文档内容
专题 02 整式及其因式分解（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．下列式子正确的是（ ）
A．(−a)⋅(−a)=−a2 B．a2 ⋅a3=a6
a a a a3
C． ⋅ ⋅ = D．(−m) 3=(−m)⋅(−m)⋅(−m)
b b b b
【答案】D
【知识点】同底数幂相乘
【分析】直接利用同底数幂的乘法及乘方运算法则计算，进而判断得出答案．
【详解】解：A．(−a)⋅(−a)=(−a) 2=a2，故此选项不合题意；
B．a2 ⋅a3=a5，故此选项不合题意；
a a a a3
C． ⋅ ⋅ = ，故此选项不合题意；
b b b b3
D．(−m) 3=(−m)⋅(−m)⋅(−m)，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法及乘方运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．某工厂一月份的产值为a，二月份的产值比一月份增长了x%，三月份的产值又比二月份的产值增
长了x%，则三月份的产值比一月份增长了（ ）
A．2ax% B．a(1+2x%) C．a(1+x%)⋅x% D．a(2+x%)⋅x%
【答案】D
【知识点】列代数式
【分析】由题意得某工厂二月份的产值为a(1+x%)，三月份的产值为a(1+x%) 2，则三月份的产值
比一月份增长a(1+x%) 2−a=a(2+x%)⋅x%．
【详解】解：∵某工厂二月份的产值为a(1+x%)，三月份的产值为a(1+x%) 2，
∴三月份的产值比一月份增长a(1+x%) 2−a=a(2+x%)⋅x%．
故选D．【点睛】此题主要考查了列代数式，关键是正确理解题意，准确的表示二月份的产值，三月份的产
值．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a4+a5=a9 B．a3 ⋅a3 ⋅a3=3a3 C．a4 ⋅a5=a9 D．(a4) 5 =a9
【答案】C
【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项
【分析】本题考查合并 同类项，同底数幂相乘，幂的乘方．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据合并同类项法则计算并判定A；根据同底数相乘 运算法则并判定B、C；根据幂的乘方运算法
则计算并判定D．
【详解】解：A、a4+a5没有同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、a3 ⋅a3 ⋅a3=a9，故此选项不符合题意；
C、a4 ⋅a5=a9，故此选项符合题意；
D、(a4) 5 =a20，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．计算a3÷(﹣a)的结果是（ ）
A．a2 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法运算
【分析】先确定符号，再根据同底数幂除法运算即可．
【详解】解：a3÷(−a)=−a2．
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的除法运算，熟记同底数幂除法，底数不变，指数相减是解题的关键．
5．若3m=5，3n=4，则32m−n等于（ ）
5 25
A． B． C．6 D．20
2 4
【答案】B
【分析】运用同底数幂的除法进行分解32m−n=32m÷3n，把值代入求职即可；
【详解】由题可得32m−n=32m÷3n=(3m
)
2÷3n，
把3m=5，3n=4代入上式得：
25
原式=52÷4=25÷4=
．
4故答案选B．
【点睛】本题主要考查了整式乘法中幂的运算性质逆运算公式，准确应用公式是解题的关键．
6．下列运算正确的是（ ）
A．(a+b)(a−b)=a2−b2 B．(ab2) 2 =ab4 C．x6+x2=x3 D．
(a+b) 2=a2+b2
【答案】A
【分析】直接利用乘法公式结合整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【详解】A、（a+b）（a-b）=a2-b2，正确，符合题意；
B、（ab2）2=a2b4，故原式错误，不合题意；
C、x6与x2不能合并，故原式错误，不合题意；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故原式错误，不合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查整式的混合运算，正确掌握相关乘法公式是解题关键．
7．下列计算正确的是（ ）
A．a2+3a2=4a4 B．(a−5) 2=a2−25
C．8a2b÷(−2ab)=−4ab D．(a+b)(a−b)=a2−b2
【答案】D
【分析】直接根据合并同类项法则、完全平方公式、单项式除单项式法则及平方差公式计算即可．
【详解】解：a2+3a2=4a2，故选项A错误；
(a−5) 2=a2−10a+25，故选项B错误；
8a2b÷(−2ab)=−4a，故选项C错误；
(a+b)(a−b)=a2−b2，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项法则、完全平方公式、单项式除单项式法则及平方差公式的应
