专题16.2二次根式的混合运算（压轴题专项讲练）（人教版）（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_压轴题专项-V5_2025版

专题 16.2 二次根式的混合运算 ◆ 典例分析 【典例1】材料一：由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)=(❑√5) 2 −(❑√3) 2=2 乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因 式，有时可以化去分母中的根号，例如： 1 ❑√3−❑√2 = =❑√3−❑√2； ❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 材料二：根式化简 1 1 ❑√3−1 1( 1 )； = = = 1− 3+❑√3 ❑√3(❑√3+1) ❑√3(❑√3+1)(❑√3−1) 2 ❑√3 1 1 ❑√5−❑√3 1( 1 1 )． = = = − 5❑√3+3❑√5 ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√15(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2 ❑√3 ❑√5 根据以上材料，请完成下列问题： 3 （1） =_____ _；（直接写结果） 3−❑√6 1 1 1 1 （2）计算： + + +…+ ； ❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√100+❑√99 1 1 1 1 （3）计算： + + +…+ ； 3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023 （4）计算： + +…+ ． 1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025 【思路点拨】 本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【解题过程】（1）解： 3 3(3+❑√6) 3(3+❑√6) ， = = =3+❑√6 3−❑√6 (3−❑√6)(3+❑√6) 9−6 故答案为：3+❑√6 1 1 1 1 （2）解： + + +…+ ❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√100+❑√99 1×(❑√2−1) 1×(❑√3−❑√2) 1×(❑√4−❑√3) 1×(❑√100−❑√99) = + + +…+ (❑√2+1)(❑√2−1) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3) (❑√100+❑√99)(❑√100−❑√99) ❑√2−1 ❑√3−❑√2 ❑√4−❑√3 ❑√100−❑√99 = + + +…+ 2−1 3−2 4−4 100−99 =(❑√2−1)+(❑√3−❑√2)+(❑√4−❑√3)+…+(❑√100−❑√99) =−1+❑√100 =−1+10 =9； 1 1 1 1 （3）解： + + +…+ 3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49 1 1 1 1 = + + +…+ ❑√3(❑√3+1) ❑√3×5(❑√5+❑√3) ❑√5×7(❑√7+❑√5) ❑√47×49(❑√49+❑√47) ❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√49−❑√47 = + + +…+ ❑√3(❑√3+1)(❑√3−1) ❑√3×5(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) ❑√5×7(❑√7+❑√5)(❑√7−❑√5) ❑√47×49(❑√49+❑√47)(❑√49−❑√47) ❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√49−❑√47 = + + +…+ 2❑√3 2❑√3×5 2❑√5×7 2❑√47×49 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 ) = × 1− + − + − +…+ − 2 ❑√3 ❑√3 ❑√5 ❑√5 ❑√7 ❑√47 ❑√49 1 ( 1 ) = × 1− 2 ❑√49 1 ( 1) = × 1− 2 7 3 = ； 7❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023 （4）解： + +…+ 1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023 = + +…+ 1+❑√3+❑√5+❑√3⋅❑√5 1+❑√5+❑√7+❑√5⋅❑√7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023⋅❑√2025 (❑√5+1)−(❑√3−1) (❑√7+1)−(❑√5+1) (❑√2025+1)−(❑√2023+1) = + +…+ (❑√3+1)(❑√5+1) (❑√5+1)(❑√7+1) (❑√2025+1)(❑√2023+1) 1 1 1 1 1 1 = − + − +…+ − ❑√3+1 ❑√5+1 ❑√5+1 ❑√7+1 ❑√1023+1 ❑√2025+1 1 1 = − ❑√3+1 ❑√2025+1 ❑√3−1 1 = − (❑√3+1)(❑√3−1) 45+1 ❑√3−1 1 ❑√3 12 = − = − ． 