文档内容
专题 02 整式及因式分解（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 整式的相关概念】
1.（2022·湖北荆州·中考真题）下列代数式中，整式为（ ）
1 x+1
A．x+1 B． C．√x2+1 D．
x+1 x
【答案】A
【详解】【分析】直接利用整式、分式、二次根式的定义分析得出答案．
【详解】A、x+1是整式，故此选项正确；
1
B、 是分式，故此选项错误；
x+1
C、√x2+1是二次根式，故此选项错误；
x+1
D、 是分式，故此选项错误，
x
故选A．
【点睛】本题考查了整式、分式、二次根式的定义，熟练掌握相关定义是解题关键．
2．（2022·福建厦门·中考真题）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A．−2x y2 B．3x2 C．2x y3 D．2x3
【答案】D
【详解】试题分析：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．
A．−2x y2系数是﹣2，错误；
B．3x2系数是3，错误；
C．2x y3次数是4，错误；
D．2x3符合系数是2，次数是3，正确；
故选D．
考点：单项式．
3．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这
1
样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+ b−1（ 是多边形内的格点数， 是多边形边
2界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”．现有一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边
形，它的面积S=40．
（1）这个格点多边形边界上的格点数b=___（用含 的代数式表示）；
（2）设该格点多边形外的格点数为c，则c−a=___．
【答案】 82－2a 118
1 1
【详解】试题分析：将S=40代入“皮克定理”可得：40=a+ b－1， b=41－a，则b=82－2a；
2 2
根据题意可得：c=200－a－b=200－a－（82－2a）=118+a，则c－a=118+a－a=118．
考点：代数式的应用．
4．（2022·四川绵阳·中考真题）若多项式x y|m−n|+(n−2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn=
_____．
【答案】0或8
【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．
【详解】解：∵多项式x y|m−n|+(n−2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，
∴n−2=0，1+|m−n|=3，
∴n=2，|m−n|=2，
∴m−n=2或n−m=2，
∴m=4或m=0，
∴mn=0或8．
故答案为：0或8．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
5．（2022·河北·中考真题）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自
动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图．如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【答案】（1）25+2a2；−16−6a；（2）4a2－12a+9；和不能为负数，理由见解析．
【分析】（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，B区就会自动减去3a，可直接求
出初始状态按2次后A，B两区显示的结果．
（2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A，B两区显示的代数式，再求A，B两区显示的代数式的
和，判断能否为负数即可．
【详解】解：（1）A区显示结果为：25+a2+a2=25+2a2 ，
B区显示结果为：﹣16－3a－3a=﹣16－6a；
（2）初始状态按4次后A显示为：25+a2+a2+a2+a2=25+4a2
B显示为：﹣16－3a－3a－3a－3a=﹣16－12a
∴A+B=25+4a2+(-16−12a)
=4a2－12a+9
=(2a－3) 2
∵(2a－3) 2≥0恒成立，
∴和不能为负数．
【点睛】本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在于理解题意，列出代数式
进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负．
【考点2 整式的加减运算】
6.（2022·全国·七年级课时练习）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如
学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
【答案】（1）312是“好数”，675不是“好数”，理由见解析；（2）611，617，721，723，729，
831，941．理由见解析．
【分析】（1）根据“好数”的定义进行判断即可；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．根据题意判断出x、y取值，根据“好数”
定义逐一判断即可．
【详解】（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”．
∵6，7，5都不为0，且6+7=13，13不能被5整除，∴675不是“好数”；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．其中x，y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十
位数字与个位数字的和为：2x+5．
当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617