用，熟练掌握相关运算法则及乘法公式是解决本题的关键．
8．如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①(2a+b)(m+n)；②
m(2a+b)+n(2a+b)；③2a(m+n)+b(m+n)；④2am+2an+bm+bn．你认为正确的有（ ）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确
列出算式是解题的关键．
【详解】解：根据长方形面积：①(2a+b)(m+n)，该选项正确，符合题意；
②由①将(2a+b)看作整体，去括号得：(2a+b)(m+n)=m(2a+b)+n(2a+b)，该选项正确，符合
题意；
③由①将(m+n)看作整体，去括号得：(2a+b)(m+n)=2a(m+n)+b(m+n)，该选项正确，符合题
意；
④由①去括号得：(2a+b)(m+n)=2am+2an+bm+bn，该选项正确，符合题意；
∴正确的有①②③④，
故选：D．
9．如图1，把一个长为m、宽为2n的长方形（m＞2n）沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉
一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）
m−2n m−n n
A． B． C．m−2n D．
2 2 4
【答案】A
【知识点】整式加减的应用
【分析】设去掉的小正方形的边长是x，根据已知得到x+2n=m−x，求出x即可．
【详解】解：设去掉的小正方形的边长是x，
∵把一个长为m、宽为n的长方形(m>n)沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后
的一个大正方形，
∴x+2n=m−x，m−2n
∴x= ．
2
故选：A．
【点睛】本题主要考查对正方形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据已知得到
x+2n=m−x是解此题的关键．
10．下列计算中正确的是（ ）
A．b6÷b3＝b2 B．b3•b3＝b9 C．（a3）3＝a9 D．a2+a2＝a4
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项
【分析】分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及合并同类项
法则逐一判断即可．
【详解】A．b6÷b3＝b3，故本选项不合题意；
B．b3•b3＝b6，故本选项不合题意；
C．（a3）3＝a9，正确，故本选项符合题意；
D．a2+a2＝2a2，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，熟记幂的运算法则是解答本
题的关键．
11．已知a=2020×2022−2020×2021，b=√20232−4×2022，c=√20212−1，则a，b，c的大
小关系是（ ）
A．ab
(1)观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 ；
(2)若图中阴影部分的面积为34cm2，大长方形纸板的周长为30cm．
①求a+b的值；
②求图中空白部分的面积．
【答案】(1)(a+2b)(b+2a)
(2)①5；②20cm2
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解的应用．
（1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案；
（2）①根据长方形的周长是2(3a+3b)=30即可得出a+b的值；
②由图可得空白部分的面积是5ab，故我们可以根据第一步中求出的a+b的值，以及阴影部分的面
积，即可推出空白部分的面积．
【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：(2a2+5ab+2b2)cm2，
长方形的长是(2a+b)cm，宽是(a+2b)cm，
由此可得：2a2+5ab+2b2=(a+2b)(b+2a)，
故答案为：(a+2b)(b+2a)；
（2）解：①根据长方形的周长为30cm，可得：
2(2a+b+a+2b)=30，
2(3a+3b)=30，
6(a+b)=30，a+b=5．
答：a+b的值为5．
②空白部分的面积为5abcm2，
根据②得：a+b=5，
∵阴影部分的面积为34cm2，
且阴影部分的面积表示为2a2+2b2，
故a2+b2=17，
∵(a+b) 2−2ab=a2+b2，
∴52−2ab=17，
∴ab=4，
∴5ab=20．
答：空白部分的面积为20cm2．
37．代数中的很多等式可以用几何图形直观表示，这种思想叫“数形结合”思想．如：现有正方形
卡片A类、B类和长方形C类卡片若干张，如果要拼成一个长为2(a+b)，宽为(a+2b)的大长方形，
可以先计算(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2，所以需要A、B、C类卡片2张、2张、5张，如图2
所示
（1）如果要拼成一个长为(a+3b)，宽为(a+b)的大长方形，那么需要A、B、C类卡片各多少张？
并画出示意图．
（2）由图3可得等式：____________；
