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绵阳南山中学 2023 年高一新生入学考试数学试卷题
命题人：青树国 审题人：石智文
本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共5页，满分150分，时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位
置上；
2.选择题的答案，必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；
3.请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的
位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔；
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的.
1. 的平方根为（ ）
A. B. C. 3 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方根的定义即可得到答案.
【详解】 ，则9的平方根为 ，
故选：A.
2. 下列各式，运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数的运算性质即可求解.
【详解】对于A， ，故A不正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B， ，故B不正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D错误；
故选：C
【点睛】本题考查了指数的运算性质，掌握性质是解题的关键，属于基础题.
3. 有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.
如果记数字6对面的数字为 ，数字2对面的数字为 ，那么 的值为（ ）
A. 3 B. 7
C. 8 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】
从小立方体上的数推测 ， ，即求解.
【详解】从 个小立方体上的数可知，
与写数字 的面相邻的面上数字是 ，
所以数字 的对面是数字 ，
同理，立方体面上数字 对 ，
故立方体面上数字 对 ，
则 ， ，
所以 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了空间想象能力以及分析能力，
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学科网（北京）股份有限公司4. 点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
应先根据反比例函数的比例系数判断出函数图象所在的象限，然后根据点所在象限以及相对应的 值对应
的 值的符号即可求解．
【详解】由于 小于0，说明函数图象分布在二四象限，
若 ，说明 在第二象限， 在第四象限．
第二象限的 值总大于0，总比第四象限的点的 值大．
所以 ．
故选： ．
【点睛】本题考查反比例函数在二，四象限的图象性质．本题考查的知识点为： 时，在每个象限内，
随 的增大而增大．
5. 设全集 ，集合 ， ，则图中的阴影部分表示的集合
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集和补集的含义即可得到答案.
【详解】由题意得 ，
则在集合 中去掉元素2即为阴影部分表示的集合： .
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
6. 在 中， ， ， ，点 在边 上， ， 的半径长为3，若
与 相切，且点 在 内，则 的半径长度为（ ）
A. 2或8 B. 5或8 C. 5 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
可判断两圆内切，则 的半径 ，即求出.
【详解】
如图， ，
要使 与 相切，且点 在 内，则两圆内切，
设 的半径为 ，
则 .
故选：D.
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题.
7. 数据 ， ， …， 分别是某学校教职工 个人的年收入，设这 个数据的中位数
为 ，平均数为 ，方差为 ，如果再加上世界首富的年收入数据 ，则对这 个数据，下列说法
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学科网（北京）股份有限公司正确的是（ ）
A. 年收入平均数增大，中位数可能不变，方差变大
B. 年收入平均数增大，中位数一定变大，方差变大
C. 年收入平均数增大，中位数可能不变，方差可能不变
D. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
【答案】A
【解析】
【分析】
结合平均数，中位数，方差的定义，当插入大的极端值时，平均数增加，中位数可能不变，方差会因为数
据的分散而变大.
【详解】解：因为数据 ， ， …， 分别是某学校教职工个人的年收入，
所以世界首富的收入 会远远大于 ， ， …， ，故这 个数据的平均数会大大增加；
而中位数为数据中间的数或中间两个数的平均数，所以中位数有可能不变；
因为世界首富的收入远远大于 ， ， …， ，所以数据的集中程度受 的影响很大，数据离散程
度加大，所以方差变大.
故选：A
【点睛】本题考查平均数、中位数、方差 的定义以及插入极端大的数值对平均数、中位数、方差的影响，
熟悉平均数、中位数和方差的定义是解题的关键，属于基础题.
8. 一座楼梯的示意图如图所示， 是铅垂线， 是水平线， 与 的夹角为 .现要在楼梯上铺一
条地毯，已知 米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A. 米 B. 米
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学科网（北京）股份有限公司C. 米 D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】
求出 ，即可求解.
【详解】在 中， （米），
（米），
地毯的面积至少需要
（米 ）.
