文档内容
2025-2026 年度第一学期高一年级六校联合学业质量检测
数学科试题
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间 120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的.
1. 设集合 ，集合N为函数 的定义域，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数的真数为正数化简集合 ，进而由集合的交运算即可求解.
【详解】由 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故选:D
2. 对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】举例说明判断ABC；利用不等式性质推理判断D.
【详解】对于A，取 ，满足 ，而 ，A错误；
对于B，取 ，满足 ，而 ，B错误；
对于C，取 ，满足 ，而 ，C错误；
对于D，由 ，得 ，则 ， ，D正确.
故选：D
3. 已知 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用换元法求解即可.
【详解】令 ，则 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
4. 函数 的图象可能是（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断 的奇偶性，再计算 即可判断.
【详解】由题意有： 的定义域为 ， ，所以
为奇函数，故排除AC；
又 ，故排除B，
故选：D.
5. 已知函数 在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数、对数函数的性质，结合分段函数的单调性列不等式即可求得.
【详解】由 图象的开口向下，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
而函数 在 为增函数，
则由 在R上单调递增，可得 ，解得 .
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司6. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查指数、对数函数的性质，与中间量“0”和“-1”进行比较.
【详解】因为 ， ， ；
又因为 ， ；
所以 ， ， .
所以 .
故选：C.
7. 已知函数 的图象过原点，且无限接近于直线 ，但又不与该直线相交，则函数
有（ ）
A. 最大值0 B. 最小值0 C. 最大值 D. 最小值
【答案】B
【解析】
【分析】先利用函数过定点的性质通过待定系数法求参数关系，再利用渐近线特征确定参数具体值，最后
结合绝对值与指数函数的单调性分析最值即可.
【详解】因为函数 的图象过原点 ，得：
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学科网（北京）股份有限公司，所以 ，即 .
因为 ，
所以当 时， ，此时 ，
又因为函数图象无限接近直线 但不相交，
因此： ，又因为 ，得 .
则 ，
因为 ，得 ，则 ，
所以： ，
所以： ，
即函数 无最大值，最小值为0.
故选：B.
8. 已知函数 ，若方程 有4个不同的根 ， ， ， ，且
，则 的取值范围是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出函数 与 的图像，得到 关于 对称， 化简条件，利用对勾函
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学科网（北京）股份有限公司数的性质可求解.
【详解】作函数 与 的图像如下：
方程 有4个不同的根 ， ， ， ，且 ，
可知 关于 对称，即 ，且 ，
则 ，即 ，则
即 ，则 ；
当 得 或 ，则 ； ；
故 ， ；
则函数 ，在 上为减函数，在 上为增函数；
故 取得最小值为 ，而当 时，函数值最大值为 .
即函数取值范围是 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解
题的关键，属于难题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“ ”的否定是“ ”
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学科网（北京）股份有限公司B. 不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围是
C. “ ”是“ ”的必要不充分条件
D. 若 ，则关于 的方程 有两个不同的正根
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据全称命题的否定、一元二次不等式恒成立、充分条件必要条件等知识逐项判断即可.
【详解】选项A，全称命题的否定是存在命题，且结论否定，该选项正确.
选项B，当 时，不等式为 ，成立；
当 时，需 ，即 ，解得 .
综上， 的取值范围是 ，该选项正确.
选项C，若 ，则 ，必要性成立；
若 ，当 时， 不一定等于 ，充分性不成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，该选项正确.
选项D，方程 有两个不同的正根，需 ，
解得 ，并非 即可，该选项错误.
故选：ABC.
