文档内容
2025—2026 学年度第一学期期中教学质量检测
高一数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到
答题卡和试卷规定的位置上.
2.第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不
按以上要求作答的答案无效.
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合 ， 且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合自然数集的定义，即可求解.
【详解】由集合 ， 且 ，
因为 ，所以 .
故选：C.
2. 命题“存在一个奇函数 ， 是偶函数”的否定是（ ）
A. 存在一个奇函数 ， 是奇函数
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学科网（北京）股份有限公司B. 存在一个偶函数 ， 不是偶函数
C. 任意一个奇函数 ， 是奇函数
D. 任意一个奇函数 ， 不是偶函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定是全称命题求解.
【详解】命题“存在一个奇函数 ， 是偶函数”的否定是“任意一个奇函数 ，
不是偶函数”.
故选：D.
3. 已知函数 的定义域为 ，则“ 在区间 上单调递减”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合函数单调性的定义判断.
【详解】若 在区间 上单调递减，且 ，则 ，充分性成立；
若 ，则 在区间 上不一定单调递减，如函数 ，
，满足 ，但 在 上单调递减，在 上单调递增，故必
要性不成立，
故“ 在区间 上单调递减”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 若关于 的不等式 的解集为 ，则函数 的定义域为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解集的特征求出 ，进而求出 的定义域.
【详解】因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以 和2是方程 的两根，则 ，得 ，
，
所以 且 ，解得 .
所以函数 的定义域为 .
故选：B.
5. 已知函数 的定义域为 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在条件式中以 替代 ，得 ，代入原条件式，再令 ，求得答案.
【详解】由 ， 代替 ,得 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
令 ，得 ，解得 .
故选：B.
6. 若“ ， ”是真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 ，且 ，分析得解.
【详解】因为 ，且 ，
所以 等价于 ，则 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：C.
7. 若函数 （ ，且 ， 均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】抓住 与1大小， 正负讨论，结合指数函数的图象求解.
【详解】若 ， ，函数 经过第三象限，不合题意；
若 ， ，函数 经过第一，二象限，不合题意；
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学科网（北京）股份有限公司若 ， ，则 不可能同时经过第一、二、四象限，不合题意；
若 ， ，函数 经过第一，二象限，不合题意；
若 ， ，则 经过第一、二、四象限，合题意；
若 ， ，函数 经过第二，四象限，不合题意；
若 ， ，函数 经过第二，三，四象限，不合题意；
综上，当 ， 时， 经过第一、二、四象限.
故选：D.
8. 已知正数 ， 满足 ，则（ ）
A. B. 的最小值为4
C. 的最小值为4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】对A，举反例；对B，利用基本不等式求解；对C，利用基本不等式取等号条件判断；对D，利
用基本不等式求得 ，得解.
【详解】对于A，由 ， ，取 ，则 ，故A错误；
对于B， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C， ，当且仅当 ，即 时等号成立，
由 ，等号不成立，故C错误；
对于D， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，故D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中与函数 是同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【
分析】根据函数定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.
【详解】对于A， 与 对应关系不同，所以它们不是相同函数，故A错误；
对于B，函数 定义域为 ，与 定义域和对应关系均相同，所以它们是相同
函数，故B正确；
对于C， 的定义域 ，与 定义域和对应关系均相同，所以它们是相同函
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学科网（北京）股份有限公司数，故C正确；
对于D， 的定义域为 ，与 定义域不同，所以它们不是相
同函数，故D错误.
故选：BC.
10. 下列不等关系正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据指数函数，幂函数的单调性及中间值比大小.
【详解】对于A，因为 是R上单调减函数， ，所以 ，故A正确；
对于B，因为 在 上单调递减， ，所以 ，故B正确；
对于C，因为 是R上单调减函数， 是R上单调增函数，所以 ，
，故C错误；
对于D，因为 在R上单调递减，则 ，
又 在 上单调递增，则 ，所以 ，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 的图象关于点 对称
B. 函数 在区间 上单调递增
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学科网（北京）股份有限公司C. 存在常数 ，使 恒成立
D. 时， 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，由 即可判断；对B，利用复合函数的单调性判断；对C，利用
运算得解；对D，将原式变形为 ，令 ，利用基本不等
式求解.
【详解】对于A，由 ，所以 的图象关于点
对称，故A正确；
对于B，由 ，令 ，易知 在 上单调递减，
又 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递减，故B错误；
对于C，由 ，即 ，化简整理得 ，
上式恒成立，则 ，所以存在常数 使得 恒成立，故C正确；
对于D，当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算 _____.
【答案】1
【解析】
【分析】根据根式与分数指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】
.
故答案为：1.
13. 已知奇函数 的定义域为 ，且 时， ，则 _____.（写出具体数值）
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求得参数 的值，再由奇函数定义求值．
【详解】由题意，可得 ，即 ，得 ，
所以 时， ，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
14. 已 知 函 数 ， 若 ， 当 时 ， 都 有
，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】令 ，由题意函数 在 单调递增，再利用分段函数的单调性，列出不等式组
求解.