当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729
当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831
当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941
所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7．
【点睛】本题为“新定义”问题，理解好“新定义”，并根据已有数学知识和隐含条件进行分析，转化为
所学数学问题是解题关键．
7．（2022·河北·中考真题）嘉淇准备完成题目：化简：(□x2+6x+8)−(6x+5x2+2)，发现系数“□”
印刷不清楚．
(1)他把“□”猜成3，请你化简：(3x2+6x+8)–(6x+5x2+2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“□”是几？
【答案】(1)–2x2+6；(2)5．
【分析】(1)原式去括号、合并同类项即可得；
(2)设“□”是a，将a看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的
值．
【详解】(1)(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2)=3x2+6x+8-6x-5x2-2
=-2x2+6；
(2)设“□”是a，
则原式=(ax2+6x+8)-(6x+5x2+2)
=ax2+6x+8-6x-5x2-2
=(a-5)x2+6，
∵标准答案的结果是常数，
∴a-5=0，
解得：a=5．
【点睛】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
8．（2022·河北·中考真题）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，
形式如下：
－3x＝x2－5x＋1．
（ ）求所捂的二次三项式：
1
（2）若x=√6+1，求所捂二次三项式的值．
【答案】（1）x2－2x＋1；（2）6
【分析】（1）将手掌捂住部分看作被减式，3x看作减式，x2－5x＋1为差式．则被减式=减式+差式，从而
得到答案；
（2）直接代入计算，但这样较麻烦，不如将（1）中所得结果分解因式，再代入求值．
【详解】解：（1）设所捂的二次三项式为A，则A＝x2－5x＋1＋3x ＝x2－2x＋1．
（2）若x=√6+1，A＝（x－1）2=(√6+1−1) 2＝6．
【点睛】本题考查了整式的加减、完全平方式和二次根式的化简计算，能正确列出算式是解题的关键．
9．（2022·江苏扬州·中考真题）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d(n)，由定义可知：10b=n与
b=d(n)所表示的b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据劳格数的定义，填空：d(10)= ，d(10-2)= ；
(2)劳格数有如下运算性质：
m
若m、n为正数，则d(mn)=d(m)+d(n)，d( )=d(m)-d(n)．
nd(a3)
根据运算性质，填空： = (a为正数)，若d(2)=0.3010，则d(4)= ，d(5)=
d(a)
，d(0.08)= ；
(3)如表中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
x 1.5 3 5 6 8 9 12 27
d(x) 3a−b+c 2a−b a+c 1+a−b−c 3−3a−3c4a−2b 3−b−2c 6a−3b
【答案】(1)1，﹣2
(2)3；0.6020；0.6990；﹣1.097
(3)详见解析
【分析】（1）根据题中的新定义计算即可得到结果；
（2）根据题中的新运算性质计算即可得到结果；
（3）利用反证法，通过9=32，27=33，可以判断d(3)正确，同理据5=10÷2，假设d(5)正确，可以求得d(2)
的值，即可通过d(8)，d(6)正确．再运用正确的求出d(1.5)和d(12)的值．
(1)
根据定义可知，10b=n与b=d(n)所表示的b、n两个量之间的同一关系，d(10)和d(10﹣2)就是指10的指数，
所以d(10)=1，d(10﹣2)=－2．
故答案为：1，﹣2；
(2)
∵d(a3)=d(a×a×a)=d(a)+d(a)+d(a)=3d(a)，
d(a3) 3d(a)
∴ = =3；
d(a) d(a)
∵d(2)=0.3010，
∴d(4)=2 d(2)= 0.6020，
(10)
d(5)=d =d(10)−d(2)=1−d(2)=1−0.3010=0.6990，
2
d(0.08)= d(10-2×23)=-2＋3d(2)=-2+3×0.3010=﹣1.097，
故答案为：3，0.6020，0.6990，﹣1.097；
(3)
应用反证法：若d(3)=2a−b，则d(9)=d(3×3)=2d(3)=4a−2b，d(27)=3d(3)=6a−3b，
∴若d(3)≠2a−b，表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d(3)=2a−b，d(9)=4a−2b，d(27)=6a−3b；
(10)
若d(5)=a+c，则d(2)=d =d(10)−d(5)=1−(a+c)=1−a−c，
5
∴d(8)=3d(2)=3−3a−3c，d(6)=d(2)+d(3)=1+a−b−c．
∴若d(5)≠a+c，表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d(5)=a+c，d(8)=3−3a−3c，d(6)=1+a−b−c．
∴表中只有d(1.5)和d(12)的值是错误的，应纠正为：
d(1.5)=d(3)+d(5)−1=3a−b+c−1，d(12)=d(3)+2d(2)=2−b−2c．
【点睛】本题考查整式的运算，理解“劳格数”的意义，掌握“劳格数”的性质是得出正确答案的前提．
10．（2022·河北邢台·模拟预测）已知A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化简2A﹣B的结果与x无关．
（1）求m、n的值；
