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重庆复旦中学教共体 2025-2026 学年度上期二段考试
高 2028 届数学试题
尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：
今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱.
本试卷分为Ⅰ卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分.请将答案工整地书写在答题卡上
命题人：
一、选择题：（本大题8个小题，每小题5分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号
为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对
应的方框涂黑.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集的概念运算即可.
【详解】因为集合 ，
所以 ．
.
故选：B
2. 函数 的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的解析式，列出不等式组，即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】要使函数 有意义，则满足 ，解得 且 ，
所以定义域为 ．
故选：D.
3. 已知命题 ， ，则 的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题 ， 的否定是 ， .
故选：C.
4. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解出不等式，利用集合包含关系可判断充要关系.
【详解】由 ，解得： 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件；
故选：A
5. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 3 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法可求解.
【详解】由题意可得 是 的解，
所以 ，解得 ，所以 ．
故选：A.
6. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数和幂函数的性质，判断函数值大小关系即可.
【详解】由 在R上单调递减可知， ，即 ，
由 在 上单调递增可知， ，所以 ，即 ，
综上所述， .
故选：B
7. 已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增，则不等式 的解集
为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由奇函数的性质得 ，由 在 上单调递增得 时， ； 时，
；结合不等式及一元二次不等式的解法，利用符号法求解即可.
【详解】由函数 是定义在 上的奇函数，则 ，
令 得 ，所以 ，
又 在 上单调递增，所以 时， ；当 时， ；
等价于 或 ，
所以 或 ，所以 或 ，
则不等式 的解集为 .
故选：D.
8. 已知 且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将 代入 ，化简消元，可得 ，令
，换元得 ，结合二次函数的图像性质即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由已知， ，则
，
令 ，因为 ，所以 ，
则 ，
令 ，
所以当 时，函数 单调递增，当 时，函数 单调递减，
所以当 时，函数 取得最大值，即 ，
又 ， ，
所以函数 在区间 的值域为 ，即 的取值范围是 .
故选：A
二、多选题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）在每个小题给出的四个选项中，
有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 所有的素数都是奇数 B. ，
C. ， D. ，
【答案】BCD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】对于A：举反例即可判断；对于B：结合 的单调性即可；对于C：存在性问题，举一个
符合条件的例子即可；对于D：利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题.
【详解】对于A：2既是素数，也是偶数，故A错误；
对于B：幂函数 是 上的增函数，所以 ， 成立，故B正确；
对于C：令 ，则 ，故C正确；
对于D： ，故D正确.
故选：BCD.
10. 设集合 ，若 ，则实数 的值可以为（ ）
A. B.
C. D. 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，分 和 ，两种情况讨论，结合 ，即可求解.
【详解】由集合 ，
当 时，即 ，满足 ；
当 时，即 ，满足 ；
当 时，即 ，满足 ，
综上可得，实数 的值可以为 或 或 .
故选：BCD.
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学科网（北京）股份有限公司11. 设 的定义域为 ，对任意 ，都有 ，且当 时，
，又 .则（ ）
A.
B. 在 上为增函数；
C.
D. 解集为 或
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，用赋值法即可求值；对于B，根据增函数的定义证明即可；对于C，对条件进行适当变
形即可得结论；对于D，对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式.
【
详解】对于A，令 ，则 ，故A正确；
对于B，令 ，则 ， ，即 ，
所以函数 为减函数，故B错误；
对于C， ，即 ，故C正确；
对于D，由 得到 ，所以 ，
于是 ，解得 或 ，故D正确.
故选：ACD.
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. ________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算性质求解即可.
【详解】
，
故答案为： .
13. 函数 （ 且 ）图象恒过的定点为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数经过的定点即可求解.
【详解】指数函数 （ 且 ）过定点 ，
则 ，即 过定点 .
故答案为：
14. 已知函数 ，若正数 ， 满足 ，则 的最小值为
_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数 的解析式，可得 ，据此得出 ，再结合基本不等式中
“1”的代换应用，即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为函数 ，
则
，
又函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ， 均为正数，所以
即 ，
当且仅当 时，即 ， 时，等号成立.
所以 的最小值为 .
故答案为：
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15. 已知 ， ，且 .
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）直接利用基本不等式求解最值；
（2）利用基本不等式“1”的代换技巧求解最值即可.
【小问1详解】
， ，且 ，
所以 ，所以 ，
即 ， ，当且仅当 ， 时取等号， 的最大值为 ；
【小问2详解】
，所以 ，且 ，
，
当且仅当 时等号成立，即 ，
又因为 ，可求得 ， .
所以 的最小值为5.
16. 求下列不等式的解集.
（1） ；
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学科网（北京）股份有限公司（2） ；
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的求解步骤计算；
（2）根据分式不等式的求解步骤计算；
（3）利用 ，结合对数函数的单调性求解.