2 46 2 23 ◆ 学霸必刷 √1 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）估计(❑√72−❑√24)÷❑√2+9❑ 的运算结果应在（ ） 3 A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 2．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）张老师在黑板上出了一道计算题： ，要求 (3−❑√6)◯(❑√6+3) 同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（ ） A．×或÷ B．+或÷ C．+或× D．−或× 3．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有 二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如 ， ．通过查阅相 ❑√a⋅❑√a=a (2❑√3−❑√2)(2❑√3+❑√2)=10 关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，得到了一些结论： 1 3+❑√7 ① = ； ❑√7−3 2 a b ②设有理数a，b满足： + =−6❑√2+4，则a+b=6； ❑√2+1 ❑√2−11 1 ③ > ； ❑√2022−❑√2021 ❑√2020−❑√2019 ④已知❑√43−x−❑√11−x=4，则❑√43−x+❑√11−x=6； 1 1 1 1 33−❑√11 ⑤ + + +⋅⋅⋅+ = ． 3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 99❑√97+97❑√99 66 以上结论正确的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级下·重庆北碚·期中）已知 ，将 的整数部分加上 的小数部分的倒数得到 ，再 a =❑√3 a a a 0 0 0 1 将a 的整数部分加上a 的小数部分的倒数得到a ，以此类推可得到a ，a ，……，a ．如❑√3的整数部分为 1 1 2 3 4 n 1 ❑√3+1 1，小数部分为❑√3−1，所以a =1+ =1+ ．根据以上信息，下列说法正确的有 1 ❑√3−1 2 （ ） 9+❑√3 ❑√3−1 3+❑√3 ①a = ；②a 的小数部分为 ；③a −a = ；④ 3 2 2022 2 20 19 2 1 1 1 47 + +⋯⋯+ = ；⑤ (a −❑√3)(a −❑√3) (a −❑√3)(a −❑√3) (a −❑√3)(a −❑√3) 450 2 4 4 6 98 100 ． a +a +a +⋯⋯+a =1230+30❑√3 1 2 3 40 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（23-24八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两 个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如 ，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在 (❑√5+❑√2)(❑√5−❑√2)=(❑√5) 2 −(❑√2) 2=3 进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令 （ 为非负数），则 A =❑√n n n (A +A )(A −A )=(❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n)=(❑√m) 2 −(❑√n) 2=m−n ； m n m n1 1 ❑√m−❑√n ❑√m−❑√n．则下列选项正确的有（ ）个 = = = A +A (❑√m+❑√n) (❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n) m−n m n 3 ①若a是A 的小数部分，则 的值为❑√7−2； 7 a b c ②若 − =8❑√5+4（其中b、c为有理数），则bc=−15； A −A A +A 5 4 5 4 ③ ，则 ❑√A +10−❑√A −2=2 ❑√A +10+❑√A −2=6 n n n n 1 1 1 1 ❑√2023 ④ + + +⋯+ =1− 2A +A 3A +2A 4A +3A 2023A +2022A 2023 1 2 2 3 3 4 2022 2023 A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习） 的整数部分是 ． (❑√3+❑√2) 6 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知 ，则 的算术平方根是 x=√3 4(❑√5+1)−√3 4(❑√5−1) x3+12x ． 3❑√5+❑√105+3❑√7+5❑√3 8．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）化简 = ． ❑√3+2❑√5+❑√7 1 9．（23-24八年级上·上海虹口·阶段练习）已知x= ，则 ❑√2022−❑√2021 x6−2❑√2021x5−x4+x3−2❑√2022x2+2x−❑√2022的值为 ． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知实数 ， 满足 x y (x−❑√x2−2018)(y−❑√y2−2018)=2018 ，则x2+ y2的值为 ． 11．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）计算： （1）2❑√12+❑√48−❑√27； √1 （2）❑√(−3) 2−3 +(2−π) 0+|1−❑√3)； 8 （3） ； (❑√2−1) 2+2❑√8−(❑√5−2)(❑√5+2) （4）( 1 √1) ． 