（2）求式子﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2]的值．
【答案】（1）n＝2，m＝﹣1；（2）-36
【分析】（1）直接利用整式的混合运算法则计算得出答案,注意整体思想及添括号与去括号法则；
（2）先去小括号，再去中括号，再利用整式的加减运算法则化简进而得出答案．
【详解】解：（1）∵A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化简2A﹣B的结果与x无关，
∴2A﹣B＝2（x2﹣mx+2）﹣（nx2+2x﹣1）
＝2x2﹣2mx+4﹣nx2﹣2x+1
＝（2﹣n）x2﹣（2m+2）x+5，
∴2﹣n＝0，2m+2＝0，
解得：n＝2，m＝﹣1；
（2）﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2]
＝﹣3m2n+6mn2﹣m2n﹣2mn2+4m2n+5mn2
＝9mn2，
当n＝2，m＝﹣1时，
原式＝9×（﹣1）×22＝﹣36．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【考点3 幂的运算】
11．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列计算正确的是（ ）A．(a2b) 2=a2b2 B．a6÷a2=a3 C．(3x y2 ) 2=6x2y4 D．(−m) 7÷(−m) 2=−m5
【答案】D
【详解】A．积的乘方等于乘方的积，故A错误，不符合题意；
B．同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误，不符合题意；
C．积的乘方等于乘方的积，故C错误，不符合题意；
D．同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确，符合题意；
故选D．
12．（2022·山东淄博·中考真题）计算(−2a3b) 2−3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
【答案】C
【分析】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项．
【详解】解：原式=4a6b2−3a6b2=a6b2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握相应的运算法则．
13．（2022·广东江门·一模）已知xm=3，xn=2，那么x2m+3n=（ ）
A．17 B．54 C．72 D．81
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：∵xm=3，xn=2，
∴x2m+3n= (xm) 2 ⋅(xn) 3 =32×23=9×8=72,
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方是解题的关键．
14．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）已知4a=3b，12a=27，则a+b=（ ）
1 1
A． B． C．2 D．3
3 2
【答案】D
【分析】根据积的乘方的逆用可求出3a ⋅4a=27，再结合题意可得出3a ⋅3b=27．即可由同底数幂的乘法
的逆用得出3a+b=33，从而求出结果．
【详解】∵12a=27，∴(3×4) a=27，
∴3a ⋅4a=27．
∵4a=3b，
∵3a ⋅3b=27，
∴3a+b=33，
∴a+b=3，
故选D．
【点睛】本题考查积的乘方的逆用和同底数幂的乘法的逆用．掌握积的乘方和同底数幂的乘法的逆用法则
是解题关键．
15．（2022·广东广州·二模）已知3m=4，32m−4n=2．若9n=x，则x的值为（ ）
A．8 B．4 C．2√2 D．√2
【答案】C
【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由32m−4n=(3m÷9n) 2 即可解答．
【详解】∵32m−4n=32(m−2n)=(3m−2n) 2 =(3m÷9n) 2 ，
(4) 2
依题意得： =2，x>0．
x
4
∴ =√2，
x
∴x=2√2，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变
形．
【考点4 整式乘法公式的运用】
16．（2022·湖南益阳·中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 _____．
【答案】3
【分析】观察已知和所求可知，4m2﹣n2=(2m+n)(2m﹣n)，将代数式的值代入即可得出结论．
【详解】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴4m2﹣n2=(2m+n)(2m﹣n)=3×1=3，
故答案为：3．【点睛】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．
17．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）已知x，y为实数，且满足x2−xy+4 y2=4，记u=x2+xy+4 y2
的最大值为M，最小值为m，则M+m＝________．
136
【答案】
15
【分析】联立已知条件，将u转化为2xy+4，根据非负数的性质确定xy的范围，从而求出u的范围，得到
M，m的大小即可得解．
【详解】解：∵¿，
∴②－①，得2xy=u-4，即u=2xy+4，把①两边加5xy，得（x+2y）2=4+5xy 0，
4 ⩾
解得：xy − ，
5
⩾
把①两边减3xy，得（x-2y）2=4-3xy 0，
4 ⩾
解得：xy≤
3
8 4
∴− +4≤u≤2× +4，
5 3
12 20
解得 ≤u≤ ，
5 3
20 12
∴M= ,m= ，
3 5
20 12 136
∴M+m= + = ，
3 5 15
136
故答案为： ．
15
【点睛】本题考查了加减消元法，完全平方公式的应用，解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．