【小问1详解】
，则 ，解得
【小问2详解】
，
解得
【小问3详解】
，由 在 上递增，
不等式转化为： ，即 ，
解得
17. 已知幂函数 （ ）在定义域上不单调.
（1）求函数 的解析式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）判断函数 的奇偶性，并证明；
（3）若 ，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数 为奇函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数定义求 的可能值，结合“定义域上不单调”的条件筛选出符合要求的 ，得
到函数解析式.
（2）验证函数定义域关于原点对称，再证明 ，判定函数为奇函数.
（3）利用奇函数性质转化不等式，结合函数在不同区间的单调性分情况解不等式，确定实数 的取值范
围.
【
小问1详解】
由幂函数 ，得 ，解得 或 ，
若 ，则 在定义域 内单调递增，不合题意；
若 ，则 在定义域 ， 内单调递减，
但 在定义域 内不单调，符合题意；
所以函数 的解析式为 ；
【小问2详解】
函数 为奇函数，理由如下：
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学科网（北京）股份有限公司函数 的定义域 关于原点对称，
且 ，所以函数 为奇函数；
【小问3详解】
由 及 为奇函数，
得 ，
即 ，
而 在 上递减且恒负，在 上递减且恒正，
所以 ，解得 ；
或 ，解得 ；
或 ，解得 ；
综上，实数a的取值范围为 或 ，
所以实数a的取值范围 .
18. 2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成首次弹射起飞与着舰训练，
这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注.对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情
况进行调查后发现：舰艇模型第 天（ ）的销售单价 （元）的解析式为
（ 为常数），第 天的销售量 （个）的部分数据如下表所示：
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学科网（北京）股份有限公司3 8 15 24
40 50 60 70
已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价）
（1）求实数 的值；
（2）根据表格判断① ，② ，③ 这三个函数模型
中哪个模型最符合题意，并说明理由；
（3）根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入 （元）在哪一天最低，最低收入是多少
元?
【答案】（1）
（2）模型③，理由见解析
（3）日销售收入在第8天最低，最低为5000元.
【解析】
【分析】（1）根据销售收入列式求解即可；
（2）根据单调性和对称性质排除函数模型①，②，将 ， 分别代入模型③，即可求解解析式；
（3）先求得 ，然后利用基本不等式求解最值即可.
【小问1详解】
由题意得 ，解得 .
【小问2详解】
模型③最符合题意.
理由：因为表格中 对应的数据匀速递增时， 对应的数据并未匀速变化，所以排除模型①.
因为 表示在 两侧等距的函数值相等（即函数图象关于 对称），
而表格中的数据并未体现出此规律（ ），所以排除模型②.
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学科网（北京）股份有限公司将 ， 分别代入模型③，得 ，解得 ，
所以 .
经验证， ， 均满足该函数解析式，故选择模型③.
【小问3详解】
由（1）知 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以日销售收入在第8天最低，最低为5000元.
19. 定义在D上的函数 ，如果满足：存在常数 ，对任意 ，都有 成立，
则称 是D上的有界函数，其中M称为函数 的上界.
（1）判断函数 是否是 上的有界函数并说明理由；
（2）已知函数 ，若函数 在 上是以4为上界的有界函数，求实数a的
取值范围；
（3）若 ，函数 在区间 上是否存在上界 ，若存在，求出 的取值范
围，若不存在请说明理由．
【答案】（1） 是 上的有界函数；理由见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2）
（3）存在，答案见解析
【解析】
【分析】（1）考虑 和 两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到 ，
存在 ，使得 ，证明出 是 上的有界函数；
（2）由题意可知 在 上恒成立，变形得到 ，换元
后根据函数单调性得到答案；
（3）分离常数，得到函数单调性，故 ，分 和 两
种情况，得到答案.
【小问1详解】
是 上的有界函数，理由如下：
当 时， ，
当 时， ，
由对勾函数性质得 或 ，
或 ，
或 ，
∴ 的值域为 ， ，
∴存在 ，使得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 是 上的有界函数；
【小问2详解】
由题意可知 在 上恒成立，
， ，
即 ，
∴ 在 上恒成立，
∴ ．
设 ， ， ，
由 ，得 ．
∵ 在 上单调递减， 在 上是单调递增，
在
∴ 上， ， ．
所以，实数a的取值范围是 .
【小问3详解】
，
∵ ， ，
在
∴ 上递增，
根据复合函数的单调性可得 在 上递减，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴h(x)存在上界 .
①若 ，两边平方整理得 ，
即 时， ；此时 ，即 ，
②若 ，两边平方整理得 ，
即 时， ；此时 ，即 ，
综上，当 时， ；
当 时， .
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念和性质.
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学科网（北京）股份有限公司