10. 已知 ，且 ，则（ ）
A. 的最大值是 B. 的最小值是9
C. + 的最小值是4 D. 的最小值是1
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学科网（北京）股份有限公司【答案】AC
【解析】
【分析】直接使用基本不等式可判断AC；利用常数代换法，结合基本不等式可判断B；代入消元，利用
二次函数性质可判断D．
【详解】对于A，由 ， ，可得 ，
所以 ，当且仅当 ， 取得最大值 ，故A正确；
对于B， ， ， ，
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立， 的最小值为 ，故B错误；
对于C， ， ，且 ，则 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立， 的最小值为4，故C正确；
对于D， ， ，且 ，则 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ， 时取等号，故D错误．
故选：AC
11. 函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，该结论可
以推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇
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学科网（北京）股份有限公司函数．已知函数 ．（ ）
A. 若 ，则函数 为奇函数
B. 若 ，则
C. 函数 的图象必有对称中心
D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】中心对称函数的性质，利用函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函
数 为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,
求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据 的函数性质证明即可.
【详解】对于选项A，记 ．
因为 ，所以 为奇函数，故选项A正确；
对于选项B，由选项A可知 ，从而 ，
所以 ，故选项B错误；
对于选项C，记 ．若 为奇函数，则 ，
，即 ，
所以 ，即 ．
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学科网（北京）股份有限公司上式化简得 ， ．
则必有 ，解得，
因此当 时， 的图象必关于点 对称，故选项C正确；
对于选项D，由选项C可知， ．
当 时， 是减函数， ，所以
，
故选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数 的图象经过点 ，则不等式 的解集为__________
【答案】
【解析】
【分析】先根据点的坐标确定幂函数的解析式，再结合幂函数的单调性解不等式.
【详解】因为函数 为幂函数，所以设 ，
.
由
所以 .
又 在 上单调递增，
所以 .
故所求不等式的解集为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
13. 已知函数 的反函数为 ，则 的单调递减区间为________.
【答案】
【解析】
【分析】求出对数函数的反函数，再由复合函数的单调性求解即可.
【详解】因为函数 的反函数 ，
所以 ，
令 ，则 可以看作由 与 复合而成，
当 时， 单调递减，而 在 上单调递增
所以 的单调递减区间为 ，
故答案为：
14. 函数 的定义域为 ，若满足：① 在 上是单调函数，
②存在 使得 在 上的值域为 ,那么函数 为“优美函数”.若函数
是“优美函数”，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用复合函数法分析可知，函数 在定义域上为增函数，则存在 使得
在 上的值域为 ,进一步分析可知，关于 的方程 至少有两解，令
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学科网（北京）股份有限公司， ，则函数 有两个不等的正零点，利用二次函数的零点分布可得出
关于实数 的不等式组，解之即可.
【详解】当 时，内层函数 为减函数，外层函数 为增函数，
由复合函数法可知，函数 在定义域上为增函数；
当 时，内层函数 为增函数，外层函数 为增函数，
由复合函数法可知，函数 在定义域上为增函数.
综上所述，函数 在定义域上为增函数，
根据题意，存在存在 使得 在 上的值域为 ,
则 ，
所以，关于 的方程 至少有两解，即 ，可得 ，
令 ， ，
由题意可知，函数 有两个不等的正零点 、 ，
所以， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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学科网（北京）股份有限公司15. （1）计算: ；
（2）已知 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
的
【分析】（1）应用指数幂、对数 运算性质化简求值；
（2）由立方和公式将目标式化为 ，结合已知求值.
【详解】（1）原式 ；
（2）原式 .
16. 已知函数
（1）若函数 在 上存在零点，求实数 的取值范围；
（2）当 时，若对任意的 总存在 使得 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质和零点存在定理求解；
（2）根据双变量恒成立的性质，判断两个函数在给定区间上的值域的包含关系，对参数进行分类讨论，
列出不等式，求出参数范围即可.
【小问1详解】
因为 ，所以该函数的对称轴为 ，开口向上，
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 在 上单调递减；
又因为函数 在 上存在零点，所以 ，
所以 ，解得 ，所以a的取值范围为
【小问2详解】
若对任意的 ，总存在 ，使 成立，
只需函数 的值域为函数 的值域的子集.
当 时， 的值域为 .
当 时， 为常数，不符合题意舍去.