18．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）已知a、b、c均为实数，且a+b=4，2c2−ab=4√3c−10，
则abc=______．
【答案】4√3
【分析】先变形得到a+b=4，ab=2c2-4√3c+10，再根据根与系数的关系，a、b可看作是方程x2-4x+2c2-4√3
c+10=0的两实数解，配方后可得（x-2）2+2（c-√3）2=0，得到x=2，c=√3，然后计算abc的值即可；
【详解】∵a+b=4，ab=2c2-4√3c+10
∴a、b可看作方程x2-4x+2c2-4√3c+10=0的两实数解
∴（x-2）2+2（c-√3）2=0∴x-2=0或c-√3=0
解得x=2，c=√3
∴ab=2×3-4√3×√3+10=4
∴abc=4×√3=4√3
故答案为：4√3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．学会观察算式形式，正确写出一元二次
方程是解决本题的关键．
19．（2022·四川成都·二模）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝_____．
【答案】264
【分析】在原式前面乘以（2﹣1）构造能用平方差公式的结构，连续使用平方差公式即可．
【详解】原式＝(2−1)(2+1)(22+1)···(232+1)+1，
＝(22−1)(22+1)···(232+1)+1，
＝(24−1)(24+1)···(232+1)+1，
＝264﹣1+1，
＝264；
故本题答案为264．
【点睛】此题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是将原式变形为平方差的形式．
20．（2022·浙江丽水·一模）已知，实数m，n满足m+n=3，m2n+mn2=−30．
（1）若m>n，则m−n=_______；
（2）若n+p=−5，则代数式m2p−n2p+m3−mn2的值是______________．
【答案】 7 42或252##252或42
【分析】（1）将已知式子因式分解代入得出mn=−10，然后利用两个完全平方公式之间的关系求解即可；
（2）利用（1）中结论得出¿或¿，然后分两种情况，将原式化简代入求值即可．
【详解】解：（1）∵m+n=3，
∴m2n+mn2=mn(m+n)=−30，
∴mn=−10，
∴(m−n) 2=(m+n) 2−4mn=9−(−40)=49，
∴m−n=±7，∵m>n，
∴m−n>0，
∴m−n=7；
（2）m2p−n2p+m3−mn2
=(m2−n2 )p+m(m2−n2
)
=(m2−n2 )(p+m)
=(m+n)(m−n)(p+m)，
由（1）得¿或¿
解得：¿或¿
当m=5，n=−2时，
∵n+p=−5，
∴p=−3，
∴m+p=2，
∴原式=(5−2)×(5+2)×2
=42；
当m=−2，n=5时，
∵n+p=−5，
∴p=−10，
∴m+p=−12，
∴原式=(−2+5)×(−2−5)×(−12)
=252；
∴代数式的值为42或252；
故答案为：①7；②42或252．
【点睛】题目主要考查因式分解的运用，求代数式的值及完全平方公式与平方差公式，熟练掌握运算法则
进行变换是解题关键．
【考点5 整式的混合运算】
21．（2023·河北·九年级专题练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、
乙的面积分别为S，S．
1 2（1）S 与S 的大小关系为：S___S；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
1 2 1 2
（2）若满足条件|S﹣S|＜n≤2021的整数n有且只有4个，则m的值为___．
1 2
【答案】 > 1009
【分析】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可；
（2）先计算出|S﹣S|，根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值．
1 2
【详解】解：（1）∵S ＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7，
甲
S ＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8，
乙
∴S ﹣S ＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）＝2m﹣1，
甲 乙
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
∴S﹣S＞0，
1 2
∴S＞S，
1 2
故答案为：＞；
（2）由（1）得|S﹣S|＝|2m﹣1|＝2m﹣1，
1 2
∵2m﹣1＜n≤2021的整数n有且只有4个，
∴这四个整数解为2021，2020，2019，2018，
∴2017≤2m﹣1＜2018，
解得：1009≤m＜1009.5，
∵m为正整数，
∴m＝1009，
故答案为：1009．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则以及一元一次不等式的应用，能够作差比较大小是解题的关键．
22．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值：(x−y)(2x−y)−(x−y) 2−x2，其中
x=√2023−1，y=√2023+1．
【答案】−xy，−2022
【分析】根据多项式乘以多项式运算法则、完全平方公式将原式进行化简，然后将x=√2023−1，y=√2023+1代入，再利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：原式＝2x2−xy−2xy+ y2−(x2−2xy+ y2 )−x2
＝2x2−xy−2xy+ y2−x2+2xy−y2−x2
＝−xy，
当x=√2023−1，y=√2023+1时，
原式＝−(√2023−1)×(√2023+1)
＝−[ (√2023) 2 −12]
＝−(2023−1)
＝−2022．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式加减乘除混合运算法则以及完全平方公式、平方差公
式是解本题的关键．
