文档内容
第 02 讲 排列与组合 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：排列问题
题型二：组合问题
题型三：排列组合综合问题
角度1：相邻与相间问题
角度2：分组与分配问题
①不等分问题
②整体均分问题
③部分均分问题
题型四：相同元素分配问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：排列与组合的概念
名称 定义
按照一定的顺序排成一列，叫做
排列 从 个元素中取出 个元素的一
从 个 不 同 元 素 中 取 出 （ 个排列
）个元素 作为一组，叫做从 个元素中取
组合 出 个元素的一个组合
知识点二：排列数与组合数
（1）排列数：
从 个不同元素中取出取出 （ ）个元素的所有不同排列的个数，叫做从 个元素中取出 个元素
的一个排列数，用符号 表示
（2）组合数：从 个不同元素中取出 （ ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个元素中取出 个元素的一
个组合数，用符号 表示
知识点三：排列数、组合数的公式及性质
（1）
（2）
（3）
（4） ；
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二课时练习）现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏
令营活动，则不同的选派方案的种数是（ ）
A．20 B．90 C．120 D．240
2．（2022·全国·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合 的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
3．（2022·北京师大附中高二期中）某高中政治组准备组织学生进行一场辩论赛，需要从6位老师中选出3
位组成评审委员会，则组成该评审委员会不同方式的种数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．120
4．(多选）（2022·全国·高二课时练习）已知 ，则 的可能取值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2022·河北·滦南县第四中学高二期末）若 ，则正整数x的值是________．
6．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期末）第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京市和河
北省张家口市举行.现要安排5名志愿者去四个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆只能
安排一名志愿者，则不同的分配方法有___________个.（空格处填写数字）
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：排列问题
典型例题例题1．（2022·江西·丰城九中高二期末（理））甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法
有（ ）
A．72种 B．60种 C．48种 D．36种
例题2．（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会
开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节
气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放
置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不
相邻，则不同的放置方式有多少种？（ ）
A．24 B．48 C．144 D．244
例题3．（2022·全国·高三专题练习）某种产品的加工需要经过 道工序．
(1)如果工序 不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(2)如果工序 必须相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(3)如果工序C，D必须不能相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
同类题型归类练
1．（2022·山东济宁·高二期末）某中学为了更好地培养学生劳动实践能力，举办了一次劳动技术比赛.根据
预赛成绩，最终确定由甲、乙等5名同学进入决赛，决出第1名到第5名的名次.决赛后甲和乙去询问成绩，
回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲都不是最差的.”从这两个回答分析，甲、乙
等5人的决赛名次可能有（ ）种排列情况.
A．18 B．36 C．54 D．72
2．（2022·辽宁大连·高二期末）现有4位学生和2位教师站成一排照相，两位教师站在一起的排法有
___________种.
3．（2022·吉林白山·高二期末）（1）书架上有3本不同的语文书，4本不同的数学书，2本不同的英语书，
将这些书全部竖起排成一排，如果同类书不能分开，一共有多少种不同的排法？
（2）某学校要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则共
有多少种不同的安排方法？4．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）杭二中数学兴趣小组用“1，2，3，4，5，6”来构成四位数．
(1)共有多少个无重复数字的四位数；
(2)在这些无重复数字的四位数中有多少个是3的倍数．
题型二：组合问题
典型例题
例题1．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业
专项行动，某市4所高校的校长计划拜访当地的甲、乙两家企业，若每名校长拜访1家企业，每家企业至
少接待1名校长，则不同的安排方法共有（ ）
A．8种 B．10种 C．14种 D．20种
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二阶段练习）哈三中招聘了8名教师，平均分配给南
岗群力两个校区，其中2名语文教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校
区，则不同的分配方案共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
例题3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二阶段练习）某地区发生了重大交通事故，某医院从9名医疗专家
中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这9名医疗专家中有4名是外科专家．（要求：列出排列组合算
式，并写出详细过程）
(1)抽调6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
同类题型归类练
1．（2022·陕西·绥德中学高二阶段练习（理））从0，1，2，3，4，5这6个数字中，选出3个组成没有重
复数字的三位数，各位数字之和为奇数的共有______________个．2．（2022·重庆市二0三中学校高二阶段练习）若从1，2，3，4，5，6，7这7个整数中任取3个不同的数，
使其和为奇数，则不同的取法共有______种．