（3）利用（2）中所得结论，解决下面问题，已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，a2+b2+c2的值；
（4）小明利用2张A类卡片、3张B类卡片和5张长方形C类卡片去拼成一个更大的长方形，那么
该长方形的较长的一边长为________（用含a、b的代数式表示）
【答案】（1）A、B、C三类卡片各需要1张、3张、4张，图见解析；（2）
(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（3）45；（4）2a+3b
【知识点】因式分解的应用、列代数式【分析】（1）首先计算出(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2，再根据计算结果对应的卡片类型得出结
论；
（2）根据图形面积的就算方式(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即可得出结论；
（3）根据题意找到a2+b2+c2=(a+b+c) 2−2(ab+ac+bc)，再通过带值即可求出；
（4）利用因式分解的计算过程可得，2a2+3b2+5ab=(2a+3b)(a+b)，即可得出结论．
【详解】解：（1）如下图：A、B、C三类卡片各需要1张、3张、4张；
（2）(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（3）∵a2+b2+c2=(a+b+c) 2−2(ab+ac+bc)=121−2×38=45
（4）∵2a2+3b2+5ab=(2a+3b)(a+b)，
∴较长的边为：2a+3b．
【点睛】本题考查了代数中的等式问题，解题的关键是掌握因式分解、具备数形结合的思想．
38．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何
模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索
其中的规律．
【实践操作】如图，有足够多的边长为a的小正方形纸片(A类)、长为a宽为b的长方形纸片(B类)以
及边长为b的大正方形纸片(C类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得
到一个数学等式，
（1）用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形a2+2b2+3ab可以因式分解得 ．
（2）根据图2：若a2+b2+c2=45，ab+bc+ac=38，求a+b+c的值【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式．
（3）如图3，在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割(如图
4)，得到三个长方体①、②、③(如图5)．易得长方体①的体积为ab(a−b)．则长方体②的体积为 ，
长方体③的体积为 (结果不需要化简)．则因式分解a3−b3= ．
【拓展延伸】
（4）尝试因式分解：a3+b3
(5)应用：已知x+2y=3，xy=2，求出x4 y+8x y4的值．
【答案】（1）(a+b)(a+2b)；（2）a+b+c=11；（3）b2(a−b)；a2(a−b)；
(a2+b2+ab)(a−b)；（4）a3−b3=(a2+b2−ab)(a+b)；(5)−18
【知识点】因式分解的应用、完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题主要考查的是因式分解的应用，列代数式和几何体，根据题目中给出的信息进行列式
计算是解题的关键．
（1）结合图1，可得a2+2b2+3ab=(a+b)(a+2b)；
（2）由图2得：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c) 2，代入计算即可；
（3）结合图5，可知长方体②的体积=b2 (a−b)，长方体③的体积=a2 (a−b)，则
a3−b3=ab(a−b)+b2 (a−b)+a2 (a−b)=(a2+b2+ab)(a−b)；
（4）由（3）可知：a3+b3=a3−(−b) 3=[a2+(−b) 2+a(−b)][a−(−b)]=(a2+b2−ab)(a+b)；
(5)将x4 y+8x y4变形为xy(x+2y) [(x+2y) 2−6xy]，再代入计算即可．
【详解】解：（1）由图1得：a2+2b2+3ab=(a+b)(a+2b)，
故答案为：(a+b)(a+2b)；（2）由图2得：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c) 2，
即(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)，
∵a2+b2+c2=45，ab+bc+ac=38，
∴(a+b+c) 2=45+2×38=121，
∵a>0，b>0，c>0，
∴a+b+c>0，
∴a+b+c=11；
（3）根据图4可知：长方体②的体积=b2 (a−b)，
长方体③的体积=a2 (a−b)，
则a3−b3 =ab(a−b)+b2 (a−b)+a2 (a−b)
=(a−b)(a2+ab+b2 )，
故答案为：b2 (a−b)；a2 (a−b)；(a−b)(a2+ab+b2 )；
（4）由（3）可知：
a3+b3 =a3−(−b) 3
=[a−(−b)][a2+a(−b)+(−b) 2