23．（2022·广西·梧州市第一中学三模）先化简，再求值：（3a+1）（2a-3）-（6a-5）•（a-4），其中
a=-2．
【答案】22a-23，-67
【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：（3a+1）（2a－3）－（6a－5）•（a－4）
=6a2－9a+2a－3－（6a2－24a－5a+20）
=6a2－9a+2a－3-6a2+24a+5a－20
=22a－23
当a=－2时，原式=22×（－2）－23=－67．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算及其求值，熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键．
24．（2022·河北·唐山市路北区教育局中教研二模）在化简3(m2n+mn)−4(m2n−mn)◆2mn题目中：◆
表示＋，－，×，÷四个运算符号中的某一个．
（1）若◆表示－，请化简3(m2n+mn)−4(m2n−mn)−2mn
（2）当m=−2，n=1时，3(m2n+mn)−4(m2n−mn)◆2mn的值为12，请推算出◆所表示的符号．
【答案】（1）−m2n+5mn；（2）◆表示÷
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先把m=−2，n=1，再根据计算结果推断即可．【详解】解：（1）3(m2n+mn)−4(m2n−mn)−2mn
=3m2n+3mn−4m2n+4mn−2mn
=−m2n+5mn
（2）由题意得，3(4−2)−4(4+2)◆(−4)=12
即6−24◆(−4)=12
−24◆(−4)=6
所以◆表示÷．
【点晴】本题考查了整式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键．
25．（2022·广西河池·模拟预测）先化简，再求值：(−x−2y)(x−2y)+(2x3−4x2y)÷2x，其中x=−2，
y=1．
【答案】4 y2−2xy，8
【分析】先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x与y的值代入计算可得．
【详解】解：原式=(−2y) 2−x2+x2−2xy
=4 y2−x2+x2−2xy
=4 y2−2xy，
当x=−2，y=1时，
原式=4×12−2×(−2)×1
=4+4
=8．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算、化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法
则．
【考点6 完全平方公式、平方差公式的几何背景】
26．（2022·甘肃·兰州树人中学七年级期中）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正
方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（
）A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
【答案】B
【分析】设AB＝x，AD＝y，根据题意列出方程x2+y2＝17，2（x+y）＝10，利用完全平方公式即可求出xy
的值．
【详解】解：设AB＝x，AD＝y，
∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2
∴x2+y2＝17，
∵矩形ABCD的周长是10cm
∴2（x+y）＝10，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴25＝17+2xy，
∴xy＝4，
∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形面积、矩形面积和完全平方公式，恰当的设未知数，建立方程，设而不求，只
求xy的值是解题关键．
27．（2022·福建省厦门第六中学二模）如图，4块完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面
积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的式子是（ ）
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab
【答案】D【分析】根据阴影部分的面积可以用大正方形的面积减小正方形的面积，也可以用4个长方形的面积之和，
从而得出要验证的公式．
【详解】解：阴影部分的面积可表示为：(a+b) 2−(a−b2)，
阴影部分的面积也可以表示为：4ab，
∴由此能验证的式子为(a+b) 2−(a−b2)=4ab．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，阴影部分可以割成四个长方形的面积和，补成大正方
形的面积减去中间小正方形的面积，解此类题目关键在于仔细分析图形，用不同的方法表示出阴影部分的
面积．
28．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形
（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这
两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2−2x+1=(x−1) 2 B．x2−1=(x+1)(x−1) C．x2+2x+1=(x+1) 2 D．x2−x=x(x−1)
【答案】B
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【详解】解：由图可知，
图1的面积为：x2-12，
图2的面积为：（x+1）（x-1），
所以x2-1=（x+1）（x-1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．
29．（2022·辽宁大连·一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图
形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是___________.