3．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中）在 件产品中，有 件正品， 件次品，
从这 件产品中任意抽取 件.（写出必要的数学式，结果用数字作答）
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的 件中恰有 件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的 件中至少有 件次品的抽法有多少种？
题型三：排列组合综合问题
角度1：相邻与相间问题
典型例题
例题1．（2022·广东潮州·高二期末）五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（ ）
A．30 B．54 C．63 D．72
例题2．（2022·全国·高二单元测试）现有编号分别为 ， ， ， ， ， ， 的7个不同的小球，
将这些小球排成一排．
(1)若要求 ， ， 相邻，则有多少种不同的排法？
(2)若要求 排在正中间，且 ， ， 互不相邻，则有多少种不同的排法？
例题3．（2022·全国·高二课时练习）2021年4月29日是江津中学第29届校园文化艺术节活动周暨庆祝中
国共产党成立100周年文艺总汇演之日．已知初中、高一、高二分别选送了7，5，3个节目．现回答以下
问题（用排列数表示，不需要合并化简）：
(1)若初中的节目彼此都不相邻，则共有多少种出场顺序？
(2)由于一些特殊原因，高一5个节目（分别为 ， ， ， ， ）中的 必须在其余4个节目前面演出，高二3个节目（分别为 ， ， ）中的 必须在其余2个节目前面演出，则共有多少种出场顺序？
例题4．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（理））现有7位同学（分别编号为 ， ， ，
， ， ， ）排成一排拍照，若其中 ， ， 三人互不相邻， ， 两人也不相邻，而 ，
两人必须相邻，求不同的排法总数．
同类题型归类练
1．（2022·广东肇庆·高二期末）3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（ ）
A．48种 B．36种 C．20种 D．24种
2．（2022·全国·高二课时练习）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
3．（2022·江西·九江实验中学模拟预测（理））A，B，C，D，E五人站成一排．
(1)A，B两人相邻的不同排法有多少种？(2)A，B，C两两不相邻的排法有多少种？
(3)A，B都与C相邻的不同排法种数有多少种？
(4)A，B，C顺序一定的排法有多少种？
4．（2022·江苏泰州·高二期末）电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现
有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
角度2：分组与分配问题
①不等分问题
典型例题
例题1．（2022·广东·广州科学城中学高二期中）按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方
式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
例题2．（2022·江苏·东台创新高级中学高二阶段练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少
种不同的分配方法？
（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
同类题型归类练
1．（2022·黑龙江·龙江县第一中学高二阶段练习）将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组：
(1)要求有3人分到甲组，2人分到乙组，1个人分到丙组，共有多少种不同的分法？
(2)要求三个组的人数分别为3，2，1，共有多少种不同的分法？
2．（2022·全国·高二课时练习）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)一堆1本，一堆2本，一堆3本；
(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；
②整体均分问题
典型例题
例题1．（2022·广东·广州科学城中学高二期中）按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方
式？
(1)平均分成三份，每份2本；
(2)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
例题2．（2022·江苏·东台创新高级中学高二阶段练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少
种不同的分配方法？
（1）分成每组都是2本的三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)平均分给甲、乙、丙三人；
(2)平均分成三堆.
③部分均分问题
典型例题
例题1．（2022·广东·广州科学城中学高二期中）按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方
式？
分成三份，1份4本，另外两份每份1本.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）.
(1)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？
(2)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？
题型四：相同元素分配问题
典型例题
例题1．（2022·河南·高二期中（理））有7本相同的笔记本作为奖品颁发给甲、乙、丙三名同学.
(1)若先将这7本笔记本分成3份，每份至少1本，有多少种不同的分法？
(2)若甲、乙、丙三名同学每人至少获得1本，并且丙同学最多获得3本，有多少种不同的分法？
(3)若这7本笔记本分别被老师写上了不同的颁奖词，并且要求甲同学恰好得到2本，乙同学至少得到1本，
丙同学至少得到1本且不超过3本，有多少种不同的分法？同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）某校准备参加高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4班，
每班至少一个名额.
(1)不同的分配方案共有多少种？
(2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个
项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（
）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
2．（2020·海南·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安
排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
3．（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，
每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