故选：D
【点睛】本题考查了长方形的面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
9. 有一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，任意抛掷一次该骰子，
朝上的面的点数记为 ，计算 ，则其结果大于 的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，得到任意抛掷一次骰子所得结果包含的基本事件个数，以及满足 的基本事件，基本
事件个数比即为所求概率.
【详解】由题意，任意抛掷一次骰子，所得朝上的面的点数 可能取的值为1，2，3，4，5，6，共 个基
本事件；
满足 的 可能取的值为6，即只包含一种情况，
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学科网（北京）股份有限公司因此所求概率为 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.
10. 若关于 的不等式组 的解是 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 的解，再与 取交集，利用已知条件即可得出结果.
【详解】由题意得：
，
的
又 ，且不等式组 解是 ，
则 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了利用不等式组的解集求参数的问题.属于容易题.
11. 已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】解出一元二次不等式，再利用集合子集个数公式即可得到答案.
【详解】 ，解得 ，则 ，
若 ，则 ，
故满足条件 的集合 的个数为 ，
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司12. 对于每个非零自然数 ，抛物线 与 轴交于 、 两点，以 表示这
两点间的距离，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出抛物线与 轴两个交点坐标，然后由题意得到 ，进而求出
的值.
【详解】令 ，
即 ，
解得 或 ，
故抛物线 与 轴的交点为 ，
由题意得 ，
则
.
故选：C.
第Ⅱ卷（非选择题，共114分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填写在答题卷中的横线上.
13. 已知对任意的 ， ，都有 则 的
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学科网（北京）股份有限公司值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用给定的公式代入计算即可.
【详解】
.
故答案为： .
14. 底面圆半径为 ，高为 的圆锥，其侧面展开扇形圆心角的度数为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据底面半径以及圆锥的高求出圆锥的母线长度，再根据弧长公式即可求解.
【详解】底面圆半径为 ，高为 的圆锥，
则母线长 ，
设侧面展开扇形圆心角为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】本题考查了弧长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
15. 已知 ， ，若集合 ，则 的值为__________.
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用集合相等，求出 ，再求出 ，检验即可.
【详解】根据题意， ，故 ，则 ，
故 ，则 ，
当 时，与集合的互异性相矛盾，故舍去，
当 时， ，符合题意，
.
故答案为： .
16. 若 ，则 的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到 ，结合立方和公式，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，即 ，
又由 .
故答案为： .
17. 如果关于 的分式方程 无解，则 的值为__________.
【答案】5或2
【解析】
【分析】先移项通分，转化为一次方程无解问题或观察得出.
【详解】当 时， ，方程可化为 ，此时无解；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
易知 且 ，整理得 ，若 ，此方程无解，
故答案为：5或2.
18. 对于正数 ，规定 ，计算
__________.
【答案】
【解析】
【 分 析 】 根 据 条 件 得 到 时 ， ， 设
，利用倒序相加法即
可求解.
【详解】因 为时， ，
则当 时， ，所以 ，
设 ①，
则 ②，
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学科网（北京）股份有限公司所以① ②得： ，
即 ，所以 ，
故答案为： .
三、解答题：共7小题，满分90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19. （1）计算： .
（2）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先算开方，绝对值，零次幂和乘方，最后算加减法即可；
（2）先化简原式，再把 代入求解即可.
【详解】（1）
；
（2）原式 ，
把 代入得原式 .
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及化简求值问题.属于较易题.
20. 某校为庆祝中华人民共和国建国 周年，以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，
工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表：
分数段 频数 频率
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学科网（北京）股份有限公司请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求上表中的数据 、 的值；
（2）通过计算，补全频数分布直方图；
（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）如果比赛成绩在 分以上（含 分）的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中
抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的概率？
【答案】（1） ， ；（2）图见解析；（3） 分；（4） .