【答案】10
【分析】依次观察前几个图形以及正方形的个数，进而归纳得到拼成第n个图形需要(2n−1) 2个正方形，
即可得出结论．
【详解】第1个图形是一个小正方形；
第2个图形由9=(2×2−1) 2个小正方形拼成；
第3个图形由25=(2×3−1) 2个小正方形拼成，
……
拼成第n−1个图形需要(2n−3) 2个正方形，
拼成第n个图形需要(2n−1) 2个正方形，
(2n−1) 2 −(2n−3) 2=72，
解得：n=10；
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，根据图形得出小正方形的变化规律是解题的关键．
30．（2022·重庆·一模）阅读理解：
若x满足(9−x)(x−4)=4，求(4−x) 2+(x−9) 2的值．
解：设9−x=a，x−4=b，
则(9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5，
∴(9−x) 2+(x−4) 2=a2+b2=(a+b) 2−2ab=52−2×4=17．
迁移应用：(1)若x满足(2020−x) 2+(x−2022) 2=10，求(2020−x)(x−2022)的值；
(2)如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE=k，BG=k+1(k为常数，且
21
k>0)，长方形AEFG的面积是 ，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．
16
【答案】(1)-3
5
(2)
2
【分析】（1）根据题意设2020−x=a，x−2022=b，可得a2+b2=10，
a+b=(2020−x)+(x−2022)=−2，根据(a+b) 2=a2+2ab+b2，代入计算即可得出答案；
21
（2）设正方形ABCD的边长为x，则AE=x−k，AG=x−k−1，可得AE−AG=1，AE⋅AG= ；利
16
用题干中的方法可求得AE+AG，利用阴影部分的面积等于正方形GFIH与正方形AGJK的面积之差即可
求得结论．
（1）
解：设a=2020−x，b=x−2022，则：
a+b=−2，a2+b2=10．
∵(a+b) 2=a2+2ab+b2，
∴10+2ab=(−2) 2．
∴ab=−3．
∴(2020−x)(x−2022)=−3．（2）
解：设正方形ABCD的边长为x，则AE=x−k，AG=x−k−1，
∴AE−AG=1．
21
∵长方形AEFG的面积是 ，
16
21
∴AE⋅AG= ．
16
∵(AE−AG) 2=AE2−2AE⋅AG+AG2，
21 29
∴AE2+AG2=1+ = ．
8 8
∵(AE+AG) 2=AE2+2AE⋅AG+AG2，
29 21
∴(AE+AG) 2= + ，
8 8
5
∴AE+AG= ．
2
∴S =S −S
阴影部分 正方形GFIH 正方形AGJK
=AE2−AG2
=(AE+AG)(AE−AG)
5
= ×1
2
5
= ．
2
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的几何背景，本题是阅读型题目，利用换元的方
法解答是解题的关键．
【考点7 因式分解】
1 3
31．（2022·湖北黄冈·三模）已知a+b＝ ，ab＝﹣ ，先因式分解，再求值：a3b+2a2b2+ab3．
2 8
3
【答案】ab（a+b）2，−
32
【分析】先提公因式，再根据完全平方公式分解，最后将式子的值代入计算．
【详解】解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，
1 3
∵a+b＝ ，ab＝﹣ ，
2 83 1 3
∴原式＝﹣ ×（ ）2＝− ．
8 2 32
【点睛】此题考查了多项式因式分解及求值，正确掌握多项式的因式分解的方法是解题的关键．
32．（2022·湖南张家界·二模）阅读材料：我们知道，两数之积大于0，那么这两数同号，即ab>0，则¿或
¿；两数之积小于0，那么这两数异号，即ab<0，则¿或¿．解决问题：
(1)分解因式：(x+1) 2−4=_________；
(2)解不等式：(x+1) 2−4<0．
【答案】(1)(x+3)(x−1)
(2)−3