【详解】若 ，当 时，都有 ，即 ，
令 ，可得 ，
所以函数 在 单调递增.
又 ，
∴ ，解得 ，
则实数 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ， .
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学科网（北京）股份有限公司（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的值.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的补集、并集运算得解；
（2）根据交集结果，分 或 讨论，即可得解.
【小问1详解】
当 时， ，
因为 ，所以 或 ，
所以 或
【小问2详解】
因为 ， ，且 ，
所以 或 ，解得 或 .
当 时， ，且 ，符合题意；
当 时， ，且 ，不符合题意，舍去.
综上， .
16. 在某大学生创业园，小王团队开展了废旧钢材回收项目，他们每天通过固定渠道回收废旧钢材，然后
再全部售出.已知该团队的日废旧钢材回收成本 （单位：元）与日废旧钢材回收量 （吨）的关系为
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学科网（北京）股份有限公司，销售时每吨废旧钢材2400元，记该团队的日废旧钢材回收利
润为 （单位：元），且利润=销售收入-成本.
的
（1）求 关于 函数解析式；
（2）求 的最大值，并求出取得该最大值时 的值.
【答案】（1） ；
（2）最大值为2980元，且取得该最大值时 .
【解析】
【分析】（1）根据利润 销售收入 成本，列式求解；
（2）当 时，利用二次函数单调性求出最大值，当 时，利用基本不等式求出最大值，比
较得解.
【小问1详解】
设该团队的日销售收入为 （单位：元），由题意知 ；
所以 ，
即 .
【小问2详解】
由（1）知，当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 （元）；
当 时，
（元），
当且仅当 时，等号成立.
因为 ，所以 的最大值为2980元，且取得该最大值时 吨.
17. 已知函数 是幂函数.
（1）求 ， 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 ，且关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数定义列式求解；
（2）由 得 ，而 ，运算得
解；
（3）由（1）结合 求得 ，不等式 有解化简等价于 有解，利用
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学科网（北京）股份有限公司求得答案.
【小问1详解】
因为 是幂函数，
所以 ，解得 .
【小问2详解】
由（1）知 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 .
【小问3详解】
由（1）知 ，因为 ，所以 ，即 ，所以 .
所以关于 的不等式 有解，等价于 有解，
因为函数 在 上单调递增，所以 有解，即 有解，
所以 ，解得 .
所以，实数 的取值范围为 .
18. 已知函数 .
（1）判断 的奇偶性，并证明；
（2）当 时，
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学科网（北京）股份有限公司（i）根据函数单调性的定义证明 在区间 上单调递增；
（ii）若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 为偶函数，证明见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性定义判断证明；
（2）（i）根据函数单调性定义证明；（ii）根据偶函数性质 等价于
恒成立，利用单调性求解.
【小问1详解】
为偶函数，证明如下：
函数 的定义域为 .
因为 ，都有 ，
且 ，
所以 为偶函数.
【小问2详解】
（i）当 时， ，
，且 ，有
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学科网（北京）股份有限公司.
由 ，得 ， ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
又由 ，得 ，于是 ，
即 .
所以， 在区间 上单调递增.
（ii）由（1）知 是定义域为 的偶函数，
所以 恒成立，等价于 恒成立，
又由（i）知 在区间 上单调递增，
所以 即
由 ，得 ，解得 ，
所以，实数 的取值范围为 .
19. 设集合 是至少含有两个元素的数集，若 中存在两个元素 ， 满足它们的积 ，则称
为可积数集.
（1）设集合 ，试判断 是否为可积数集？并说明理由；
（2）设集合 ，若 为可积数集，求实数 的取值集合；
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学科网（北京）股份有限公司（3）设集合 ，若 不是可积数集，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 不是可积数集，理由见解析
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据可积数集得定义判断；
（2）由新定义可得 ，或 ，或 ，
或 ，或 ，或 ，讨论求解；
（3）由题意可得 ， ，分 ， ， 讨论求解.
【小问1详解】
因为 ， ， ，
所以 中任意两个元素的积都不是 中的元素，即 不是可积数集.
【小问2详解】
若 为可积数集，则 ，或 ，或 ，
.
或 ，或 ，或
若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ；
若 ，则 ，或 ，或 ，或 ，
解得 ，或 ，或 （舍），或 ；
若 ，则 ，或 ，或 ，或 ，
解得 ，或 ，或 ，或 ；
若 ，则 ，或 ，或 ，或 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，或 ，或 ，或 ，
综上，实数 的取值集合为 .
【小问3详解】
若 不是可积数集，则 ， .
当 ，即 时， ，此时 ，满足题意；
当 时， ，因为 ，所以若 ，则 ，
即 ，解得 ，或 ，此时 满足题意；
当 ，即 时， ， ，不满足题意，舍去.
综上，所求实数 的取值范围为 或 .
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