【解析】
【分析】（1）根据频数、频率和样本容量三者之间的关系可求得 、 的值；
（2）计算出 至 分段以及 至 分段的人数，由此可补充条形图；
（3）根据中位数的定义以及条形图可得出中位数所在的分数段；
（4）计算出比赛成绩在 分的选手所占的频率，由此可得出结论.
【详解】（1）总人数 （人）， ， ；
（2）由（1）的计算知 至 分段的人数为 人，
至 分段的人数为 人，
补全条形图如下图所示：
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学科网（北京）股份有限公司（3）比赛成绩在 的人数为 ，比赛成绩在 的人数为 ，
因此，比赛成绩的中位数落在 分；
（4）恰好抽中获奖选手的概率为： .
【点睛】本题考查条形图的应用，同时也考查了中位数、频率的计算以及条形统计图的完善，属于基础题.
21. 已知一次函数 的图象经过 ， 两点，并且交 轴于点 ，交 轴于点 .
（1）求 的值；
（2）求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先求出一次函数的解析式，求出 ， ， ．得到 ， ，即可
得解；
（2）取点 关于原点的对称点 ，则问题转化为求证 ，证明 即得证.
【详解】（1）由 ，解得 ，所以 .
所以 ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ， ，
；
（2）证明：取点 关于原点的对称点 ，
则问题转化为求证 ．
由勾股定理可得， ， ， ，
，
是等腰直角三角形．
所以 ．
．
【点睛】本题主要考查一次函数的解析式的求法和平面几何选讲，考查锐
角三角函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22. 为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县 、 两类薄弱学校全部进行改造.根据预算，共需资金
1575万元.改造一所 类学校和两所 类学校共需资金230万元；改造两所 类学校和一所 类学校共需
资金205万元.
（1）改造一所 类学校和一所 类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）若该县的 类学校不超过5所，则 类学校至少有多少所？
（3）我市计划今年对该县 、 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担.若
今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投
入到 、 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元.请你通过计算求出有几种改造方案？
【答案】（1）60万元和85万元；（2）15所；（3）4种方案.
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】
（1）先设改造一所 类学校和一所 类学校所需的改造资金分别为 万元和 万元，根据题中条件列出方
程组求解，即可得出结果；
（2）设该县有 、 两类学校分别为 所和 所，根据题中条件，得到 ，由题意列出
不等式求解，即可得出结果；
（3）设今年改造 类学校 所，则改造 类学校为 所，由题意列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】（1）设改造一所 类学校和一所 类学校所需的改造资金分别为 万元和 万元.
依题意得： ，
解之得 .
答：改造一所 类学校和一所 类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元.
（2）设该县有 、 两类学校分别为 所和 所.则
，
，
∵ 类学校不超过5所，∴ ，∴ ，
即： 类学校至少有15所.
（3）设今年改造 类学校 所，则改造 类学校为 所，依题意得：
，
解之得 .
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学科网（北京）股份有限公司∵ 取整数，∴ ，即：共有4种方案.
【点睛】本题主要考查等式与不等式的应用，属于初高中衔接内容，是基础题.
23. 如图， 内接于半圆， 是直径，过 作直线 使 . 是弧 的中点，
交 于 ， 于 ，交 于 .
（1）求证： 是半圆的切线；
（2）求证： .
（3）若 的面积为 ，且 ， ，求 的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）16.
【解析】
【分析】（1）根据题中条件，由角之间的关系，证明 ，即可得出结论成立；
（2）先由题意，得到 ， ，再由 ，推出
，即可得出结论成立；
（3）连结 ，根据题中条件，证明 ，得出 ，进而可得出结果.
【详解】证明：（1）∵ 是直径，
∴ ， .
∵ ，∴ ，即 ，
∴ 是半圆的切线.
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学科网（北京）股份有限公司（2）如图，∵ 是弧 的中点，
∴ ，
∵ 是直径，∴ ，故 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ .
（3）连结 ，则 ，
∵ ， 是弧 的中点，∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题主要考查平面几何的证明，以及由三角形相似求三角形面积，属于中档题型.
24. 如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于 、 两点， 点在 点左侧.点
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学科网（北京）股份有限公司的坐标为 ， .
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是线段 下方抛物线上的动点，求四边形 面积的最大值；
（3）若点 在 轴上，点 在抛物线上.是否存在以 、 、 、 为顶点且以 为一边的平行四边形？
若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， ， ，
.
【解析】
【分析】（1）将 两点坐标代入抛物线方程即可求出解析式；
（2）过点 作 轴分别交线段 和 轴于点 ， ，则 ，根据
的取值可求出最大值；
（3）分两种情况，①过点 作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交 轴于点 ，②平移
直线 交 轴于点 ，交 轴上方的抛物线于点 ，分别求出P的坐标即可.
【详解】（1）∵点 ， ， ，
把 ， 代入 得：
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学科网（北京）股份有限公司，解得： ， ，
∴所求抛物线的解析式为 .
（2）过点 作 轴分别交线段 和 轴于点 、 .
∵对称轴 ， ，∵点 ，
∴ ，
易得直线 的解析式为 ，
令 ， ，其中 ，
.
当 时， 有最大值3，
此时四边形 面积有最大值 .
（3）如图，有如下情况：
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学科网（北京）股份有限公司①过点 作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交 轴于点 ，
此时四边形 为平行四边形，∵ ，
令 得： ， ，
∴点 .
②平移直线 交 轴于点 ，交 轴上方的抛物线于点 ，
当 时，四边形 为平行四边形，
∵ ，∴由对称关系令 ，由
化简得： ，解得 或 ，
此时存在点 和 .
综上，存在3个点符合题意，坐标分别是 ， ， .
【点睛】本题考查二次函数与几何结合的综合问题，属于中档题.
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学科网（北京）股份有限公司25. 如图1，已知直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，过直线 上的两点 、 分别作
轴的垂线段，垂足分别为 和 ，其中 ， .
（1）如果 ， ，试判断 的形状；
（2）如果 ，（1）中有关 的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说
明理由；
的
（3）如图2，题目中 条件不变，如果 ，并且 ，求经过 、 、 三点的抛物线所对
应的函数关系式；
（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴 与线段 交于点 ，点 是对称轴上一动点，以点 、
、为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形相似，求符合条件的点 的坐标.
【答案】（1）直角三角形
（2）成立，证明见解析
（3）
（4） ， .
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出相关线段，再利用勾股定理逆定理即可；
（2）求出 ，再利用勾股定理和勾股定理逆定理即可证明；
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学科网（北京）股份有限公司（3）利用待定系数法，利用二次函数一般式或交点式均可；
（4）作出点 位置，利用三角形相似求出相关线段长即可.
【小问1详解】
是直角三角形.
依题意得 ， ， ，∴
在 中，
在 中，
∴
∴ 是直角三角形.
【小问2详解】
（1）中的结论还成立.
依题意得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵在 中， ，
在 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ .
∴ 是直角三角形..
【小问3详解】
∵ ， ，∴ .
方法一：设抛物线的函数关系式为 .
∵抛物线经过点 、 和 ，
∴ ，∴
∴所求抛物线的函数关系式为 .
方法二：设抛物线的函数关系式为 .
∵抛物线经过点 ，∴ 解得 ，
∴所求抛物线的函数关系式为 ，
即 .
【小问4详解】
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学科网（北京）股份有限公司抛物线的对称轴与 轴的交点 符合条件，
∵ ， ，∴
∵抛物线的对称轴为 ，∴ ，
∴ .
过点 作 ，交抛物线的对称轴于点 .
∴ 、 、 和 两两相似，
∴ ，即 .
.
∵点 位于第四象限，∴
因此，符合条件的点有两个，分别是 ， .
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学科网（北京）股份有限公司第26页/共26页
学科网（北京）股份有限公司