]
=(a+b)(a2−ab+b2 )；
(5)∵x4 y+8x y4
=xy(x3+8 y3
)
=xy[x3+(2y) 3
]
=xy(x+2y)(x2−2xy+4 y2
)
=xy(x+2y) [(x+2y) 2−6xy]，
∵x+2y=3，xy=2，
∴x4 y+8x y4=2×3×(32−6×2)
=−18．
39．如果一个自然数M能分解成p2+q，其中p与q都是两位数，p与q的个位数字相同，十位数字之
和为10，则称数M为“方加数”，并把数M=p2+q的过程，称为“方加分解”，例如：
236=122+92，12与92的个位数字相同，十位数字之和等于10，所以236是“方加数”．
(1)判断212是否是“方加数”？并说明理由；
(2)把一个四位“方加数”M进行“方加分解”，即M=p2+q，并将p放在q的左边组成一个新的四
位数N，若N能被7整除，且N的各个数位数字之和能被3整除，求出所有满足条件的M．
【答案】(1)是，见解析
(2)1032和5510和2276
【知识点】因式分解的应用
【分析】（1）由212=112+91，即可解答；
（2）设p的十位数是m，个位数是n，则q的十位数是10−m，个位数是n，N的各位数字之和是
10+2n，由N能被3整除，可知n=1或n=4或n=7；再由N能被7整除，进一步确定m的值即可．
【详解】（1）∵212=112+91
∴212是“方加数”；
（2）设p的十位数是m，个位数是n，则q的十位数是10−m，个位数是n，
∴N的各位数字之和是m+n+10−m+n=10+2n．
∵N能被3整除，
∴n=1或n=4或n=7．
当n=1时，N=1000m+100+100−10m+1=990m+201，
∵ N=7·(141m+28)+3m+5，N能被7整除，
∴m=3．
∴M=312+71=1032；
当n=4时，N=1000m+400+100−10m+4=990m+504，
∵N=7·(141m+72)+3m，N能被7整除，
∴m=7，
∴M=742+34=5510；
当n=7时，N=1000m+700+100−10m+7=990m+807，
∵N=7·(141m+115)+3m+2，N能被7整除，
∴m=4，
∴M=472+67=2276；
综上所述：满足条件的M有1032和5510和2276．【点睛】本题考查因式分解的应用，根据被3整除数的规律确定n的取值是解题的关键．
40．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或
者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”
或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长
为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大
长方形内，请解答下列问题．
(1)求图1中空白部分的面积S （用含ab的代数式表示）．
1
(2)图1，图2中空白部分面积S 、S 分别为16、62，求ab值．
1 2
(3)图3中空白面积为S ，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含a、b的整式乘积的形式：
3
①S −(2a2+3b2)．
3
②S −2a2−b2+2ab．
3
【答案】(1)S =a2−ab+b2
1
(2)ab=15
(3)①S −(2a2+3b2)=(a+b)(a−b)；②S −2a2−b2+2ab=(a+b) 2
3 3
【知识点】综合运用公式法分解因式、完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式与图形
面积、列代数式
【分析】（1）结合图形，图1中空白部分的面积S 等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积；
1
（2）根据图形，图2中空白部分的面积S 等于大长方形的面积减去5个小长方形的面积，再列出关
2
于a，b的方程组并解方程组即可；
（3）结合图形，图3中空白面积为S 等于大长方形的面积减去7个小长方形的面积，将及写成含a、
3
b的整式乘积的形式．
【详解】（1）解：∵图1小正方形的边长为a+b，其中阴影部分面积为3ab，
∴S =(a+b) 2−3ab=a2−ab+b2．
1
（2）解：∵图2小长方形的长为2a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为5ab，∴S =(2a+b)(a+2b)−5ab=2a2+2b2 ，
2
∵S 、S 面积分别为16、62，
1 2
∴¿
由②−①×2，得2ab=30，
∴ab=15；
（3）解：∵图3小长方形的长为3a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为7ab，
∴S =(3a+b)(a+2b)−7ab=3a2+2b2 ，
3
∴①S −(2a2+3b2)=3a2+2b2−(2a2+3b2)=3a2+2b2−2a2−3b2=a2−b2=(a+b)(a−b)
3
②S −2a2−b2+2ab=3a2+2b2−2a2−b2+2ab=a2+2ab+b2=(a+b) 2 ．
3
【点睛】本题考查了分解因式的应用，长方形的面积，完全平方公式的应用，多项式乘多项式的法
则，培养学生的观察图形的能力和化简能力，数形结合思想是解题的关键．