2❑√27+ ❑√108−12❑ ÷❑√12 3 312．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算： √ 1 √ 1 （1）❑1 −10❑√0.4+4❑ ； 9 40 （2） 1 √ y2； 2❑√3x2y⋅ ❑√6x+❑ 3 x 2❑√2 ❑√6 （3） − ； ❑√6−❑√10 2❑√3+3❑√2 （4） ( 1 1 )； ❑√6÷ − ❑√2 ❑√3 （5）(2 √a) √b ； ❑√ab3−3b❑ ÷❑ (b>0) b b a ❑√a−❑√b a−2❑√ab+b 1 （6） ⋅ ÷ ． a−b a−b a+2❑√ab+b 13．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）计算： √ n ab n √m √ n （1）(a2❑ − ❑√mn+ ❑ )÷a2b2❑ ； m m m n m b−❑√ab a b a+b （2）(❑√a+ )÷( + − )（a≠b）． ❑√a+❑√b ❑√ab+b ❑√ab−a ❑√ab2 2 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：x= ，y= ，求下列各式的值． ❑√3−1 ❑√3+1 1 1 （1） + ； x y （2） ． ❑√x2+ y2−xy 15．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）阅读下面解题过程． 1 例：化简 ． ❑√2+❑√1 解： 1 ❑√2−❑√1 ❑√2−❑√1 ❑√2−❑√1 ． = = = =❑√2−1 ❑√2+❑√1 (❑√2+❑√1)(❑√2−❑√1) (❑√2) 2 −(❑√1) 2 1 请回答下列问题． 1 （1）归纳：请直接写出下面式子的结果： =__________． ❑√6+❑√5 1 1 1 1 （2）应用：化简 + + +⋯+ ； ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√5+❑√4 ❑√2023+❑√2022 1 1 1 1 （3）拓展： + + +⋅⋅⋅+ =__________．（用含n的式子表 ❑√3+❑√1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1 示，n为正整数） 16．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理 化因式． 例1： ， 我们称 的一个有理化因式是 ， 的一个有 ❑√3×❑√3=3 (❑√6+❑√2)(❑√6−❑√2)=6−2=4 ❑√3 ❑√3 ❑√6−❑√2 理化因式是❑√6+❑√2． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不 含根号，这种变形叫分母有理化．1 1×❑√3 ❑√3 例2： = = ❑√3 ❑√3×❑√3 3 1 1×(❑√3−❑√2) = =❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）❑√10的有理化因式是________．❑√2−❑√3的有理化因式是________（均写出一个即可）． 3 （2）若a是❑√5的小数部分，化简 ． a （3）利用你发现的规律计算下面式子的值 ( 1 1 1 1 ) + + +⋯⋯+ (❑√2024+❑√2) ❑√2+❑√4 ❑√4+❑√6 ❑√6+❑√8 ❑√2022+❑√2024 17．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以 分母的有理化因式的方法就可以了，例如： 1 ❑√2−1 ❑√2−1 ❑√2−1 ， = = = =❑√2−1 ❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) (❑√2) 2 −1 1 ❑√2 ❑√2×❑√3 ❑√6 = = ， ❑√3 ❑√3×❑√3 3 1 （1）若a= ，求3a2−12a−1的值； ❑√5−2 （2）比较❑√2025−❑√2024与❑√2024−❑√2023的大小，并说明理由． 1 1 1 1 （3）利用这一规律计算： + + +⋯+ ． 2❑√1+❑√2 3❑√2+2❑√3 4❑√3+3❑√4 2024❑√2023+2023❑√202418．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如 我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=−3，求a2+b2我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 ，则 这样，我们不用求出a，b，就可以得到 x=a+b，y=ab a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10 最后的结果． （1）计算： ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 ⋅ = ， + = ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 ． ❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m （2）m是正整数，a= ,b= ,且2a2+1955ab+2b2=2023，求m． ❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m （3）已知 ，求 的值． ❑√15+x2−❑√19−x2=2 ❑√15+x2+❑√19−x2