当 时， 的值域为 ，要使 ，
需 且 ，解得 .
当 时， 的值域为 ，要使 ，
需 且 ，解得 .
综上， 的取值范围为 .
17. 舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对
来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话
题的关注程度.对于舆论事件出现起的前 天( )，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于
，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第
1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格：
天数 1 2 3
舆论场指数 12 48 156
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学科网（北京）股份有限公司为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据： ① ；②
；③ ，其中含 的项的系数均不为0.
（1）请根据表格数据从①，②，③中选择一个最合适的函数模型，求出其函数解析式，并预测第4天时的
舆论场指数；
（2）若本次舆情不是严重的，求 的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数据的增长速度，选择指数型函数刻画数据，再结合已知数据求函数解析式，再求
的值即可.
（2）问题转化为不等式 ， 恒成立，结合换元法与二次函数的单调性，可求 的最小
值.
【小问1详解】
因为舆论场指数 ， ， ，增长速度越来越快，所以应该选择模型③来刻画数据.
由题意得： .
因为 ；
由 .
所以 ，
将 代入 ，可得 .
将 ， 代入 ，可得 .
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学科网（北京）股份有限公司所以函数解析式为 .
令 ，得 ，即预测第4天时的舆论场指数为 .
【小问2详解】
因为本次舆情不是严重的，即 在 时恒成立.
所以 ， .
设 ， ，则 .
又 在 上单调递增，所以 .
所以 .
所以 的最小值为 .
18. 已知函数 为奇函数.
（1）求k的值;
（2） ，判断g(x)的单调性，并说明理由；
（3）若 求实数t的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） 在 上是单调递增函数，理由见解析；
（3） .
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用 为奇函数，则有 ，计算求解；
（2）求出 的定义域为 ，在 上任取两个数 ，且 ，计算 ，判断
与 的大小，利用单调性的定义得解；
（3）通过题中条件得到 ，将所求不等式转化为 ，求出
是奇函数及 在 上是单调递增函数，得到 ，计算得解.
【小问1详解】
， ，
为奇函数， ，
，整理得 ， ， ， ；
【小问2详解】
在 上是单调递增函数.理由如下：
，定义域为 ，在 上任取两个数 ，且 ，
，
， ， ， ， ，
， ，
， ， 在 上是单调递增函数；
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学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
为奇函数， ，
，
，
是奇函数，
，
，
在 上是单调递增函数，
， ， ， 实数t的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司19. （1）设函数 在 上的最大值为 P，最小值为Q，求 的值;
（2）对于两个定义域相同的函数 和 ，若存在实数m，n，使 ，则称函数
是由“基函数 和 ”生成的.试利用“基函数 和 ”生成一个函
数 ，满足 为偶函数，且 .
求函数 的解析式；
①
已知 对于 上的任意值 ，记
②
，当M的最大值为 时，求r的值.（注: ）
【答案】（1） ；（2） ；
① ②2.
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性定义确定 的奇偶性，再利用复合函数单调性及单调性定
义确定该函数在 上单调性，进而求出最值即可.
（2）①利用给定定义，结合指数、对数运算及 为偶函数的条件可得 ，再由 求出解
析式；②设 ，结合（1）中函数性质求出 的表达式，再确
定最大值求出 的值.
【详解】（1）令函数 ， ， ，
函数 是 上的偶函数，令 ，任意 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，则 ， ，
因此函数 在 上单调递增，而函数 是增函数，则函数 在 上单调递增，
， ，
所以 .
（2）①设 ，由 为偶函数，得 恒成立，
则 ，即 恒成立，
整理得 ，即 恒成立，而 不恒为0，因此 ，
由 ，得 ，联立解得 ，
所以函数 的解析式为 .
②由①知 ， ，
由（1）得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
设 ，
则 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
当 时， ，
则当且仅当 或 时，
，
因此 ，即 ，由（1）得 ，解得 ，
所以r的值为2.
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学科网（北京）股份有限公司
