】
解：探究(1)①(1，0)； ② .
(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，D′，B′，则AA′∥BB′∥DD′．
∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得A′D′＝D′B′．
∴OD′＝ ，
即D点的横坐标是 ．
同理可得D点的纵坐标是 ，
∴AB中点D的坐标为 ，
归纳 ， ，
运用 ①由题意得
解得 ， 或
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∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1)．
②以AB为对角线时，
由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1)，
∵平行四边形对角线互相平分，
∴OM＝MP，即M为OP的中点，
∴P点坐标为(2，-2)，
同理可得分别以OA，OB为对角线时，点P坐标分别为(4，4)，(-4，-4)，
∴满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2)，(4，4)，(-4，-4)．
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